Nesse trabalho é apresentada uma solução analítica para a equação de transporte bidimensional em um domínio retangular considerando o espalhamento Compton, utilizando o método LTSN e a aproximação PN na variável angular. Esse procedimento leva a uma formulação para a taxa de dose total devido µa radiação gama. Nessa derivação, a energia depositada pelo elétron livre é considerada. Para alcançarmos esse objetivo dois problemas são resolvidos: o primeiro para o transporte de fótons, assumindo como seção de choque diferencial o núcleo de espalhamento de Klein-Nishina bem como modelo multigrupo em energia; e o segundo para o transporte de elétrons livres, considerando a seção de choque de espalhamento diferencial de Rutherford. Simulações numéricas e validações com os resultados obtidos pelo método de Monte Carlo são apresentadas para ambos os problemas. / In this work we present the analytical solution for the two-dimensional transport equation in a rectangle considering Compton scattering, using the LTSN method and the PN approach for the angular variable. This procedure leads to a formulation for the total dosis due the gamma radiation. In this derivation, the energy deposited by the free electron is taken into account. To reach this objective we solve two model problems: the ¯rst one for the transport of photons, assuming the Klein-Nishina scattering kernel as the scattering di®erential cross section as well as the multigroup model in the energy variable; and the second one the transport of free electrons considering the screened Rutherford scattering kernel. Numerical simulations and validations with Monte Carlo results are reported for both problems.

Nos últimos anos, o método LTSN - que resolve diversos problemas de transporte em uma placa plana - emergiu de forma contínua em nossa literatura. Porém, não é de nosso conhecimento que se tenha aplicado este método a problemas isotrópicos de transporte de partículas neutras em uma placa plana, quando o parâmetro albedo vale c = 1. Sabemos que para esta situação a equação de transporte unidimensional apresenta dois autovalores que se encontram no infinito. Consequentemente, a formulação LTSN não pode ser aplicada, pois a solução LTSN é utilizada para problemas onde a matriz LTSN é diagonalizável, e isto ocorre quando c 6= 1. Para a resolução destes tipos de problemas, nós modificamos a solução LTSN que aproxima a solução de Case quando o albedo é unitário, combinando de forma adequada a decomposição de Schur e a expansão de Heavside. A convergência provada do Método LTSN permite que determinemos a solução com precisão prescrita. Apresentamos simulações e comparações numéricas com resultados disponíveis na literatura. Por este procedimento, esperamos terminar o estudo da praticabilidade do LTSN para resolver problemas do transporte em uma placa plana. / In the last years, the LTSN method - for transport problems in slabgeometry appears frequently in the literature. However, to our knowledge, this method has not been applied to the solution of neutral particle transport problems in a slab with isotropic scattering for c = 1. We know that in this situation the neutron transport equation presents two eigenvalues that coalesce to infinity. Therefore, the LTSN formulation can not be applied to this type of problem, because the LTSN solution is derived for problems in which the LTSN matrix is non-defective, that is for problems with c 6= 1. To solve these types of problems we modify the LTSN solution that approaches the Case solution when the albedo is unitary, combining in an adequate form the Schur decomposition and the Heavside expansion. The convergence of the LTSN method allows us to determine the solution with prescribed accuracy. We present numerical simulations and comparisons with results available in the literature. By this procedure we hope to complete the study of the LTSN formulation to solve transport problems in slab-geometry.

O método LTSN, quando aplicado a diversos problemas de transporte, estabelece uma solução em forma analítica, isto é, sem aproximações ao longo de sua derivação. Este procedimento consiste em aplicar a Transformada de Laplace no conjunto de equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem, resultante da aproximação das ordenadas discretas SN, da equação unidimensional de transporte de radiação, em um meio homogêneo. Nesta dissertação, apresenta-se a solução LTSN do problema de transferência radiativa em uma placa plana não homogênea, assumindo o coe ciente de albedo variando continuamente ao longo de sua espessura. Com esta nalidade, subdivide-se a placa em várias subplacas ou regiões, considerando-se em cada uma delas o valor do coe ciente de albedo constante, representado por um valor integral médio. Resultados numéricos são apresentados para o cálculo dos parâmetros super ciais de transferência radiativa, A¤ e B¤, que relacionam as correntes emergentes com as incidentes nas fronteiras em x = 0 e x = L, respectivamente, os quais são comparados com resultados existentes na literatura. / When applied to various problems of transport, the LTSN method establishes a solution in an analytical form, that is, without approximations to its derivation. This procedure consists of applying the transformed of Laplace to the group of rst-order linear di erential equations resulting from the discrete ordinates (SN) approximation, to the one-dimensional neutral particle transport equation, inhomogeneous environment. This dissertation presents the LTSN solution to the radiative transfer problem inhomogeneous slab assuming albedo coe cient continuously varying along its thickness. For that purpose the slab is divided into several sub-slab or regions, each of which having a constant albedo coe cient represented by an average integral number. Numerical results to the calculus of super cial parameters of radiative transfer A¤ and B¤ are presented, which relate the emerging to the inciding currents on the borders for x = 0 and x = L, respectively, which are then compared to results found in existing literature.

