Le but de cette thèse est d'étudier des différents sujets de la programmation semidéfinie non linéaire(SDP). Ainsi, dans les deux premiers chapitres nous presentons certains aspects algorithmiques, dans les chapitres 3 et 4 nous travaillons sur des aspects théoriques comme l'analyse de perturbations de ce problème. Le premier chapitre développe un algorithme global qui étend l'algorithme local S-SDP. Cet algorithme est basé sur une fonction de pénalisation de Han et une stratégie de recherche linéaire. Le second chapitre est consacré à l'étude des méthodes de pénalisation ou fonctions barrière pour résoudre des problèmes semidéfinis convexes. Nous démontrons la convergence des suites primale et duale obtenues par cette méthode. De plus, nous étudions l'algorithme à deux paramètres en étendant les résultats connus dans le cadre restreint de la programmation convexe usuelle. Dans une deuxième partie, constituée des chapitres 3 et 4, nous nous intéressons à la caractérisation de la propriété des solutions fortement régulières en fonction des certaines conditions optimales de deuxième ordre. Ainsi, dans le troisième chapitre nous nous consacrons au problème de second-ordre, lequel est un cas particulier du problème SDP, dont on obtient cette caractérisation. Enfin dans la chapitre 4, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour la condition de régularité forte dans le cas SDP, en revanche, sa caractérisation reste un problème ouvert.

Motivée par deux problématiques liées aux plasmas de tokamak, cette thèse propose deux méthodes d'approximation numérique pour deux problèmes mathématiques s'y rattachant. D'une part, pour l'étude du transport turbulent de particules, une méthode numérique basée sur les schémas de subdivision est présentée pour la simulation de trajectoires de particules dans un champ de vitesse fortement variable. D'autre part, dans le cadre de la modélisation de l'interaction plasma-paroi, une méthode de pénalisation est proposée pour la prise en compte de conditions aux limites de type Neumann ou Robin. Analysées sur des problèmes modèles de complexité croissante, ces méthodes sont enfin appliquées dans des situations plus réalistes d'intérêt pratique dans l'étude du plasma de bord. / Motivated by two issues related to tokamak plasmas, this thesis proposes two numerical approximation methods for two mathematical problems associated with them. On the one hand, in order to study the turbulent transport of particles, a numerical method based on subdivision schemes is presented for the simulation of particle trajectories in a strongly varying velocity field. On the other hand, in the context of modeling the plasma-wall interaction, a penalization method is proposed to take into account Neumann or Robin boundary conditions. Analyzed on model problems of increasing complexity, these methods are finally applied in more realistic situations of practical interest in the study of the edge plasma.

La simulation d'écoulements dans des géométries complexes nécessite la création de maillages parfois difficile à réaliser. La méthode de pénalisation proposée dans ce travail permet de simplifier cette étape. En effet, la résolution des équations qui gouvernent l'écoulement se fait sur un maillage plus simple mais non-adapté à la géométrie du problème. Les conditions aux limites sur les parties du domaine physique immergées dans le maillage sont prises en compte à travers l'ajout d'un terme de pénalisation dans les équations. Nous nous sommes intéressés à l'approximation du terme de pénalisation pour une discrétisation par volumes finis sur maillages décalés et colocatifs. Les cas tests de vérification réalisés attestent d'un ordre de convergence spatial égal à 2 pour la méthode de pénalisation appliquée à la résolution d'une équation de type Poisson ou des équations de Navier-Stokes. Enfin, on présente les résultats obtenus pour la simulation d'écoulements turbulents autour d'un cylindre à Re=3900 et à l'intérieur d'une partie d'un assemblage combustible à Re=9500.

