Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’analyse mathématique théorique et numérique des équations deNavier-Stokes compressibles en régime barotrope. La plupart des travaux présentés ici combinent desméthodes d’analyse des équations aux dérivées partielles et des méthodes d’analyse numérique afin de clarifierla notion de solution faible ainsi que les mécanismes de convergence de méthodes numériques approximant cessolutions faibles. En effet les équations de Navier-Stokes compressibles sont fortement non linéaires et leuranalyse mathématique repose nécessairement sur la structure de ces équations. Plus précisément, nousprouvons dans la partie théorique l’existence de solutions faibles pour un modèle d’écoulement compressibled’entropie variable où l’entropie du système est transportée. Nous utilisons les méthodes classiques permettantde prouver l’existence de solutions faibles aux équations de Navier-Stokes compressibles en regime barotrope.Nous étudions aussi dans cette partie la réduction de dimension 3D/2D dans les équations de Navier-Stokescompressibles en utilisant la méthode d’énergie relative. Dans la partie numérique nous nous intéressons auxestimations d’erreur inconditionnelles pour des schémas numériques approximant les solutions faibles deséquations de Navier-Stokes compressibles. Ces estimations d’erreur sont obtenues à l’aide d’une versiondiscrète de l’énergie relative satisfaite par les solutions discrètes de ces schémas. Ces estimations d’erreur sontobtenues pour un schéma numérique académique de type volumes finis/éléments finis ainsi que pour le schémanumérique Marker-and-Cell. Nous prouvons aussi que le schéma Marker-and-Cell est inconditionnellement etuniformément asymptotiquement stable en régime bas Mach. Ces résultats constituent les premiers résultatsd’estimations d’erreur inconditionnelles pour des schémas numériques pour les équations de Navier-Stokescompressibles en régime barorope. / In this thesis, we deal with mathematical and numerical analysis of compressible Navier-Stokes equations inbarotropic regime. Most of these works presented here combine mathematical analysis of partial differentialequations and numerical methods with aim to shred more light on the construction of weak solutions on oneside and on the convergence mechanisms of numerical methods approximating these weak solutions on theother side. Indeed, the compressible Navier-Stokes equations are strongly nonlinear and their mathematicalanalysis necessarily relies on the structure of equations. More precisely, we prove in the theorical part theexistence of weak solutions for a model a flow of compressible viscous fluid with variable entropy where theentropy is transported. We use the classical techniques to prove the existence of weak solutions for thecompressible Navier-Stokes equations in barotropic regime. We also investigate the 3D/2D dimensionreduction in the compressible Navier-Stokes equations using the relative energy method. In the numerical wedeal with unconditionally error estimates for numerical schemes approximating weak solutions of thecompressible Navier-Stokes equations. These error estimates are obtained by using the discrete version of therelative energy method. These error estimates are obtained for a academic finite volume/finite element schemeand for the Marker-and-Cell scheme. We also prove that the Marker-and-cell scheme is unconditionally anduniformly asymptotically stable at the Low Mach number regime. These are the first results onunconditionally error estimates for numerical schemes approximating the compressible Navier-Stokesequations in barotropic regime.

ON S'INTERESSE A UNE CLASSE D'INEQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES, ASSOCIEES A UN PROBLEME D'OBSTACLE ET DEPENDANT D'UN PARAMETRE LAMBDA : A(A,V-U) >OU= SOM::(OMEGA )LAMBDA F(U)(V-U)DX POUR TOUT V APPARTIENT A K, U APPARTIENT A K=(W APPARTIENT A H::(0)**(1)(OMEGA )/W OU= PSI P.P. SUR OMEGA ). UNE TELLE INEQUATION ADMET AU MOINS UNE BRANCHE DE SOLUTIONS EQUATION ET UNE BRANCHE DE SOLUTIONS INEQUATIONS. ON CHERCHE A CONNAITRE LA STRUCTURE LOCALE DES BRANCHES INEQUATIONS. GRACE A UN PROCESSUS DE LINEARISATION "CONIQUE" ON CLASSE LES POINTS DE LA BRANCHE INEQUATION EN POINTS REGULIERS OU SINGULIERS. AU VOISINAGE D'UN POINT REGULIER, ON MONTRE QUE LES SOLUTIONS ADMETTENT UN DEVELOPPEMENT SELON LAMBDA . PUIS ON ETUDIE LE COMPORTEMENT LOCAL DES SOLUTIONS AU VOISINAGE D'UN POINT SINGULIER VERIFIANT CERTAINES HYPOTHESES, QUI SONT A RAPPROCHER DE CELLES FAITES POUR LES EQUATIONS ET QUI ASSURENT QU'ON A DU POINT DE RETOURNEMENT. ON MONTRE QUE, DANS CERTAINS CAS, IL EXISTE UN TEL POINT SINGULIER, SUR LA BRANCHE DE SOLUTIONS MAXIMALES. LES BRANCHES EQUATIONS ET INEQUATIONS SONT RELIEES PAR UN POINT APPELE POINT DE TRANSITION. ON FAIT UNE ETUDE PLUS FINE AU VOISINAGE DE CE POINT. UNE ETUDE DES DIVERSES CONDITIONS INTRODUITES POUR L'ETUDE LOCALE, MONTRE QU'ELLES SONT FORTEMENT LIEES A UNE CONDITION TYPE STABILITE. ILLUSTRATION NUMERIQUE SUR QUELQUES PROBLEMES D'OBSTACLE