Les travaux présentés dans cette thèse concernent la dynamique d'opérateurs pour des sous-espaces. Nous étudions principalement deux notions de dynamique pour des sous-espaces qui sont la n-supercyclicité et la forte n-supercyclicité. Dans une première partie, nous étudions l'existence de tels opérateurs dans le cadre des espaces de dimension finie et nous exhibons les indices de supercyclicité admissibles pour des espaces réels de dimension finie. Dans une deuxième partie, nous étudions en détail les opérateurs fortement n-supercycliques en exhibant leurs propriétés spectrales et en donnant des caractérisations pour certaines classes d'opérateurs. Nous détaillons ensuite une nouvelle notion de dynamique pour des sous-espaces de codimension finie et nous étudions les propriétés de tels opérateurs, en particulier le lien "dual" avec les opérateurs fortement n-supercycliques. Enfin, nous terminons avec une caractérisation des opérateurs chaotiques sur certains types d'espaces de suites sans base inconditionnelle, un critère de supercyclicité pour des opérateurs non-bornés et une condition suffisante pour obtenir un opérateur multiple mélangeant de tout degré.

Les travaux présentés dans cette thèse concernent la dynamique d'opérateurs pour des sous-espaces. Nous étudions principalement deux notions de dynamique pour des sous-espaces qui sont la n-supercyclicité et la forte n-supercyclicité. Dans une première partie, nous étudions l'existence de tels opérateurs dans le cadre des espaces de dimension finie et nous exhibons les indices de supercyclicité admissibles pour des espaces réels de dimension finie. Dans une deuxième partie, nous étudions en détail les opérateurs fortement n-supercycliques en exhibant leurs propriétés spectrales et en donnant des caractérisations pour certaines classes d'opérateurs. Nous détaillons ensuite une nouvelle notion de dynamique pour des sous-espaces de codimension finie et nous étudions les propriétés de tels opérateurs, en particulier le lien "dual" avec les opérateurs fortement n-supercycliques. Enfin, nous terminons avec une caractérisation des opérateurs chaotiques sur certains types d'espaces de suites sans base inconditionnelle, un critère de supercyclicité pour des opérateurs non-bornés et une condition suffisante pour obtenir un opérateur multiple mélangeant de tout degré. / This dissertation deals with some recent notions of linear dynamics of subspaces. In the first part, we provide a detailed study of n-supercyclicity and strong n-supercyclicicty in the finite dimensional setting. In particular we give a characterisation of the indices for which there exist n-supercyclic operators. We focus then on spectral properties of strongly n-supercyclic operators and on general properties as well. We also provide examples of operators whose supercyclic and strongly n-supercyclic behaviour are different. We introduce a new class of operators dealing with orbits of subspaces of finite codimension and we exhibit a \dual\ link with strong n-supercyclicity. Independently of these results, we give a characterisation of chaotic weighted shifts on a class of sequence spaces not necessarily admitting an unconditional basis. We conclude with a study of supercyclicity for unbounded operators and a sufficient condition to obtain multiple mixing operators.

Dans la première partie de cette thèse, on s'intéresse à la convergence de certaines séries aléatoires. On détermine des conditions suffisantes sur la suite $(a_k)_{k\geq 1}$ et sur les variables aléatoires indépendantes $(X_k)_{k\geq 1}$, afin que pour presque tout $\omega\in\Omega$, on ait la convergence uniforme ou pour presque tout $x$ de la série $\sum_{k\geq 1}a_k f(x\cdot(X_1+\cdots+X_k)(\omega))$ pour une certaine classe de fonctions $f$. On trouve, aussi, des conditions suffisantes sur la suite $(a_k)_{k\geq 1}$ et sur les variables aléatoires indépendantes $(X_k)_{k\geq 1}$, afin que pour presque tout $\omega\in\Omega$, on ait la convergence dans $L^2(\mu)$ ou $\mu$-presque partout de la série $\sum_{k\geq 1}a_k T^{(X_1+\cdots+X_k)(\omega)}(g)(x)$ pour certaines classes de fonctions $g\in L^2(\mu)$ et de flot $\{T^{t},t\in G\}$ d'opérateurs de $L^2(\mu)$ dans $L^2(\mu)$ (où $G$ est un semi-groupe de $\mathbb{R}$). La deuxième partie porte sur des propriétés de mesures : quasi-Bernoulli et quasi-Bernoulli faible. On trouve notamment des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une mesure de Markov inhomogène soit quasi-Bernoulli ou quasi-Bernoulli faible. On caractèrise à l'aide de ces conditions les mesures de Bernoulli qui sont quasi-Bernoulli ou quasi-Bernoulli faible. On prouve que si une mesure de Bernoulli n'ayant que des probabilités non nulles est quasi-Bernoulli faible alors elle est quasi-Bernoulli. La dernière partie est consacrée à l'étude du problème du temps de retour uniforme dans les systèmes exponentiellement mélangeant. Il s'agit d'avoir un recouvrement aléatoire de l'espace engendré par un processus exponentiellement mélangeant. Etant donné un recouvrement aléatoire, on obtient une estimation du nombre de recouvrements en fonction de la dimension maximale locale de la mesure