Neste trabalho, estendemos, de forma analítica, a formulação LTSN à problemas de transporte unidimensionais sem simetria azimutal. Para este problema, também apresentamos a solução com dependência contínua na variável angular, a partir da qual é estabelecido um método iterativo de solução da equação de transporte unidimensional. Também discutimos como a formulação LTSN é aplicada na resolução de problemas de transporte unidimensionais dependentes do tempo, tanto de forma aproximada pela inversão numérica do fluxo transformado na variável tempo, bem como analiticamente, pela aplicação do método LTSNnas equações nodais. Simulações numéricas e comparações com resultados disponíveis na literatura são apresentadas. / In this work, we extend, in an analytical way, the LTSNformulation to one-dimensional transport problems without azimuthal symmetry. For this problem, we also present the solution with continuous dependence on the angular variable, from which an iterative method of the one-dimensional transport equation solution is established. We also discuss how the LTSN formulation is applied to the resolution of the one-dimensional time dependent transport problem, both in an approximate way, by the numerical inversion of the transformed time flux, and analytically, by the application of the LTSN method into the nodal equations. Numerical simulations and comparisons with results available in the literature are presented.

O principal objetivo dessa tese consiste em determinar uma solução numéricada equação bidimensional do transporte de nêutrons para elevadas ordens de quadratura angular. Diagonalizando a matriz de transporte LTSN bidimensional , construímos dois algoritmos que se diferenciam pela forma de representar os termos de fuga transversal, que surgem nas equações LTSN integradas transversalmente. Esses termos no método LTSN2D − Diag são expressos como combinação linear dos autovetores multiplicados por exponenciais dos respectivos autovalores. No método LTSN2D − DiagExp os termos de fuga transversal são representados por uma função exponencial com constante de decaimento heuristicamente identificada com parâmetros materiais característicos do meio. A análise epectral desenvolvida permite realizar a diagonalização. Um estudo sobre o condicionamento é feito e também associamos um número de condicionamento ao termo de fuga transversal. Definimos os erros no fluxo aproximado e na fórmula da quadratura, e estabelecemos uma relação entre eles. A convergência ocorre com condições de fronteira e quadratura angular adequadas. Apresentamos os resultados numéricos gerados pelos novos métodos LTSN2D − Diag e LTSN2D − DiagExp para elevadas ordens de quadratura angular para um problema ilustrativo e comparamos com resultados disponíveis na literatura.

Nesse trabalho é apresentada uma solução analítica para a equação de transporte bidimensional em um domínio retangular considerando o espalhamento Compton, utilizando o método LTSN e a aproximação PN na variável angular. Esse procedimento leva a uma formulação para a taxa de dose total devido µa radiação gama. Nessa derivação, a energia depositada pelo elétron livre é considerada. Para alcançarmos esse objetivo dois problemas são resolvidos: o primeiro para o transporte de fótons, assumindo como seção de choque diferencial o núcleo de espalhamento de Klein-Nishina bem como modelo multigrupo em energia; e o segundo para o transporte de elétrons livres, considerando a seção de choque de espalhamento diferencial de Rutherford. Simulações numéricas e validações com os resultados obtidos pelo método de Monte Carlo são apresentadas para ambos os problemas. / In this work we present the analytical solution for the two-dimensional transport equation in a rectangle considering Compton scattering, using the LTSN method and the PN approach for the angular variable. This procedure leads to a formulation for the total dosis due the gamma radiation. In this derivation, the energy deposited by the free electron is taken into account. To reach this objective we solve two model problems: the ¯rst one for the transport of photons, assuming the Klein-Nishina scattering kernel as the scattering di®erential cross section as well as the multigroup model in the energy variable; and the second one the transport of free electrons considering the screened Rutherford scattering kernel. Numerical simulations and validations with Monte Carlo results are reported for both problems.

