Nos últimos anos, o método LTSN - que resolve diversos problemas de transporte em uma placa plana - emergiu de forma contínua em nossa literatura. Porém, não é de nosso conhecimento que se tenha aplicado este método a problemas isotrópicos de transporte de partículas neutras em uma placa plana, quando o parâmetro albedo vale c = 1. Sabemos que para esta situação a equação de transporte unidimensional apresenta dois autovalores que se encontram no infinito. Consequentemente, a formulação LTSN não pode ser aplicada, pois a solução LTSN é utilizada para problemas onde a matriz LTSN é diagonalizável, e isto ocorre quando c 6= 1. Para a resolução destes tipos de problemas, nós modificamos a solução LTSN que aproxima a solução de Case quando o albedo é unitário, combinando de forma adequada a decomposição de Schur e a expansão de Heavside. A convergência provada do Método LTSN permite que determinemos a solução com precisão prescrita. Apresentamos simulações e comparações numéricas com resultados disponíveis na literatura. Por este procedimento, esperamos terminar o estudo da praticabilidade do LTSN para resolver problemas do transporte em uma placa plana. / In the last years, the LTSN method - for transport problems in slabgeometry appears frequently in the literature. However, to our knowledge, this method has not been applied to the solution of neutral particle transport problems in a slab with isotropic scattering for c = 1. We know that in this situation the neutron transport equation presents two eigenvalues that coalesce to infinity. Therefore, the LTSN formulation can not be applied to this type of problem, because the LTSN solution is derived for problems in which the LTSN matrix is non-defective, that is for problems with c 6= 1. To solve these types of problems we modify the LTSN solution that approaches the Case solution when the albedo is unitary, combining in an adequate form the Schur decomposition and the Heavside expansion. The convergence of the LTSN method allows us to determine the solution with prescribed accuracy. We present numerical simulations and comparisons with results available in the literature. By this procedure we hope to complete the study of the LTSN formulation to solve transport problems in slab-geometry.

O método LTSN, quando aplicado a diversos problemas de transporte, estabelece uma solução em forma analítica, isto é, sem aproximações ao longo de sua derivação. Este procedimento consiste em aplicar a Transformada de Laplace no conjunto de equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem, resultante da aproximação das ordenadas discretas SN, da equação unidimensional de transporte de radiação, em um meio homogêneo. Nesta dissertação, apresenta-se a solução LTSN do problema de transferência radiativa em uma placa plana não homogênea, assumindo o coe ciente de albedo variando continuamente ao longo de sua espessura. Com esta nalidade, subdivide-se a placa em várias subplacas ou regiões, considerando-se em cada uma delas o valor do coe ciente de albedo constante, representado por um valor integral médio. Resultados numéricos são apresentados para o cálculo dos parâmetros super ciais de transferência radiativa, A¤ e B¤, que relacionam as correntes emergentes com as incidentes nas fronteiras em x = 0 e x = L, respectivamente, os quais são comparados com resultados existentes na literatura. / When applied to various problems of transport, the LTSN method establishes a solution in an analytical form, that is, without approximations to its derivation. This procedure consists of applying the transformed of Laplace to the group of rst-order linear di erential equations resulting from the discrete ordinates (SN) approximation, to the one-dimensional neutral particle transport equation, inhomogeneous environment. This dissertation presents the LTSN solution to the radiative transfer problem inhomogeneous slab assuming albedo coe cient continuously varying along its thickness. For that purpose the slab is divided into several sub-slab or regions, each of which having a constant albedo coe cient represented by an average integral number. Numerical results to the calculus of super cial parameters of radiative transfer A¤ and B¤ are presented, which relate the emerging to the inciding currents on the borders for x = 0 and x = L, respectively, which are then compared to results found in existing literature.