Nous étudions dans la première partie les lois de certaines intégrales stochastiques. Après le cas introductif des intégrales de Poisson dont nous étudions l'absolue continuité, on construit les intégrales stables multiples pour les fonctions dans un espace de type Orlicz. Pour cela, nous passons par une généralisation de la représentation de LePage. Cette représentation est bien adaptée pour utiliser ensuite la méthode de stratification et étudier la loi de ces intégrales. Nous trouvons en particulier une condition garantissant l'absolue continuité par rapport à la mesure de Lebesgue des lois jointes d'intégrales stables multiples. Nous prouvons également à partir de cette représentation la continuité pour la norme de la variation totale des lois de ces intégrales par rapport aux fonctions intégrées. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la convergence forte des lois des fonctionnelles stochastiques. Nous considérons tout d'abord une suite de variables aléatoires $(\xi_n)_n$ {\it i.i.d.} et on lui associe des processus de sommes partielles normalisées. On s'intéresse alors à la convergence en variation des lois des fonctionnelles de ces processus vers celles des fonctionnelles respectives du processus de Wiener. Ce type de convergence renforce celles du théorème central limite fonctionnel et permet d'obtenir un principe local d'invariance. Nous prouvons une telle convergence pour une large classe de fonctionnelles sous des hypothèses sensiblement affaiblies sur la loi commune des $\xi_n$ par rapport aux résultats précédents. Nous donnons des exemples concrets de fonctionnelles pour lesquelles ces convergences tiennent. Nous montrons pour terminer un résultat du même type en partant de certaines suites de variables aléatoires fortement mélangeantes. On obtient notamment dans un cas particulier un résultat de convergence en variation des lois des sommes partielles normalisées de variables mélangeantes.

Ce travail de thèse porte principalement sur deux problématiques différentes mais qui ont pour point commun, la contribution à la modélisation et à la gestion du risque en actuariat. Dans le premier thème de recherche abordé dans cette thèse, on s'intéresse à la modélisation de la dépendance en assurance et en particulier, on propose une extension des modèles à facteurs communs qui sont utilisés en assurance. Dans le deuxième thème de recherche, on considère les distributions discrètes décroissantes et on s'intéresse à l'étude de l'effet de l'ajout de la contrainte de convexité sur les extrema convexes. Des applications en liaison avec la théorie de la ruine motivent notre intérêt pour ce sujet. Dans la première partie de la thèse, on considère un modèle de risque en temps discret dans lequel les variables aléatoires sont dépendantes mais conditionnellement indépendantes par rapport à un facteur commun. Dans ce cadre de dépendance on introduit un nouveau concept pour la modélisation de la dépendance temporelle entre les risques d'un portefeuille d'assurance. En effet, notre modélisation inclut des processus de mémoire non bornée. Plus précisément, le conditionnement se fait par rapport à un vecteur aléatoire de longueur variable au cours du temps. Sous des conditions de mélange du facteur et d'une structure de mélange conditionnel, nous avons obtenu des propriétés de mélanges pour les processus non conditionnels. Avec ces résultats on peut obtenir des propriétés asymptotiques intéressantes. On note que dans notre étude asymptotique c'est plutôt le temps qui tend vers l'infini que le nombre de risques. On donne des résultats asymptotiques pour le processus agrégé, ce qui permet de donner une approximation du risque d'une compagnie d'assurance lorsque le temps tend vers l'infini. La deuxième partie de la thèse porte sur l'effet de la contrainte de convexité sur les extrema convexes dans la classe des distributions discrètes dont les fonctions de masse de probabilité (f.m.p.) sont décroissantes sur un support fini. Les extrema convexes dans cette classe de distributions sont bien connus. Notre but est de souligner comment les contraintes de forme supplémentaires de type convexité modifient ces extrema. Deux cas sont considérés : la f.m.p. est globalement convexe sur N et la f.m.p. est convexe seulement à partir d'un point positif donné. Les extrema convexes correspondants sont calculés en utilisant de simples propriétés de croisement entre deux distributions. Plusieurs illustrations en théorie de la ruine sont présentées / In this thesis we focus on two different problems which have as common point the contribution to the modeling and to the risk management in insurance. In the first research theme, we are interested by the modeling of the dependence in insurance. In particular we propose an extension to model with