Ce travail s'articule en deux parties principales: on illustre d'abord la notion de longueur de corrélation pour des systèmes d'accrochage homogènes proche du point critique en montrant la convergence en loi du système renormalisé vers un sous ensemble fermé aléatoire du segment [0,1] possédant une densité (explicite) par rapport à l'ensemble régénératif d'indice alpha, où alpha est une donnée initiale du modèle. On s'intéresse dans une deuxième partie au problème du mouillage dans une bande; les récompenses/pénalités sont reçues dans une bande de largeur strictement positive fixée, le processus libre étant modélisé par une marche aléatoire S continue centrée de carré intégrable. On montre que le système subit une transition de phase standard de localisation/délocalisation, et on explicite les limites d'échelle du processus renormalisé dans chacune de ces phases. Pour obtenir ces limites d'échelle, on démontre deux résultats indépendants reliés à la théorie des fluctuations pour les marches aléatoires; ceux-ci présentent un intérêt propre et font l'objet des deux dernières parties de la thèse. Le premier concerne le comportement asymptotique de la distribution du lieu du premier temps d'atteinte du demi plan inférieur pour S, où S part d'un point (strictement) situé dans le demi plan supérieur. Notons que cette estimation est uniforme sur l'ensemble des réels négatifs. Le second résultat concerne la convergence en loi dans la limite d'échelle de S conditionnée à être positive, à partir d'un point proche de l'origine et à revenir proche de l'origine. On montre que ce processus converge en loi vers l'excursion brownienne renormalisée.

Cette thèse porte sur des limites de grandes cartes à bord aléatoires. Dans un premier temps, nous nous intéressons aux propriétés géométriques de telles cartes. Nous montrons d'abord des résultats concernant les limites d'échelle et les limites locales du bord de cartes de Boltzmann dont le périmètre tend vers l'infini, que nous appliquons à l'étude du modèle O(n) rigide sur les quadrangulations. Ensuite, nous introduisons une famille de quadrangulations du demi-plan aléatoires avec un paramètre de torsion, dont on étudie les limites d'échelle et la structure de branchement. Enfin, nous établissons une propriété de confluence des géodésiques dans les cartes uniformes infinies du demi-plan, qui sont des limites locales de triangulations et quadrangulations à bord uniformes.Dans un second temps, nous considérons des modèles de percolation de Bernoulli sur les cartes uniformes infinies du demi-plan. Nous calculons le seuil de percolation par site critique pour les quadrangulations, et établissons une propriété d'universalité de ces modèles de percolation au point critique à partir des probabilités de croisement. Pour finir, nous étudions la limite locale de grands amas de percolation critiques en construisant l'amas critique émergent, une triangulation uniforme infinie du demi-plan munie d'un amas de percolation critique infini. / This thesis deals with limits of large random planar maps with a boundary. First, we are interested in geometric properties of such maps. We prove scaling and local limit results for the boundary of Boltzmann maps whose perimeter goes to infinity, which we apply to the study of the rigid O(n) loop model on quadrangulations. Next, we introduce a family of random half-planar quadrangulations with a skewness parameter, and study their scaling limits and branching structure. Finally, we establish a confluence property of geodesics in uniform infinite half-planar maps, which are local limits of uniform triangulations and quadrangulations with a boundary.Second, we consider Bernoulli percolation models on uniform infinite half-planar maps. We compute the critical site percolation threshold for quadrangulations, and prove a universality property of these percolation models at criticality involving crossing probabilities. To conclude, we study the local limit of large critical percolation clusters by defining the incipient infinite cluster, a uniform infinite half-planar triangulation equipped with an infinite critical percolation cluster.

Les limites d'échelle de grands arbres aléatoires jouent un rôle central dans cette thèse.Nous nous intéressons plus spécifiquement au comportement asymptotique de plusieurs fonctions codant des arbres de Galton-Watson conditionnés. Nous envisageons plusieurs types de conditionnements faisant intervenir différentes quantités telles que le nombre total de sommets ou le nombre total de feuilles, avec des lois de reproductions différentes.Lorsque la loi de reproduction est critique et appartient au domaine d'attraction d'uneloi stable, un phénomène d'universalité se produit : ces arbres ressemblent à un même arbre aléatoire continu, l'arbre de Lévy stable. En revanche, lorsque la criticalité est brisée, la communauté de physique théorique a remarqué que des phénomènes de condensation peuvent survenir, ce qui signifie qu'avec grande probabilité, un sommet de l'arbre a un degré macroscopique comparable à la taille totale de l'arbre. Une partie de cette thèse consiste à mieux comprendre ce phénomène de condensation. Finalement, nous étudions des configurations non croisées aléatoires, obtenues à partir d'un polygône régulier en traçant des diagonales qui ne s'intersectent pas intérieurement, et remarquons qu'elles sont étroitement reliées à des arbres de Galton-Watson conditionnés à avoir un nombre de feuilles fixé. En particulier, ce lien jette un nouveau pont entre les dissections uniformes et les arbres de Galton-Watson, ce qui permet d'obtenir d'intéressantes conséquences de nature combinatoire.

Les limites d’échelle de grands arbres aléatoires jouent un rôle central dans cette thèse.Nous nous intéressons plus spécifiquement au comportement asymptotique de plusieurs fonctions codant des arbres de Galton-Watson conditionnés. Nous envisageons plusieurs types de conditionnements faisant intervenir différentes quantités telles que le nombre total de sommets ou le nombre total de feuilles, avec des lois de reproductions différentes.Lorsque la loi de reproduction est critique et appartient au domaine d’attraction d’uneloi stable, un phénomène d’universalité se produit : ces arbres ressemblent à un même arbre aléatoire continu, l’arbre de Lévy stable. En revanche, lorsque la criticalité est brisée, la communauté de physique théorique a remarqué que des phénomènes de condensation peuvent survenir, ce qui signifie qu’avec grande probabilité, un sommet de l’arbre a un degré macroscopique comparable à la taille totale de l’arbre. Une partie de cette thèse consiste à mieux comprendre ce phénomène de condensation. Finalement, nous étudions des configurations non croisées aléatoires, obtenues à partir d’un polygône régulier en traçant des diagonales qui ne s’intersectent pas intérieurement, et remarquons qu’elles sont étroitement reliées à des arbres de Galton-Watson conditionnés à avoir un nombre de feuilles fixé. En particulier, ce lien jette un nouveau pont entre les dissections uniformes et les arbres de Galton-Watson, ce qui permet d’obtenir d’intéressantes conséquences de nature combinatoire. / Scaling limits of large random trees play an important role in this thesis. We are more precisely interested in the asymptotic behavior of several functions coding conditioned Galton-Watson trees. We consider several types of conditioning, involving different quantities such as the total number of vertices or leaves, as well as several types of offspring distributions. When the offspring distribution is critical and belongs to the domainof attraction of a stable law, a universality phenomenon occurs: these trees look like the samecontinuous random tree, the so-called stable Lévy tree. However, when the offspring distributionis not critical, the theoretical physics community has noticed that condensation phenomenamay occur, meaning that with high probability there exists a unique vertex with macroscopicdegree comparable to the total size of the tree. The goal of one of our contributions is to graspa better understanding of this phenomenon. Last but not least, we study random non-crossingconfigurations consisting of diagonals of regular polygons, and notice that they are intimatelyrelated to Galton-Watson trees conditioned on having a fixed number of leaves. In particular,this link sheds new light on uniform dissections and allows us to obtain some interesting resultsof a combinatorial flavor.