Neste trabalho, estendemos, de forma analítica, a formulação LTSN à problemas de transporte unidimensionais sem simetria azimutal. Para este problema, também apresentamos a solução com dependência contínua na variável angular, a partir da qual é estabelecido um método iterativo de solução da equação de transporte unidimensional. Também discutimos como a formulação LTSN é aplicada na resolução de problemas de transporte unidimensionais dependentes do tempo, tanto de forma aproximada pela inversão numérica do fluxo transformado na variável tempo, bem como analiticamente, pela aplicação do método LTSNnas equações nodais. Simulações numéricas e comparações com resultados disponíveis na literatura são apresentadas. / In this work, we extend, in an analytical way, the LTSNformulation to one-dimensional transport problems without azimuthal symmetry. For this problem, we also present the solution with continuous dependence on the angular variable, from which an iterative method of the one-dimensional transport equation solution is established. We also discuss how the LTSN formulation is applied to the resolution of the one-dimensional time dependent transport problem, both in an approximate way, by the numerical inversion of the transformed time flux, and analytically, by the application of the LTSN method into the nodal equations. Numerical simulations and comparisons with results available in the literature are presented.

O principal objetivo desta tese é analisar a influência do parâmetro seção de choque macroscópica total na solução da aproximação SN da equação de transporte e os efeitos do parâmetro de condução-radiação no problema não-linear condutivo-radiativo acoplado. Inicialmente, é estudada a aproximação SN da equação de transporte estacionária, com um grupo de energia, numa placa plana homogênea, sem fonte externa. Esta aproximação corresponde a um sistema de N equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem, cuja solução é a função exponencial da matriz do sistema, denominada matriz de transporte SN. Através da resolução de problemas e considerando a seção de choque macroscópica total como parâmetro de controle, é verificada numericamente a mudança de comportamento dos autovalores da matriz de transporte SN que determinam a passagem de soluções não-oscilatórias para soluções oscilatórias da aproximação SN· Estes pontos, referidos como pontos de bifurcação, são calculados para problemas com seção de choque diferencial de espalhamento com anisotropia de graus L = 1 e L = 2. Para pequenas ordens de quadratura N, são realizadas simulações para a análise computacional do polinômio característico da matriz de transporte SN e do seu número de condicionamento em termos da seção de choque macroscópica total. Este estudo é estendido para o problema com dois grupos de energia. Os resultados deste trabalho são comparados com resultados encontrados na literatura. Na parte final deste trabalho, é estudada a influência do parâmetro de condução-radiação na solução do problema acoplado de transferência radiativa e calor condutivo numa placa plana homogênea, com espalhamento anisotrópico, considerando condições de contorno de Dirichlet bem como reflexão especular e difusa. Simulações numéricas obtidas com o uso do método LTSN combinado com o método da decomposição são apresentadas. / The main objective of this thesis is to analyze the infiuence of the parameter total macroscopic cross section in the solution of the SN approximation to the transport equation and the effects of the conduction-radiation parameter in a coupled nonlinear conductive-radiative problem. lnitially, it is studied the SN approximation of the steadystate transport equation with one group of energy, in a homogeneous slab, without externai source. This approximation corresponds to a system of N linear ordinary differential equation of first order, whose solution is the exponential function of the matrix system, termed SN transport matrix. Through the resolution of problems and viewing the total macroscopic cross section as the control parameter, it is numerically verified the change of behavior of the eigenvalues of the SN transport matrix that determine the passage from non-oscillatory to oscillatory solutions of SN approximation. These points, refereed as bifurcation points, are calculated for problems with differential scattering cross section with anisotropy of degrees L = 1 and L = 2. For small orders o f quadrature N, simulations are accomplished for the computational analysis of the characteristic polynomial of SN transport matrix and of its conditioning number in terms of the total macroscopic cross section. This study is extended for the problem with two groups of energy. The results of this work are compareci with available results in the literature. In the final part of this work, it is studied the infiuence of the radiation-conduction parameter in the solution of coupled radiative transfer and conductive heat problem in a homogeneous slab, with anisotropic scattering, considering the Dirichlet's boundary conditions as well specular and diffuse refiection. Numerical simulations obtained with the use of the combined LTSN and the decomposition methods are reported.

