Nous étudions les structures logiques finies ou infinies à travers les énoncés de profondeur de quantification donnée qui sont vrais dans ces structures. <br /><br />Cette étude porte principalement sur un nouvel outil logique appelé $k$-destinées de Nézondet. Une $k$-destinée d'une structure consiste en une présentation arborescente des types de $k$-isomorphisme de Fraïssé de la structure. Nous analysons ce nouvel outil, en particulier nous montrons que les destinées s'intègrent parfaitement au contexte des $k$-isomorphismes de Fraïssé et des jeux d'Ehrenfeucht. <br /><br />Nous détaillons un algorithme de décision utilisant les destinées. Nous comparons en détail les structures dont on peut construire récursivement les destinées et les structures $H$-bornées. Enfin, nous donnons quelques résultats intermédiaires du problème NE ?= CoNE et de sa version logique, la conjecture du Spectre.

Cette note de synthèse rédigée en vue de soutenir une habilitation à diriger des recherches (HDR) a comme but de proposer une relecture de l'ensemble de travaux de recherche que je conduis depuis une quinzaine d'année sur l'articulation entre la logique et le raisonnement mathématique à la lumière de la théorie élémentaire des modèles de Tarski, qui joue ici le rôle de référence épistémologique pour les analyses didactiques. Une première partie présente les aspects de la théorie des modèles que j'ai retenu pour les études didactiques, ainsi qu'un exemple de l'utilisation de ce cadre pour repenser les questions de vérité, de validité, de nécessité et de certitude. La suite du document développe les analyses suivant trois axes : un retour sur les connecteurs logiques au-delà des tables de vérité ; un questionnement de différentes pratiques ordinaires dans la classe de mathématiques concernant la gestion des questions de quantification ; l'interprétation des énoncés mathématiques sous les angles syntaxique, sémantique et pragmatique. Ceci permet de réinterpréter un certain nombre d'erreurs classiques de logique ; de réduire la distance supposée entre logique de sens commun et logique mathématique et de s'interroger sur certains choix d'enseignement eu égards en particulier aux objectifs d'apprentissage visés en terme de rigueur.<br />Les résultats obtenus dans ce cadre théorique général permettent d'envisager un programme de recherche suivant deux axes complémentaires. Le premier axe concerne le développement des travaux visant à élucider le rôle que joue le formalisme logique dans l'élaboration des connaissances mathématiques au niveau de l'enseignement universitaire en lien avec la mise en œuvre d'ingénieries didactiques. Le second axe concerne la poursuite des recherches amorcées sur le croisement entre analyses didactiques et analyses dynamiques du discours dans la classe de mathématiques en mobilisant les ressources offertes par la sémantique logique.

Etude des résolutions de problèmes mathématiques par des personnes parvenues au stade hypothético-déductif exprimées par un discours. Présentation d'un outil pour l'étude des raisonnements naturels.

Ce mémoire a pour objectif principal l'analyse du concept de métalangage tel qu'il s'est développé en logique mathématique. L'introduction et la conclusion mises à part, chaque chapitre porte sur un auteur -logicien, mathématicien ou philosophe ayant contribué de manière significative à l'évolution de ce concept. Ces auteurs sont, en ordre de présentation, Gottlob Frege, Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein, David Hilbert, Kurt Godel et Alfed Tarski. Puisque la notion de métalangage s'est développée avec la formalisation progressive de la logique, une attention particulière est accordée à l'émergence des systèmes formels et à leur présentation. Trois périodes se dessinent dans la genèse de cette notion. Une première, que j'appelle « pré-météthéorique », où l'intervention d'une théorie externe au langage formel est rejetée catégoriquement, mais où certaines notions métathéoriques sont implicitement tracées. Une seconde, dite « hilbertienne », qui marque l'entrée en jeu de la métamathématique et qui consacre le métalangage dans l'étude des mathématiques, quoiqu'avec des moyens limités. Et une troisième, dite « tarskienne », où la notion moderne de métalangage est exposée. Par ailleurs, j'effectue une analyse détaillée de la preuve que Godel donne de son second théorème d'incomplétude où je prétends qu'il commet une erreur conceptuelle entre langage et métalangage. Enfin, en conclusion, j'explore une conception fondationnelle de la logique compatible avec l'étude métathéorique. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Métalangage, Logique, Philosophie, Métamathématique, Godel, Tarski.

Les programmes mobiles, comme les applettes, sont utiles mais potentiellement hostiles, et il faut donc pouvoir s'assurer que leur exécution n'est pas dangereuse pour le système hôte. Une solution est d'exécuter le programme mobile dans un environnement sécurisé, servant d'interface avec les ressources locales, dans le but de contrôler les flux d'informations entre le code mobile et les ressources, ainsi que les accès du code mobile aux ressources. Nous proposons deux critères de sécurité pour l'exécution de code mobile, obtenus chacun à partir d'une analyse de l'environnement local. Le premier porte sur les flux d'informations, garantit la confidentialité, est fondé sur le code de l'environnement, et est exact et indécidable ; le second porte sur les contrôles d'accès, garantit le confinement, s'obtient à partir du type de l'environnement, et est approché et décidable. Le premier chapitre, méthodologique, présente l'étude d'objets infinis représentés sous la forme d'arbres. Nous avons privilégié pour les définir, une approche équationnelle, et pour raisonner sur eux, une approche déductive, fondée sur l'interprétation co-inductive de systèmes d'inférence. Dans le second chapitre, on montre dans le cas simple du calcul, comment passer d'une sémantique opérationnelle à une sémantique dénotationnelle, en utilisant comme dénotation d'un programme son observation. Le troisième chapitre présente finalement en détail les deux critères de sécurité pour l'exécution de code mobile. Les techniques développées dans les chapitres précédents sont utilisées pour l'étude de la confidentialité, alors que des techniques élémentaires suffisent à l'étude du confinement.