Nos últimos anos, o método LTSN - que resolve diversos problemas de transporte em uma placa plana - emergiu de forma contínua em nossa literatura. Porém, não é de nosso conhecimento que se tenha aplicado este método a problemas isotrópicos de transporte de partículas neutras em uma placa plana, quando o parâmetro albedo vale c = 1. Sabemos que para esta situação a equação de transporte unidimensional apresenta dois autovalores que se encontram no infinito. Consequentemente, a formulação LTSN não pode ser aplicada, pois a solução LTSN é utilizada para problemas onde a matriz LTSN é diagonalizável, e isto ocorre quando c 6= 1. Para a resolução destes tipos de problemas, nós modificamos a solução LTSN que aproxima a solução de Case quando o albedo é unitário, combinando de forma adequada a decomposição de Schur e a expansão de Heavside. A convergência provada do Método LTSN permite que determinemos a solução com precisão prescrita. Apresentamos simulações e comparações numéricas com resultados disponíveis na literatura. Por este procedimento, esperamos terminar o estudo da praticabilidade do LTSN para resolver problemas do transporte em uma placa plana. / In the last years, the LTSN method - for transport problems in slabgeometry appears frequently in the literature. However, to our knowledge, this method has not been applied to the solution of neutral particle transport problems in a slab with isotropic scattering for c = 1. We know that in this situation the neutron transport equation presents two eigenvalues that coalesce to infinity. Therefore, the LTSN formulation can not be applied to this type of problem, because the LTSN solution is derived for problems in which the LTSN matrix is non-defective, that is for problems with c 6= 1. To solve these types of problems we modify the LTSN solution that approaches the Case solution when the albedo is unitary, combining in an adequate form the Schur decomposition and the Heavside expansion. The convergence of the LTSN method allows us to determine the solution with prescribed accuracy. We present numerical simulations and comparisons with results available in the literature. By this procedure we hope to complete the study of the LTSN formulation to solve transport problems in slab-geometry.

O método LTSN, quando aplicado a diversos problemas de transporte, estabelece uma solução em forma analítica, isto é, sem aproximações ao longo de sua derivação. Este procedimento consiste em aplicar a Transformada de Laplace no conjunto de equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem, resultante da aproximação das ordenadas discretas SN, da equação unidimensional de transporte de radiação, em um meio homogêneo. Nesta dissertação, apresenta-se a solução LTSN do problema de transferência radiativa em uma placa plana não homogênea, assumindo o coe ciente de albedo variando continuamente ao longo de sua espessura. Com esta nalidade, subdivide-se a placa em várias subplacas ou regiões, considerando-se em cada uma delas o valor do coe ciente de albedo constante, representado por um valor integral médio. Resultados numéricos são apresentados para o cálculo dos parâmetros super ciais de transferência radiativa, A¤ e B¤, que relacionam as correntes emergentes com as incidentes nas fronteiras em x = 0 e x = L, respectivamente, os quais são comparados com resultados existentes na literatura. / When applied to various problems of transport, the LTSN method establishes a solution in an analytical form, that is, without approximations to its derivation. This procedure consists of applying the transformed of Laplace to the group of rst-order linear di erential equations resulting from the discrete ordinates (SN) approximation, to the one-dimensional neutral particle transport equation, inhomogeneous environment. This dissertation presents the LTSN solution to the radiative transfer problem inhomogeneous slab assuming albedo coe cient continuously varying along its thickness. For that purpose the slab is divided into several sub-slab or regions, each of which having a constant albedo coe cient represented by an average integral number. Numerical results to the calculus of super cial parameters of radiative transfer A¤ and B¤ are presented, which relate the emerging to the inciding currents on the borders for x = 0 and x = L, respectively, which are then compared to results found in existing literature.

Neste trabalho, desenvolve-se um método “multigrid” para a aproximação angular da solução da equação de transporte de partículas em uma placa plana, baseado na formulação LTSN com dependência contínua na variável angular. Para tanto, aplica-se a formulação LTSN sobre o conjunto de equações SN para determinar o fluxo angular de partículas nas N direções discretas referentes a uma malha grossa (N pequeno) e em seguida, usando os fluxos conhecidos, aplica-se a formulação LTSN com dependência angular contínua, para avaliar o fluxo angular nas M direções discretas referentes a uma malha fina (M grande). São apresentadas simulações numéricas que ilustram a capacidade desse método, denotado por MGLTSMN , no que diz respeito à redução do esforço computacional na aproximação da solução para problemas que requerem elevadas ordens de quadratura e alto grau de anisotropia.

Neste trabalho, desenvolve-se um método “multigrid” para a aproximação angular da solução da equação de transporte de partículas em uma placa plana, baseado na formulação LTSN com dependência contínua na variável angular. Para tanto, aplica-se a formulação LTSN sobre o conjunto de equações SN para determinar o fluxo angular de partículas nas N direções discretas referentes a uma malha grossa (N pequeno) e em seguida, usando os fluxos conhecidos, aplica-se a formulação LTSN com dependência angular contínua, para avaliar o fluxo angular nas M direções discretas referentes a uma malha fina (M grande). São apresentadas simulações numéricas que ilustram a capacidade desse método, denotado por MGLTSMN , no que diz respeito à redução do esforço computacional na aproximação da solução para problemas que requerem elevadas ordens de quadratura e alto grau de anisotropia.