Uma classe de problemas de transporte de interesse na comunidade científica são os problemas de transporte dependentes do tempo. Mas a solução analítica de problemas desse tipo é, em geral, complexa, quando possível de se obter em forma fechada. Pela aproximação de ordenadas discretas SN, as soluções analíticas encontradas na literatura para problemas unidimensionais dependentes do tempo em domínio finito são: solução pelas aproximações de Pomraning-Endington e a solução pelo método SP-LTSN . Recentemente, foi desenvolvida uma solução analítica, denominada TLTSN , em forma integral para a equação unidimensional de ordenadas discretas dependente do tempo para domínio homogêneo. Neste tra- balho, estendemos esta formulação para domínios heterogêneos. Para isto, dividimos a placa original em pequenas placas, onde, em cada uma delas, podemos considerar domínio homogêneo. Em cada uma das placas, aplicamos o método TLTSN , conforme desenvolvido anteriormente e para a solução final, aplicamos as condições de continuidade e de contorno ao problema acoplado. / One kind of transport problems that has been of interest in the scientific community is the time-dependent transport problem. But the analytical solution of this type of problems is very complicated. By the SN discrete ordinates approx- imation, the solutions for slab geometry time-dependent problems in ¯nite domain found in the literature are: the solution using the Pomraning-Endington approxi- mation and the solution by the SP-LTSN method. Recently, an analytical solution, termed TLTSN , has been developed in an integral form for one-dimensional time- dependent SN discrete ordinates approximation for a homogeneous domain. In this work, we expand this formulation for heterogeneous domains. To do that, we di- vide the original slab in small slabs, and we consider each one as a homogeneous domain. In each slab, we use the TLTSN method and for the final solution, we apply appropriate continuity and boundary conditions to the coupled problem.

Este trabalho teve por objetivo o uso do método L TSN para resolver a equação de transporte para uma placa plana heterogênea, usando o modelo de multigrupo em energia. Os cálculos do fluxo de fótons e nêutrons, da taxa de dose absorvida e do fator de "build-up" foram realizados considerando espalhamento isotrópico e condição de contorno tipo vácuo. A aplicação dessa metodologia permitiu obter valores de diversos parâmetros de blindagens que podem ser usados para determinar a espessura mínima necessária para atenuar as radiações a níveis que forneçam taxas de dose absorvida compatíveis com as estabelecidas em normas. Os valores numéricos encontrados apresentam resultados físicos esperados e mostram que o método L TSN constitui-se em uma ferramenta matemática útil para o estudo quantitativo de parâmetros de blindagem. / This work aim is the use of the L TSN method for solving the transport equation to a heterogeneous slab, using the multigroup model in energy. The photons and neutrons flux calculations concerning the absorbed dose rate and of the build-up I factor were accomplished considering isotropic scattering and boundary condition of the vacuum type. The application of that methodology let us to obtain result of diverse shield parameters that can be used to determine the necessary least thickness to attenuate the radiation at leveis that supply absorbed dose rates compatible with the established ones in norms. The numerical values present expected physical results and show that L TSN method is constitutes an useful mathematical tool for the quantitative study of shield parameters.

