Dans la première partie de cette thèse, on s'intéresse à la convergence de certaines séries aléatoires. On détermine des conditions suffisantes sur la suite $(a_k)_{k\geq 1}$ et sur les variables aléatoires indépendantes $(X_k)_{k\geq 1}$, afin que pour presque tout $\omega\in\Omega$, on ait la convergence uniforme ou pour presque tout $x$ de la série $\sum_{k\geq 1}a_k f(x\cdot(X_1+\cdots+X_k)(\omega))$ pour une certaine classe de fonctions $f$. On trouve, aussi, des conditions suffisantes sur la suite $(a_k)_{k\geq 1}$ et sur les variables aléatoires indépendantes $(X_k)_{k\geq 1}$, afin que pour presque tout $\omega\in\Omega$, on ait la convergence dans $L^2(\mu)$ ou $\mu$-presque partout de la série $\sum_{k\geq 1}a_k T^{(X_1+\cdots+X_k)(\omega)}(g)(x)$ pour certaines classes de fonctions $g\in L^2(\mu)$ et de flot $\{T^{t},t\in G\}$ d'opérateurs de $L^2(\mu)$ dans $L^2(\mu)$ (où $G$ est un semi-groupe de $\mathbb{R}$). La deuxième partie porte sur des propriétés de mesures : quasi-Bernoulli et quasi-Bernoulli faible. On trouve notamment des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une mesure de Markov inhomogène soit quasi-Bernoulli ou quasi-Bernoulli faible. On caractèrise à l'aide de ces conditions les mesures de Bernoulli qui sont quasi-Bernoulli ou quasi-Bernoulli faible. On prouve que si une mesure de Bernoulli n'ayant que des probabilités non nulles est quasi-Bernoulli faible alors elle est quasi-Bernoulli. La dernière partie est consacrée à l'étude du problème du temps de retour uniforme dans les systèmes exponentiellement mélangeant. Il s'agit d'avoir un recouvrement aléatoire de l'espace engendré par un processus exponentiellement mélangeant. Etant donné un recouvrement aléatoire, on obtient une estimation du nombre de recouvrements en fonction de la dimension maximale locale de la mesure

L'objectif principal de cette thèse est la description des propriétés de taille et de grande intersection des ensembles apparaissant lors de l'analyse multifractale de certains processus stochastiques. Dans ce but, nous introduisons de nouvelles classes d'ensembles à grande intersection associées à des fonctions de jauge générales et nous prouvons, à l'aide de techniques d'ubiquité, des résultats d'appartenance à ces classes pour certains ensembles limsup. Cela nous permet en particulier de décrire exhaustivement les propriétés de taille et de grande intersection des ensembles issus de la théorie classique de l'approximation diophantienne comme l'ensemble des points bien approchables par des rationnels ou l'ensemble des nombres de Liouville. Nous fournissons aussi des résultats du même type lorsque les rationnels intervenant dans l'approximation doivent vérifier certaines conditions, comme les conditions de Besicovitch. Nos techniques d'ubiquité nous permettent en outre de décrire complètement les propriétés de taille et de grande intersection des ensembles intervenant dans l'analyse multifractale des processus de Lévy et d'un modèle de séries lacunaires d'ondelettes. Nous obtenons des résultats similaires pour un nouveau modèle de séries aléatoires d'ondelettes dont les coefficients sont corrélés via une chaîne de Markov indexée par un arbre. Nous déterminons en particulier la loi du spectre de singularités de ce modèle. Pour mener cette étude, nous nous intéressons à une large classe de fractals aléatoires généralisant les constructions récursives aléatoires précédemment introduites par de nombreux auteurs.

Nous étudions les séries aléatoires définies sur R^D par F(t) = Σ n^(-α/D)G(n^(1/D)(t − Xn)) , où α > 0, G est une "bosse élémentaire" et (Xn)n>1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi. Nous commençons par discuter l'existence de séries plus générales, appelées fonctions de bosses, en soulignant le rôle de chacun des paramètres. C'est dans ce cadre que sont établies des conditions suffisantes d'intégrabilité, d'existence et de continuité. Nous poursuivons l'étude de la régularité presque sûre des trajectoires du modèle standard et déterminons en particulier un exposant de Hölder uniforme. Nous nous intéressons alors naturellement aux dimensions fractales de son graphe. Pour cela, nous développons des outils d'analyse généraux permettant de traiter les fonctions uniformément höldériennes. Nous énonçons des résultats concernant l'estimation des dimensions de boîte et de régularisation, et, plus généralement, d'une large classe d'indices dimensionnels, certains liés à l'analyse multifractale. Nous calculons ensuite<br />la dimension de Hausdorff du graphe de F . La seconde partie de notre thèse est consacrée à l'application des fonctions de bosses à la modélisation de profils rugueux. On met en évidence de nouvelles propriétés théoriques, notamment à l'aide des fonctions de structure. Celles-ci donnent<br />naissance à des diagrammes logarithmiques, les courbes de structure, qui permettent d'analyser un signal en tenant compte des contraintes expérimentales. Elles sont utilisées pour l'identification d'une fonction de bosses et l'estimation de ses paramètres. Nous proposons pour cela de nombreuses méthodes en construisant des estimateurs adaptés. Il est alors possible de modéliser un signal donné par une fonction de bosses. Les courbes de structure servent encore à l'élaboration de critères de conformité. Des exemples de données théoriques et expérimentales illustrent notre propos.

Le mouvement brownien fractionnaire (mbf) constitue un important outil de modélisation utilisé dans plusieurs domaines (biologie, économie, finance, géologie, hydrologie, télécommunications, etc.) ; toutefois, ce modèle ne parvient pas toujours à donner une description suffisamment fidèle de la réalité, à cause, entre autres, des deux limitations suivantes : d'une part le mbf est un processus gaussien, et d'autre part, sa rugosité locale (mesurée par un exposant de Hölder) reste la même tout le long de sa trajectoire, puisque cette rugosité est partout égale au paramètre de Hurst H qui est une constante. En vue d'y remédier, S. Stoev et M.S. Taqqu (2004 et 2005) ont introduit le mouvement multifractionnaire stable linéaire (mmsl) ; ce processus stochastique strictement α-stable (StαS), désigné par {Y(t)}, est obtenu en remplaçant la mesure brownienne par une mesure StαS et le paramètre de Hurst H par une fonction H(.) dépendant de t. On se place systématiquement dans le cas où cette fonction est continue et à valeurs dans l'intervalle ouvert ]1/α,1[. Il convient aussi de noter que l'on a pour tout t, Y(t)=X(t,H(t)), où {X(u,v)} est le champ stochastique StαS, tel que pour tout v fixé, le processus {X(u,v)} est un mouvement fractionnaire stable linéaire. L'objectif de la thèse est de mener une étude approfondie du mmsl, au moyen de méthodes d'ondelettes ; elle consiste principalement en trois parties. (1) On détermine de fins modules de continuité, globaux et locaux de {Y(t)} ; cela repose essentiellement sur une nouvelle représentation de {X(u,v)}, sous la forme d'une série aléatoire, dont on montre la convergence presque sûre dans certains espaces de Hölder. (2) On introduit, via la base de Haar, une autre représentation de {X(u,v)} en série aléatoire ; cette dernière permet la mise en place d'une méthode de simulation efficace du mmsl, ainsi que de ses parties hautes et basses fréquences. (3) On construit des estimateurs par ondelettes du paramètre fonctionnel H(.) du mmsl, ainsi que de son paramètre de stabilité α.