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Inclusiones asintóticas del ln-cubo y de lpn, 0<p<2 en espacios de dimensión finita

Bernués Pardo, Julio 01 June 1991 (has links)
Se tratan dos cuestiones dentro de la Teoría Local en espacios de Banach . Mediante el uso de nuevas desigualdades de desviación, se consiguen inclusiones métricas del cubo y lineales del espacio lpn
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En torno al problema de Borsuk

Velásquez López, Roberto 25 September 2017 (has links)
Una mañana de otoño de 1974, en el descanso de la escalera de acceso al Departamento de Matemática de la PUCP, conversaba con el Dr. José Tola Pasquel sobre problemas de la enseñanza de la Geometría y él señalaba la importancia del razonamiento geométrico, afirmando que era necesario mantenerlo aún cuando la Geometría "a lo Euclides" hubiera dejado de ser tema central en la formación científica y tecnológica en general. Concluyó recomendando buscar partes de la geometría contemporánea con "muchos problemas y aplicaciones" que demandaran para su solución de las características especiales del razonamiento que se denomina geométrico. Concordé y concuerdo plenamente con el Maestro Tola, y al respecto considero que en la Geometría de los Conjuntos Convexos hay muchos problemas que admiten un planteamiento sencillo, al alcance de alumnos de Estudios Generales, y en cuya solución hay más de la inspiración y el arte de la escuela de Euclides que de la metodología algebraica de Descartes. Como un pequeño homenaje al Dr. José Tola, presento algunos temas y comentarios relacionados con el problema de Borsuk.
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Ecuaciones en diferencias racionales