O principal objetivo desta tese é analisar a influência do parâmetro seção de choque macroscópica total na solução da aproximação SN da equação de transporte e os efeitos do parâmetro de condução-radiação no problema não-linear condutivo-radiativo acoplado. Inicialmente, é estudada a aproximação SN da equação de transporte estacionária, com um grupo de energia, numa placa plana homogênea, sem fonte externa. Esta aproximação corresponde a um sistema de N equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem, cuja solução é a função exponencial da matriz do sistema, denominada matriz de transporte SN. Através da resolução de problemas e considerando a seção de choque macroscópica total como parâmetro de controle, é verificada numericamente a mudança de comportamento dos autovalores da matriz de transporte SN que determinam a passagem de soluções não-oscilatórias para soluções oscilatórias da aproximação SN· Estes pontos, referidos como pontos de bifurcação, são calculados para problemas com seção de choque diferencial de espalhamento com anisotropia de graus L = 1 e L = 2. Para pequenas ordens de quadratura N, são realizadas simulações para a análise computacional do polinômio característico da matriz de transporte SN e do seu número de condicionamento em termos da seção de choque macroscópica total. Este estudo é estendido para o problema com dois grupos de energia. Os resultados deste trabalho são comparados com resultados encontrados na literatura. Na parte final deste trabalho, é estudada a influência do parâmetro de condução-radiação na solução do problema acoplado de transferência radiativa e calor condutivo numa placa plana homogênea, com espalhamento anisotrópico, considerando condições de contorno de Dirichlet bem como reflexão especular e difusa. Simulações numéricas obtidas com o uso do método LTSN combinado com o método da decomposição são apresentadas. / The main objective of this thesis is to analyze the infiuence of the parameter total macroscopic cross section in the solution of the SN approximation to the transport equation and the effects of the conduction-radiation parameter in a coupled nonlinear conductive-radiative problem. lnitially, it is studied the SN approximation of the steadystate transport equation with one group of energy, in a homogeneous slab, without externai source. This approximation corresponds to a system of N linear ordinary differential equation of first order, whose solution is the exponential function of the matrix system, termed SN transport matrix. Through the resolution of problems and viewing the total macroscopic cross section as the control parameter, it is numerically verified the change of behavior of the eigenvalues of the SN transport matrix that determine the passage from non-oscillatory to oscillatory solutions of SN approximation. These points, refereed as bifurcation points, are calculated for problems with differential scattering cross section with anisotropy of degrees L = 1 and L = 2. For small orders o f quadrature N, simulations are accomplished for the computational analysis of the characteristic polynomial of SN transport matrix and of its conditioning number in terms of the total macroscopic cross section. This study is extended for the problem with two groups of energy. The results of this work are compareci with available results in the literature. In the final part of this work, it is studied the infiuence of the radiation-conduction parameter in the solution of coupled radiative transfer and conductive heat problem in a homogeneous slab, with anisotropic scattering, considering the Dirichlet's boundary conditions as well specular and diffuse refiection. Numerical simulations obtained with the use of the combined LTSN and the decomposition methods are reported.

Uma classe de problemas de transporte de interesse na comunidade científica são os problemas de transporte dependentes do tempo. Mas a solução analítica de problemas desse tipo é, em geral, complexa, quando possível de se obter em forma fechada. Pela aproximação de ordenadas discretas SN, as soluções analíticas encontradas na literatura para problemas unidimensionais dependentes do tempo em domínio finito são: solução pelas aproximações de Pomraning-Endington e a solução pelo método SP-LTSN . Recentemente, foi desenvolvida uma solução analítica, denominada TLTSN , em forma integral para a equação unidimensional de ordenadas discretas dependente do tempo para domínio homogêneo. Neste tra- balho, estendemos esta formulação para domínios heterogêneos. Para isto, dividimos a placa original em pequenas placas, onde, em cada uma delas, podemos considerar domínio homogêneo. Em cada uma das placas, aplicamos o método TLTSN , conforme desenvolvido anteriormente e para a solução final, aplicamos as condições de continuidade e de contorno ao problema acoplado. / One kind of transport problems that has been of interest in the scientific community is the time-dependent transport problem. But the analytical solution of this type of problems is very complicated. By the SN discrete ordinates approx- imation, the solutions for slab geometry time-dependent problems in ¯nite domain found in the literature are: the solution using the Pomraning-Endington approxi- mation and the solution by the SP-LTSN method. Recently, an analytical solution, termed TLTSN , has been developed in an integral form for one-dimensional time- dependent SN discrete ordinates approximation for a homogeneous domain. In this work, we expand this formulation for heterogeneous domains. To do that, we di- vide the original slab in small slabs, and we consider each one as a homogeneous domain. In each slab, we use the TLTSN method and for the final solution, we apply appropriate continuity and boundary conditions to the coupled problem.

