Dans cette thèse, une approche pratique pour la génération de maillages triangulaires isotropes est proposée. En 2D comme en 3D, l'ob jectif consiste à mailler un domaine donné, pouvant avoir une géométrie complexe. L'approche présentée consiste à entrelacer des étapes de raffinement de Delaunay et des étapes d'optimisation de maillages dans le but de générer des maillages gradés de qualité. L'utilisateur peut contrôler les caractéristiques du maillage en définissant des critères de taille et de forme des simplexes, ainsi que de topologie et d'approximation. Les méthodes par éléments finis, largement utilisées en simulation, nécessitent des maillages gradés, composés de simplexes bien formés. Des alternatives aux méthodes de raffinement de Delaunay usuelles sont développées. Les méthodes d'optimisation de maillages proposées permettent d'optimiser la position des sommets intérieurs et de ceux du bord. Les caractéristiques du bord du domaine à mailler, et en particulier des arêtes vives, sont préservées par ces méthodes. En 2D, l'optimisation est basée sur l'algorithme de Lloyd et les diagrammes de Voronoi centrés (CVT). En 3D, une extension naturelle des triangulations de Delaunay optimales (ODT) de Chen, capable d'optimiser la position des sommets du bord du maillage, est introduite. Notre algorithme de maillage tétraédrique est enrichi par une étape de post-traitement permettant d'améliorer de façon significative la qualité des angles dièdres du maillage. Nous montrons que l'entrelacement d'étapes de raffinement et d'optimisation permet d'obtenir des maillages de meilleure qualité que ceux générés par les méthodes connues en termes d'angles dans les simplexes et de complexité.

Ce travail est consacré à l’étude d’un problème issu de la physique des plasmas : le transfert thermique des électrons dans un plasma proche de l’équilibre Maxwellien. Dans un premier temps, le régime asymptotique de Spitzer-Härm est étudié. Un modèle proposé par Schurtz et Nicolaï est situé dans le contexte des limites hydrodynamiques hors du cadre strictement asymptotique et analysé. Le lien avec les modèles non-locaux de Luciani et Mora est établi, ainsi que des propriétés mathématiques comme le principe du maximum et la dissipation d’entropie. Ensuite, une dérivation formelle à partir des équations de Vlasov est proposée. Une hiérarchie de modèles intermédiaires entre les équations cinétiques et la limite hydrodynamique est décrite. Notamment, un nouveau système hydrodynamique, de nature intégro-différentielle, est proposé. Le système de Schurtz et Nicolaï apparaît comme une simplification du système issu de la dérivation. L’existence et l’unicité de la solution du système non stationnaire sont établies dans un cadre simplifié. La dernière partie est consacrée à la mise en oeuvre d’un schéma numérique spécifique pour résoudre ces modèles. On propose une approche par volumes finis pouvant être efficace sur des maillages non-structurés. La précision de ce schéma permet de capturer des effets spécifiques de nature cinétique, qui ne peuvent être reproduits par le modèle asymptotique de Spitzer–Härm. La consistance de ce schéma avec celui de l’équation de Spitzer–Härm est mise en évidence, ouvrant la voie a des stratégies de couplage entre les deux modélisations. / This work is devoted to the study of a problem resulting from plasma physics: heat transfer of electrons in a plasma close to Maxwellian equilibrium. Firstly, the asymptotic regime of Spitzer-Harm is studied. A model proposed by Schurtz and Nicolai is analyzed and located in the context of hydrodynamic limits outside of the strictly asymptotic. The link to non-local models of Luciani and Mora is established, as well as the mathematical properties such as the principle of maximum and entropy dissipation. Then, a formal derivation from the Vlasov equations is proposed. A hierarchy of intermediate models between the kinetic equations and the hydrodynamic limit is described. In particular, a new system hydrodynamics, integro-differential by nature, is proposed. The system Schurtz and Nicolai appears as a simplification of the system resulting from the diversion. The existence and uniqueness of the solution of the nonstationary system are established in a simplified framework.The last part is devoted to the implementation of a specific numerical scheme for solving these models. We propose a finite volume approach can be effective on unstructured grids. The accuracy of this scheme to capture specific effects such as kinetic, which may not be reproduced by the asymptotic Spitzer-Harm model. The consistency of this pattern with that of the Spitzer-Harm equation is highlighted, paving the way for a strategy of coupling between the two models.