La simulation d'écoulements dans des géométries complexes nécessite la création de maillages parfois difficile à réaliser. La méthode de pénalisation proposée dans ce travail permet de simplifier cette étape. En effet, la résolution des équations qui gouvernent l'écoulement se fait sur un maillage plus simple mais non-adapté à la géométrie du problème. Les conditions aux limites sur les parties du domaine physique immergées dans le maillage sont prises en compte à travers l'ajout d'un terme de pénalisation dans les équations. Nous nous sommes intéressés à l'approximation du terme de pénalisation pour une discrétisation par volumes finis sur maillages décalés et colocatifs. Les cas tests de vérification réalisés attestent d'un ordre de convergence spatial égal à 2 pour la méthode de pénalisation appliquée à la résolution d'une équation de type Poisson ou des équations de Navier-Stokes. Enfin, on présente les résultats obtenus pour la simulation d'écoulements turbulents autour d'un cylindre à Re=3900 et à l'intérieur d'une partie d'un assemblage combustible à Re=9500. / The simulations of fluid flows in complex geometries require the generation of body-fitted meshes which are difficult to create.The penalty method developed in this work is useful to simplify the mesh generation task.The governing equations of fluid flow are discretized using a finite volume method on an unfitted mesh.The immersed boundary conditions are taken into account through a penalty term added to the governing equations.We are interested in the approximation of the penalty term using a finite volume discretization with collocated and staggered grid.The penalty method is second-order spatial accurate for Poisson and Navier-Stokes equations.Finally, simulations of turbulent flows around a cylinder at Re=3900 and turbulent motions in a rod bundle at Re=9500 are performed.

Les phénomènes d'érosion sont une cause majeure dans la rupture des ouvrages hydrauliques tels que les digues ou les barrages. Le territoire compte 10000 km de digues, d'où un enjeu important en terme de risque d'inondation. Une approche plus générale est essentielle à une compréhension fine des phénomènes. La modélisation des mécanismes de l'érosion doit permettre l'élaboration de solutions pour sécuriser les ouvrages et les rendre moins sensibles à ces phénomènes. Ce travail est consacré à la modélisation d'une interface entre un milieu de sol et un milieu d'écoulement. Le mouvement de cette interface est régi par l'érosion du sol sous l'effet de l'écoulement. L'écoulement est calculé par les équations de Stokes munies d'un terme de pénalisation permettant la représentation unifiée des comportements des deux milieux. Dans une première partie, nous aborderons la problématique de la représentation de l'érosion. La seconde partie traite plus précisément de la représentation unifiée des comportements des milieux, notamment grâce à l'utilisation des méthodes de pénalisation. La troisième partie constitue une revue des principales méthodes permettant le suivit d'une interface. Une description précise de la méthode Level Set est donnée. Dans la quatrième partie, nous abordons la résolution numérique des équations d'écoulement. La cinquième partie rassemble l'ensemble des tests de la méthode. Enfin, la dernière partie est consacrée à l'application du modèle sur trois cas : le " Hole Erosion Test ", le phénomène de suffusion et l'érosion d'un lit de rivière autour d'une pile de pont.

La simulation de cas réalistes d'écoulements ou de transferts thermiques implique souvent l'utilisation d'obstacles ou d'interfaces de forme complexe. De part leur manque de flexibilité, les maillages structurés ne sont pas initialement adaptés au traitement d'interfaces irrégulières, ces dernières coïncidant rarement avec les lignes du maillage. Afin de permettre à l'approche structurée de traiter des interfaces complexes avec précision, des méthodes dites de domaines fictifs sont nécessaires. La première contribution de cette thèse est une nouvelle méthode de travail sur maillage curviligne structuré qui permet de réutiliser de nombreuses méthodes fonctionnant initialement sur des maillages cartésiens sur maillages curvilignes. Nous avons ensuite mis au point deux nouvelles méthodes de domaines fictifs : la méthode de pénalisation de sous-maille (PSM) pour la gestion des frontières immergées pour les équations elliptiques et de Navier-Stokes et la méthode d'interface immergée algébrique (IIA) pour les problèmes d'interfaces immergées pour les équations elliptiques. L'un des intérêts de ces deux méthodes à l'ordre deux en espace est leur simplicité. Ces différents développements ont finalement été appliqués à des cas de couplage fluide-structure académiques et réalistes (sédimentation d'un cylindre, hydroplanage d'un pneu, écoulements dans une tête de forage et convection naturelle dans la grotte de Lascaux).