common factor. In the second research theme we consider the class of nonincreasing discrete distributions and we are interested in studying the effect of additional constraint of convexity on the convex extrema. Some applications in ruin theory motivate our interest to this subject. The first part of this thesis is concerned with factor models for the modeling of the dependency in insurance. An interesting property of these models is that the random variables are conditionally independent with respect to a factor. We propose a new model in which the conditioning is with respect to the entire memory of the factor. In this case we give some mixing properties of risk process under conditions related to the mixing properties of the factor process and to the conditional mixing risk process. The law of the sum of random variables has a great interest in actuarial science. Therefore we give some conditions under which the law of the aggregated process converges to a normal distribution. In the second part of the thesis we consider the class of discrete distributions whose probability mass functions (p.m.f.) are nonincreasing on a finite support. Convex extrema in that class of distributions are well-known. Our purpose is to point out how additional shape constraints of convexity type modify these extrema. Two cases are considered : the p.m.f. is globally convex on N or it is convex only from a given positive point. The corresponding convex extrema are derived by using a simple crossing property between two distributions. Several applications to some ruin problems are presented for illustration

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux méthodes dites récursives qui permettent une mise à jour des estimations séquentielles de données spatiales ou spatio-temporelles et qui ne nécessitent pas un stockage permanent de toutes les données. Traiter et analyser des flux des données, Data Stream, de façon effective et efficace constitue un défi actif en statistique. En effet, dans beaucoup de domaines d'applications, des décisions doivent être prises à un temps donné à la réception d'une certaine quantité de données et mises à jour une fois de nouvelles données disponibles à une autre date. Nous proposons et étudions ainsi des estimateurs à noyau de la fonction de densité de probabilité et la fonction de régression de flux de données spatiales ou spatio-temporelles. Plus précisément, nous adaptons les estimateurs à noyau classiques de Parzen-Rosenblatt et Nadaraya-Watson. Pour cela, nous combinons la méthodologie sur les estimateurs récursifs de la densité et de la régression et celle d'une distribution de nature spatiale ou spatio-temporelle. Nous donnons des applications et des études numériques des estimateurs proposés. La spécificité des méthodes étudiées réside sur le fait que les estimations prennent en compte la structure de dépendance spatiale des données considérées, ce qui est loin d'être trivial. Cette thèse s'inscrit donc dans le contexte de la statistique spatiale non-paramétrique et ses applications. Elle y apporte trois contributions principales qui reposent sur l'étude des estimateurs non-paramétriques récursifs dans un cadre spatial/spatio-temporel et s'articule autour des l'estimation récursive à noyau de la densité dans un cadre spatial, l'estimation récursive à noyau de la densité dans un cadre spatio-temporel, et l'estimation récursive à noyau de la régression dans un cadre spatial. / In this thesis, we are interested in recursive methods that allow to update sequentially estimates in a context of spatial or spatial-temporal data and that do not need a permanent storage of all data. Process and analyze Data Stream, effectively and effciently is an active challenge in statistics. In fact, in many areas, decisions should be taken at a given time at the reception of a certain amount of data and updated once new data are available at another date. We propose and study kernel estimators of the probability density function and the regression function of spatial or spatial-temporal data-stream. Specifically, we adapt the classical kernel estimators of Parzen-Rosenblatt and Nadaraya-Watson. For this, we combine the methodology of recursive estimators of density and regression and that of a distribution of spatial or spatio-temporal data. We provide applications and numerical studies of the proposed estimators. The specifcity of the methods studied resides in the fact that the estimates take into account the spatial dependence structure of the relevant data, which is far from trivial. This thesis is therefore in the context of non-parametric spatial statistics and its applications. This work makes three major contributions. which are based on the study of non-parametric estimators in a recursive spatial/space-time and revolves around the recursive kernel density estimate in a spatial context, the recursive kernel density estimate in a space-time and recursive kernel regression estimate in space.