Cette thèse décrit et analyse un nouvel algorithme de génération de maillages tri-dimensionnels pour des domaines bornés par des surfaces lisses ou lisses par morceaux, c'est à dire des surfaces composées d'une collection de morceaux de surfaces lisses, joints en des courbes lisses. Cet algorithme utilise un processus glouton de raffinement de Delaunay et échantillonne l'intérieur et la frontière du domaine simultanément. Les résultats sont des maillages dont la qualité est certifiée, et où la taille des éléments est contrôlée par l'intermédiaire d'un champ de taille défini par l'utilisateur. L'analyse de l'algorithme montre de plus des guaranties sur la précision de l'approximation de la frontière du domaine, à condition que les angles entre deux morceaux de surfaces lisses soient supérieurs à 90°. La levée de cette limitation importante fera partie du travail de recherche qui suivra cette thèse. Une particularité intéressante de cet algorithme est qu'il ne nécessite de connaître le domaine qu'à travers un oracle capable de décider si un point de requête est à l'intérieur ou à l'extérieur du domaine, si un segment de droite intersecte ou non la frontière, et si un triangle intersecte les courbes lisses de la frontière. De ce fait, cet algorithme est générique et peut s'appliquer dans de nombreuses circonstances, allant du maillage d'objets définis par des surfaces implicites au maillage de domaines définis par une ou plusieurs zones dans une image tri-dimensionnelle, en passant par les objets dont la surface est déjà définie par un maillage triangulaire.

Les modèles polyédriques, très utilisés dans les processus d'ingénierie, constituent une représentation privilégiée au sein des maquettes numériques de produits. Les approches et méthodes de manipulation et d'exploitation de ces modèles, sont le plus souvent pilotées par un critère géométrique lié à la forme des objets (normale, courbure ...) mais très peu prennent en compte des informations de type perceptuelles. Parallèlement, les techniques de traitement d'images existantes extraient des données (contours, primitives géométriques, textures ...) relatives à la description des formes des objets qu'elles représentent. Ainsi, le but de cette thèse est de réaliser un couplage modèle polyédrique 3D / images numériques 2D pour manipuler les modèles 3D avec des critères extraits d'image(s). Une méthode de simplification et deux méthodes de déformation de polyèdres sont présentées. Dans la première méthode, la simplification est basée sur un processus itératif de suppression de sommets piloté par un critère de tolérance de simplification. Cette tolérance est liée au filtrage de contours d'image(s) qui sont projetés sur le modèle 3D afin d'identifier les zones plus ou moins proches de ces lignes de caractère. Les méthodes de déformation de polyèdres sont appliquées au cas du remplissage de trous. Une triangulation est insérée au modèle puis déformée par la résolution d'un problème d'optimisation numérique sous contraintes. La fonctionnelle à minimiser simule la variation de courbure entre le maillage inséré et le modèle initial. La solution est obtenue par un algorithme itératif basé sur un modèle mécanique de réseau de barres. Les contraintes imposent le respect de lignes de caractère 3D obtenues par triangulation stéréoscopique dans la première méthode, ou bien calculées en fonction de l'intensité lumineuse des pixels et qui imposent le déplacement des sommets correspondants suivant une certaine élévation (problème inverse du Shape From Shading). Les trois méthodes implémentées sont complètement modulaires.

La méthode des éléments finis est une méthode de modélisation des systèmes, utilisée dans l’ensemble des domaines de la physique ainsi que dans l’ingénierie. Elle permet d’obtenir des résultats précis. Cependant la nécessité de modéliser des systèmes de plus en plus complexes, avec une précision de plus en plus grande, demande une puissance de calcul qui n’est pas toujours disponible. Il est ainsi nécessaire, afin de résoudre ces problèmes, de trouver des méthodes de calcul permettant de conserver cette précision, mais de réduire le temps de calcul.Une solution pour tenter de palier à ce défaut est de décomposer le problème complexe initial en plusieurs sous-problèmes, maillés indépendamment, et entre lesquels il est nécessaire de coupler les solutions. Quelques méthodes permettant de recoller ces maillages sont étudiées dans ce présent mémoire. Elles sont présentées ainsi que quelques outils liés, tels que des méthodes de résolution, et des fonctions de formes plus adaptées à leur utilisation. Il est montré, à travers ces travaux, qu’il est tout à fait possible de recoller les maillages en électrotechnique, et par là d’obtenir des résultats intéressants en terme de précision, et de qualité de solution. Cependant, les méthodes de résolution utilisées ici n’ont pas permis d’obtenir des temps de calculs satisfaisants pour les cas étudiés. / The finite element method is used to model complex systems in all the physics and engineering. This method has a good accuracy. Because of the complexity of the systems, and the require precision, this method need a very large computing capacity, which is not always available. Consequently it is necessary to find calculation methods which allow preserving the accuracy, and reducing the computation time.One way to solve this situation is to decompose the complex problem in several sub-problems, with non-connecting meshes, and reconnect them. Some methods used to reconnect are developed in this work, with some tools, like resolution methods, and new shape functions necessary for this configuration of non-connecting meshes. This work shows the possibility of those methods: they reconnect the different meshes, conserve the accuracy and the quality of the solution. But the solving methods used here do not reduce consequently the computation time.