Cascales Vicente, Antonio 21 March 2014 (has links)
Objetivos • Demostrar la siguiente conjetura: la sucesión x_{-2}=x_{-1}=x_0=1, x_{k+1}=1/(x_{k}+x_{k-2}) es asintóticamente dos periódica prima. • Estudiar el concepto de irreducibilidad de una ecuación en diferencias racional, y aplicarlo a la resolución de un problema sobre el carácter no finalmente positivo de las soluciones de ciertas ecuaciones en diferencias racionales. • Generalizar las definiciones de caos en el sentido de Li-Yorke y Marotto, enunciados en el caso diferenciable, al caso no continuo de las ecuaciones en diferencias racionales. Extender la condición suficiente de Marotto para la existencia de caos (presencia de un repulsor de retorno finito) a ecuaciones en diferencias racionales. • Realizar análisis numéricos que justifiquen la siguiente conjetura: los teoremas sobre la presencia de repulsores de retorno finito y órbitas homoclínicas en ecuaciones en diferencias perturbadas son también válidos en el contexto racional. • Estudiar los conjuntos prohibidos de ecuaciones en diferencias racionales. Metodología El contenido de la Memoria se ha desarrollado en las siguientes etapas: 1. Un extenso trabajo de documentación en el que se ha consultado la literatura sobre los objetivos antes expuestos, de la cual destacamos los siguientes textos: a) E. Camouzis y G. Ladas. Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures. Advances in Discrete Mathematics and Applications, v.5. Taylor & Francis, 2007. b) F.R. Marotto. Snapback repellers imply chaos in Rn . Journal of Mathematical Analysis and Applications, 63:199–223, 1978. c) F.R. Marotto. Perturbation of stable and chaotic difference equations. J. Math. Anal. Appl, (72):716–729, 1979. d) F. J. Palladino. On invariants and forbidden sets. Xiv:1203.2170v2, 2012. e) R. Azizi. Global behaviour of the rational Riccati difference equation of order two: the general case. Journal of Difference Equations and Applications, 18:947–961, 2012. 2. Simulación numérica utilizando los sistemas algebraicos computacionales wxMaxima 11.08.0 y Mathematica 5.0 3. Un trabajo creativo en el que se han ido obteniendo los teoremas y conjeturas de la Memoria. 4. La presentación de partes de dicho trabajo en diversas publicaciones y comunicaciones en congresos, 5. La revisión del trabajo por el director mediante medios telemáticos y entrevistas frecuentes, durante un periodo de siete años. Conclusiones En la Memoria se han conseguido los siguientes resultados: • La demostración de la conjetura sobre la sucesión citada en el objetivo 1. • La extensión de la conjetura a condiciones iniciales más generales y la determinación de la cuenca de atracción del equilibrium positivo de la ecuación x_{k+1}=1/(x_k+x_{k-2}) • La irreducibilidad de ciertas ecuaciones en diferencias racionales. También se ha encontrado un ejemplo de ecuación no irreducible que puede ser estudiada mediante una ecuación irreducible asociada a ella. • Un teorema general sobre ecuaciones en diferencias racionales no uniformemente finalmente positivas. • La extensión, al contexto de las ecuaciones en diferencias racionales, del teorema de Marotto sobre caos y repulsores de retorno finito. • Se han propuesto diversas conjeturas sobre ecuaciones en diferencias racionales obtenidas mediante perturbaciones de modelos unidimensionales caóticos. Éstas se podrían aplicar a la generalización del modelo de competición de especies de Hassell y Comins. • Dichas conjeturas se han apoyado en simulaciones numérico-gráficas sobre los modelos anteriores. • Se ha recopilado la literatura reciente más relevante sobre los conjuntos prohibidos de ecuaciones en diferencias racionales. • Se han investigado, tanto analítica como numéricamente, los conjuntos prohibidos de las ecuaciones en diferencias estudiadas en el resto de la Memoria. Además durante el desarrollo del trabajo han ido surgiendo diversas conjeturas y problemas abiertos recopilados en el último capítulo de la Memoria. Archena, a 27 de enero de 2014 / Objectives The main objectives of the dissertation are: • To prove the following conjecture: the sequence x_{-2}=x_{-1}=x_0=1, x_{k+1}=1/(x_{k}+x_{k-2}) is asymptotically a period-two sequence (with prime period). • To study the concept of irreducible rational difference equation, applying it to the resolution of a problem about the non eventually positive character of the solutions of some rational difference equations. • To generalize the definitions of Li-Yorke chaos and Marotto chaos to the non continuous framework of rational difference equations, and to extend Marotto's snap-back repeller criterion to rational difference equations. • To make numerical analysis in the aim of justify some conjectures about the presence of snap-back repellers or homoclinic orbits in rational difference equations constructed by a perturbation of a one-dimensional model having such trajectories. • To study the forbidden sets of rational difference equations. Metodology The steps of our work were the following: 1. A wide work of documentation. We have read several books and papers related to the former objectives. For example: a) E. Camouzis y G. Ladas. Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures. Advances in Discrete Mathematics and Applications, v.5. Taylor & Francis, 2007. b) F.R. Marotto. Snapback repellers imply chaos in Rn . Journal of Mathematical Analysis and Applications, 63:199–223, 1978. c) F.R. Marotto. Perturbation of stable and chaotic difference equations. J. Math. Anal. Appl, (72):716–729, 1979. d) F. J. Palladino. On invariants and forbidden sets. Xiv:1203.2170v2, 2012. e) R. Azizi. Global behaviour of the rational Riccati difference equation of order two: the general case. Journal of Difference Equations and Applications, 18:947–961, 2012. 2. A numerical analysis using the computer algebra systems wxMaxima 11.08.0 and Mathematica 5.0 3. A creative work to obtain the theorems and conjectures of the dissertation. 4. The presentation of the former work in several articles and congress communications. For example: a) The difference equation x n1=1 / x n x n−2  . NoLineal 2010 – Cartagena (Spain), june 2010. b) On the difference equation x n1=1 / x n x n−2  . CSS Workshop on Discrete Dynamical Systems – La Manga (Spain), september 2010 c) On solutions of rational difference equations with non positive initial conditions. VCDS, Banská Bystrica (Slovakia), july 2011 d) Snap-back repellers in rational difference equations. ICDEA – Barcelona (Spain), 22th - 27th july 2012. 5. A seven years review work of the dissertation director, using telematic resources and periodic interviews. Conclusions In the dissertation we have achieved the following results: • The proof of the conjecture cited in objective 1. • The extension of the conjecture to more general initial conditions and the determination of the basin of attraction of the positive equilibrium in equation x_{k+1}=1/(x_k+x_{k-2}) • Several examples of irredutible rational difference equations and a non-irreducible rational difference equation with and associated reducible one. • A general theorem about non uniformly eventually positive rational difference equations. • The extension to rational difference equations of the Li-Yorke and Marotto chaos definitions. The extension of Marotto's snap-back repeller rule to detect chaos in a rational difference equation. • We have conjectured several results about the existence of snap-back repellers or homoclinic orbits in rational difference equations obtained by perturbing one-dimensional models. The results could be applied to the Hassell-Comins species competition model. • The former conjectures have been made subsequent to several numerical analysis of those rational difference equations. • We have compiled the recent literature about forbidden sets in rational difference equations, providing a summary of the different techniques for the study of such sets. • We have studied analytically and numerically the forbidden sets of the equations in the former chapters of the dissertation. Finally we have compiled in the last chapter the open problems and conjectures produced along the dissertation. Archena, january 27, 2014
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Representación matricial de una aplicación lineal a través de la inversa generalizada de Moore-Penrose. Aplicaciones

López Michelini, Oswaldo Rafael January 2019 (has links)
Se ha construido la teoría formal de la inversa de Moore-Penrose, se ha determinado algunas expresiones de dicha inversa y se ha logrado dar una respuesta parcial a un problema que parece estar abierto. / Tesis
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Teorema de factorización de Hadamard para funciones enteras