Dans cette de thèse, nous nous intéressons à la modélisation non paramétrique de données extrêmes spatiales. Nos résultats sont basés sur un cadre principal de la théorie des valeurs extrêmes, permettant ainsi d’englober les lois de type Pareto. Ce cadre permet aujourd’hui d’étendre l’étude des événements extrêmes au cas spatial à condition que les propriétés asymptotiques des estimateurs étudiés vérifient les conditions classiques de la Théorie des Valeurs Extrêmes (TVE) en plus des conditions locales sur la structure des données proprement dites. Dans la littérature, il existe un vaste panorama de modèles d’estimation d’événements extrêmes adaptés aux structures des données pour lesquelles on s’intéresse. Néanmoins, dans le cas de données extrêmes spatiales, hormis les modèles max stables,il n’en existe que peu ou presque pas de modèles qui s’intéressent à l’estimation fonctionnelle de l’indice de queue ou de quantiles extrêmes. Par conséquent, nous étendons les travaux existants sur l’estimation de l’indice de queue et des quantiles dans le cadre de données indépendantes ou temporellement dépendantes. La spécificité des méthodes étudiées réside sur le fait que les résultats asymptotiques des estimateurs prennent en compte la structure de dépendance spatiale des données considérées, ce qui est loin d’être trivial. Cette thèse s’inscrit donc dans le contexte de la statistique spatiale des valeurs extrêmes. Elle y apporte trois contributions principales. • Dans la première contribution de cette thèse permettant d’appréhender l’étude de variables réelles spatiales au cadre des valeurs extrêmes, nous proposons une estimation de l’indice de queue d’une distribution à queue lourde. Notre approche repose sur l’estimateur de Hill (1975). Les propriétés asymptotiques de l’estimateur introduit sont établies lorsque le processus spatial est adéquatement approximé par un processus M−dépendant, linéaire causal ou lorsqu'il satisfait une condition de mélange fort (a-mélange). • Dans la pratique, il est souvent utile de lier la variable d’intérêt Y avec une co-variable X. Dans cette situation, l’indice de queue dépend de la valeur observée x de la co-variable X et sera appelé indice de queue conditionnelle. Dans la plupart des applications, l’indice de queue des valeurs extrêmes n’est pas l’intérêt principal et est utilisé pour estimer par exemple des quantiles extrêmes. La contribution de ce chapitre consiste à adapter l’estimateur de l’indice de queue introduit dans la première partie au cadre conditionnel et d’utiliser ce dernier afin de proposer un estimateur des quantiles conditionnels extrêmes. Nous examinons les modèles dits "à plan fixe" ou "fixed design" qui correspondent à la situation où la variable explicative est déterministe et nous utlisons l’approche de la fenêtre mobile ou "window moving approach" pour capter la co-variable. Nous étudions le comportement asymptotique des estimateurs proposés et donnons des résultats numériques basés sur des données simulées avec le logiciel "R". • Dans la troisième partie de cette thèse, nous étendons les travaux de la deuxième partie au cadre des modèles dits "à plan aléatoire" ou "random design" pour lesquels les données sont des observations spatiales d’un couple (Y,X) de variables aléatoires réelles. Pour ce dernier modèle, nous proposons un estimateur de l’indice de queue lourde en utilisant la méthode des noyaux pour capter la co-variable. Nous utilisons un estimateur de l’indice de queue conditionnelle appartenant à la famille de l’estimateur introduit par Goegebeur et al. (2014b). / In this thesis, we investigate nonparametric modeling of spatial extremes. Our resultsare based on the main result of the theory of extreme values, thereby encompass Paretolaws. This framework allows today to extend the study of extreme events in the spatialcase provided if the asymptotic properties of the proposed estimators satisfy the standardconditions of the Extreme Value Theory (EVT) in addition to the local conditions on thedata structure themselves. In the literature, there exists a vast panorama of extreme events models, which are adapted to the structures of the data of interest. However, in the case ofextreme spatial data, except max-stables models, little or almost no models are interestedin non-parametric estimation of the tail index and/or extreme quantiles. Therefore, weextend existing works on estimating the tail index and quantile under independent ortime-dependent data. The specificity of the methods studied resides in the fact that theasymptotic results of the proposed estimators take into account the spatial dependence structure of the relevant data, which is far from trivial. This thesis is then written in thecontext of spatial statistics of extremes. She makes three main contributions.• In the first contribution of this thesis, we propose a new approach of the estimatorof the tail index of a heavy-tailed distribution within the framework of spatial data. This approach relies on the estimator of Hill (1975). The asymptotic properties of the estimator introduced are established when the spatial process is adequately approximated by aspatial M−dependent process, spatial linear causal process or when the process satisfies a strong mixing condition.• In practice, it is often useful to link the variable of interest Y with covariate X. Inthis situation, the tail index depends on the observed value x of the covariate X and theunknown fonction (.) will be called conditional tail index. In most applications, the tailindexof an extreme value is not the main attraction, but it is used to estimate for instance extreme quantiles. The contribution of this chapter is to adapt the estimator of the tail index introduced in the first part in the conditional framework and use it to propose an estimator of conditional extreme quantiles. We examine the models called "fixed design"which corresponds to the situation where the explanatory variable is deterministic. To tackle the covariate, since it is deterministic, we use the window moving approach. Westudy the asymptotic behavior of the estimators proposed and some numerical resultsusing simulated data with the software "R".• In the third part of this thesis, we extend the work of the second part of the framemodels called "random design" for which the data are spatial observations of a pair (Y,X) of real random variables . In this last model, we propose an estimator of heavy tail-indexusing the kernel method to tackle the covariate. We use an estimator of the conditional tail index belonging to the family of the estimators introduced by Goegebeur et al. (2014b).