Nos travaux concernent la mise en oeuvre d'une méthode multiéchelle pour faciliter la simulation numérique de structures complexes, appliquée à la modélisation de composants aéronautiques (notamment pour les pièces tournantes de turboréacteur et des structures composites stratifiées). Ces développements sont basés autour de la méthode Arlequin qui permet d'enrichir des modélisations numériques, à l'aide de patchs, autour de zones d'intérêt où des phénomènes complexes se produisent. Cette méthode est mise en oeuvre dans un cadre général permettant la superposition de maillages incompatibles au sein du code de calcul Z-set{Zébulon, en utilisant une formulation optimale des opérateurs de couplage. La précision et la robustesse de cette approche ont été évaluées sur différents problèmes numériques. Afin d'accroître les performances de la méthode Arlequin, un solveur spécifique basé sur les techniques de décomposition de domaine a été développé pour bénéficier des capacités de calcul offertes par les machines à architectures parallèles. Ces performances ont été évaluées sur différents cas tests académiques et quasi-industriels. Enfin, ces développements ont été appliqué à la simulation de problèmes de structures composites stratifiées.

Nous présentons de nouveaux schémas numériques pour l'approximation de problèmes de diffusion hétérogène et anisotrope sur des maillages généraux. Sous des hypothèses correspondant aux cas industriels, nous montrons qu'un premier schéma, qui est centré sur les mailles, possède un petit stencil et converge dans le cas de tenseurs discontinus. La preuve de la convergence repose sur des propriétés de consistance des gradients discrets issus du schéma. Dans une seconde partie, nous proposons des méthodes de correction non linéaire du schéma initial pour obtenir le principe du maximum. L'efficacité de ces schémas est étudiée sur des tests numériques ayant fait l'objet de bancs d'essais d'une grande variété de schémas de volumes finis. Les comparaisons avec les schémas volumes finis classiques montrent l'apport de ces schémas en termes de précision. Nous montrons ainsi le bon comportement de ces schémas sur des maillages déformés, et le maintien de la précision des schémas non-linéaires, alors que les oscillations ont été supprimées.

Dans cette thèse, nous donnons des approximations discrètes de quantités lisses associées à certaines courbes planes ou à certaines surfaces de l'espace euclidien de dimension 3. Dans le cas des courbes, le défaut angulaire en un point P de la courbe est une bonne approximation de la courbure de la courbe en ce point. Nous donnons une majoration de l'erreur commise en fonction du jet d'ordre 1 de la courbure, de la géométrie de la courbe et du maximum de la distance entre P et un point variable de la courbe. Dans le cas des surfaces, nous donnons une majoration entre la courbure discrète en un point P d'une surface lisse S et un polynôme homogène en les courbures principales de S en P. Notre majorant dépend du jet d'ordre 1 des courbures de S en P, de l'épaisseur, du nombre de points du maillage et surtout de sa taille. Enfin, nous construisons une classe particulière de maillages qui permet d'avoir des résultats de convergence ponctuels lorsque la taille des maillages tend vers 0.