O principal objetivo desta tese é analisar a influência do parâmetro seção de choque macroscópica total na solução da aproximação SN da equação de transporte e os efeitos do parâmetro de condução-radiação no problema não-linear condutivo-radiativo acoplado. Inicialmente, é estudada a aproximação SN da equação de transporte estacionária, com um grupo de energia, numa placa plana homogênea, sem fonte externa. Esta aproximação corresponde a um sistema de N equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem, cuja solução é a função exponencial da matriz do sistema, denominada matriz de transporte SN. Através da resolução de problemas e considerando a seção de choque macroscópica total como parâmetro de controle, é verificada numericamente a mudança de comportamento dos autovalores da matriz de transporte SN que determinam a passagem de soluções não-oscilatórias para soluções oscilatórias da aproximação SN· Estes pontos, referidos como pontos de bifurcação, são calculados para problemas com seção de choque diferencial de espalhamento com anisotropia de graus L = 1 e L = 2. Para pequenas ordens de quadratura N, são realizadas simulações para a análise computacional do polinômio característico da matriz de transporte SN e do seu número de condicionamento em termos da seção de choque macroscópica total. Este estudo é estendido para o problema com dois grupos de energia. Os resultados deste trabalho são comparados com resultados encontrados na literatura. Na parte final deste trabalho, é estudada a influência do parâmetro de condução-radiação na solução do problema acoplado de transferência radiativa e calor condutivo numa placa plana homogênea, com espalhamento anisotrópico, considerando condições de contorno de Dirichlet bem como reflexão especular e difusa. Simulações numéricas obtidas com o uso do método LTSN combinado com o método da decomposição são apresentadas. / The main objective of this thesis is to analyze the infiuence of the parameter total macroscopic cross section in the solution of the SN approximation to the transport equation and the effects of the conduction-radiation parameter in a coupled nonlinear conductive-radiative problem. lnitially, it is studied the SN approximation of the steadystate transport equation with one group of energy, in a homogeneous slab, without externai source. This approximation corresponds to a system of N linear ordinary differential equation of first order, whose solution is the exponential function of the matrix system, termed SN transport matrix. Through the resolution of problems and viewing the total macroscopic cross section as the control parameter, it is numerically verified the change of behavior of the eigenvalues of the SN transport matrix that determine the passage from non-oscillatory to oscillatory solutions of SN approximation. These points, refereed as bifurcation points, are calculated for problems with differential scattering cross section with anisotropy of degrees L = 1 and L = 2. For small orders o f quadrature N, simulations are accomplished for the computational analysis of the characteristic polynomial of SN transport matrix and of its conditioning number in terms of the total macroscopic cross section. This study is extended for the problem with two groups of energy. The results of this work are compareci with available results in the literature. In the final part of this work, it is studied the infiuence of the radiation-conduction parameter in the solution of coupled radiative transfer and conductive heat problem in a homogeneous slab, with anisotropic scattering, considering the Dirichlet's boundary conditions as well specular and diffuse refiection. Numerical simulations obtained with the use of the combined LTSN and the decomposition methods are reported.

Este trabalho teve por objetivo o uso do método L TSN para resolver a equação de transporte para uma placa plana heterogênea, usando o modelo de multigrupo em energia. Os cálculos do fluxo de fótons e nêutrons, da taxa de dose absorvida e do fator de "build-up" foram realizados considerando espalhamento isotrópico e condição de contorno tipo vácuo. A aplicação dessa metodologia permitiu obter valores de diversos parâmetros de blindagens que podem ser usados para determinar a espessura mínima necessária para atenuar as radiações a níveis que forneçam taxas de dose absorvida compatíveis com as estabelecidas em normas. Os valores numéricos encontrados apresentam resultados físicos esperados e mostram que o método L TSN constitui-se em uma ferramenta matemática útil para o estudo quantitativo de parâmetros de blindagem. / This work aim is the use of the L TSN method for solving the transport equation to a heterogeneous slab, using the multigroup model in energy. The photons and neutrons flux calculations concerning the absorbed dose rate and of the build-up I factor were accomplished considering isotropic scattering and boundary condition of the vacuum type. The application of that methodology let us to obtain result of diverse shield parameters that can be used to determine the necessary least thickness to attenuate the radiation at leveis that supply absorbed dose rates compatible with the established ones in norms. The numerical values present expected physical results and show that L TSN method is constitutes an useful mathematical tool for the quantitative study of shield parameters.