Dans le cadre du projet européen ENVISION (2010-2014) et en collaboration avec l'équipe CAS-PHABIO de l'IPNL, cette thèse constitue une contribution méthodologique et technique dans le domaine de la dosimétrie et de l'imagerie de contrôle par émission des positons (TEP) pour les organes en mouvement. Les méthodes actuelles utilisent le recalage déformable d'images CT pour estimer le mouvement des organes internes. Le recalage déformable permet d'estimer le déplacement de chaque voxel d'une image à une autre. La dose radio-thérapeutique ainsi que l'activité TEP sont accumulées sur des voxels. Ces approches ont des difficultés quand il s'agit de prendre en compte la variation de densité à l'intérieur des organes et l'aspect non-répétitif du mouvement respiratoire. Les travaux antérieurs de l'équipe ont permis de développer un premier modèle biomécanique complet du système respiratoire qui, corrélé avec des signaux externes, pourrait prendre en compte la variabilité du mouvement respiratoire. Cette thèse présente une approche qui permet d'intégrer un tel modèle biomécanique dans un système de planification de traitement pour l'hadronthérapie. Dans cette thèse, nous avons choisi d'investiguer de près l'utilisation des maillages tétraédriques déformables dans la dosimétrie et la reconstruction d'images TEP afin d'estimer les avantages et inconvénients de ce type de géométrie. En conclusion, notre approche peut être utilisée avec n'importe quel modèle de déformation basé sur une géométrie tétraédrique et dont le mouvement est décrit par le déplacement des nœuds des maillages et donc contrairement aux méthodes basés images, notre approche n'est pas nécessairement dépendante de l'existence des images internes à tout moment. Dans le futur, les méthodes développées dans cette thèse pourraient être utilisées avec un modèle biomécanique complet du système respiratoire afin de quantifier, par exemple, les effets de la variabilité de la respiration sur le dépôt de dose / Respiratory-induced organ motion is a technical challenge to nuclear imaging and to charged particle therapy dose calculations for lung cancer treatment in particular. Internal organ tissue displacements and deformations induced by breathing need to be taken into account when calculating Monte Carlo dose distributions as well as when performing tomographic reconstructions for PET imaging. Current techniques based on Deformable Image Registration (DIR) cannot fully take into account the density variations of the tissues nor the fact that respiratory motion is not reproducible. As part of the ENVISION (2010-2014) European project, in collaboration with the CAS-PHABIO team from IPNL (the Nuclear Physics Institute from Lyon), this PhD project presents a methodological contribution to physical dose calculations and PET-based treatment verification for hadron therapy in the case of moving tumours. Contrary to DIR-based methods where motion is described by relative voxel displacement, each organ is represented as a deformable grid of tetrahedra where internal motion is described by mesh vertex transformations calculated using continuum mechanics. First, this PhD project proposes a new method to calculate four dimensional dose distribution over tetrahedral meshes, which are deformed using biomechanical modeling based on Finite Element Analysis (FEA). The second part of the PhD is focused on motion compensation for PET image reconstruction using deformable tetrahedral meshes

Dans toutes sortes de milieux industriels comme l'aéronautique, l'industrie spatiale, l'industrie pétrolière et tant d'autres, il est indispensable d'effectuer des calculs numériques pour simuler des phénomènes intervenant dans des systèmes naturels ou artificiels modélisables par la mécanique des milieux continus. Nous nous sommes intéressés à la question scientifique suivante: Comment, pour une simulation donnée et des moyens de calcul donnés, obtenir la plus grande précision de prédiction ? Le but de cette thèse est de faire le lien entre deux techniques de simulation numérique : les méthodes multigrilles et les nouvelles méthodes adaptatives anisotropes récemment développées. On résout une équation aux dérivées partielles elliptique. L'adaptation des maillages au problème donné repose sur une minimisation d'une grandeur donnée suivant la méthode d'adaptation employée: l'erreur d'interpolation pour l'adaptation basée-hessiens, une pondération de l'erreur d'approximation pour la méthode goal-oriented et la norme de l'erreur d'approximation pour la méthode norm-oriented. La méthode multigrille permet d'accelérer la convergence sur chaque maillage. Plusieurs cas tests ont été effectués pour s'assurer de l'efficacité des différentes méthodes. / In many industrial activities such as aeronautics, space industry, oil industry and many others, it is essential to carry out numerical computations to simulate phenomena occurring in natural or artificial systems modelisable by mechanical Continuum. This thesis focuses on the following scientific question: how, for a given simulation and computing means given, obtain the highest prediction accuracy? Our contribustion makes the link between two numerical simulation techniques: multigrid methods and new recently developed anisotropic adaptative methods. We solve an elliptic partial differential equation. The adaptation of the mesh to the given problem is based on minimization of a given magnitude following the adaptation method employed: the interpolation error for the Hessian-based adaptation, a weighting of the approximation error for goal-oriented method and the norm of the approximation error for the norm-oriented method. The multigrid method permits to accelerate convergence on each mesh. Several tests cases were carried out to ensure the effectiveness of the different methods.