Mendoza Villacorta, German January 2011 (has links)
Una función entera puede ser considerada como un “polinomio de grado infinito”. Por lo tanto surge la siguiente pregunta ¿Puede la teoría de polinomios ser generalizada a una función entera? Por ejemplo ¿una función entera puede ser factorizada?. El teorema de factorización de Hadamard afirma que toda función entera de orden finito posee género finito; esto nos da una forma de factorizar funciones enteras. Para ello estudiaremos los conceptos de rango, orden y género de funciones enteras y las relaciones que hay entre ellos.
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Clasificación analítica de ciertos tipos de foliaciones cuspidales (C3,0)

Neciosup Puican, Hernán 24 October 2014 (has links)
Sin duda, uno de los problemas ubicuos de las matemáticas es el de la clasificación de objetos, una vez definido un criterio de equivalencia. Así pues, se clasifican estructuras algebraicas, objetos geométricos, o ecuaciones, siguiendo criterios de isomorfismo, conservación de ciertas estructuras geométricas, o relación entre los espacios de soluciones. Uno de los objetivos de estudiar estas clasificaciones es hallar un representante “sencillo” a cada una de las clases de equivalencia, cuyas propiedades, fáciles de estudiar, permiten deducir por analogía propiedades de los objetos más generales. Mencionamos algunos ejemplos conocidos. 1. Toda matriz cuadrada es equivalente a una matriz en forma de Jordan. Así deducimos por ejemplo, la descomposición de un endomorfismo en su parte semisimple y nilpotente. 2. Todo grupo abeliano finito es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos. Un problema de equivalencia similar para grupos simples finito ocupó la labor de numerosos matemáticos durante décadas. 3. Toda superficie topológica compacta es homeomorfa a uno de los siguientes modelos: una esfera, una suma conexa de toros, o una suma conexa de un plano proyectivo y una de las anteriores. Problemas análogos en dimensión superior han resultado mucho más difíciles de abordar. Así, la célebre conjetura de Poincaré está relacionada con la clasificación de 3-variedades topológicas compactas. En particular, se puede mostrar que si una tal variedad tiene la homología de una 3-esfera S³, es homeomorfo a ella. La importancia de resolver este tipo de problemas muestra que la resolución de dicha conjetura en cualquier dimensión ha sido merecedora de tres Medallas Fields (Stephen Smale en 1966, Michael Freedman en 1986 y Grigori Perelman en 2006). La presente memoria se enmarca dentro de los problemas de clasificación. Más específicamente, nos proponemos estudiar la clasificación analítica, mediante la holonomía proyectiva, de ciertos tipos de foliaciones holomorfas singulares de codimension uno en (C³, 0). En concreto, el estudio que presentamos en esta tesis se escoge con la finalidad de establecer, hasta qué punto, una técnica sencilla, nos permite clasificar analíticamente las foliaciones cuspidales en (C³, 0). De este modo, el desarrollo de esta tesis se fundamenta en una interrogante fundamental que da sentido y forma a todos nuestros planteamientos. Esta interrogante es el siguiente ¿hasta qué punto la técnica de clasificación analítica usada por R. Moussu [Mou2], D. Cerveau y R. Moussu [CMou], R. Meziani [Me], M.Berthier, R. Meziani y P. Sad [BMS], entre otros, nos permite clasificar analíticamente las foliaciones cuspidales en (C³, 0)?. Esta pregunta, se presta a múltiples respuestas y a variados planteamientos, pero en el caso que nos ocupa cabe destacar un planteamiento que posteriormente pasaremos a describir / Tesis
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Sobre grupos radicales localmente finitos con min-p para todo primo p.

Pedraza Aguilera, Tatiana 27 March 2003 (has links)
SUMARYA group is said to be locally finite if every finite subset of G generates a fi-nite subgroup. The class of locally finite groups is placednear the cross-roads of finite group theory and the general theory of infinite groups. Many theoremsabout finite groups can be phrased in such a way that their statements still make sense for locally finite groups. However, in general, Sylow's Theorems do not hold in the class of locally finite groups and there are a numberof generic examples which show that locally finite groups can be very varied and complex. If we restrict our attention to locally finite-soluble groups with min-p for all primes p then the Sylow ¼-subgroups are very well behavedif ¼ or its complementary in the set of all primes is finite. The conjugacy of Sylow p-subgroups in these groups is a very strong condition which have guaranteed the successful development of formation theory and interestingresults on Fitting classes in the universe c¯L of all radical locally finite groups with min-p for all primes p. Moreover, using an extension of the Frattini subgroup introduced by Tomkinson, it has been proved a Gasch¨utz-Lubeseder type theorem characterizing saturated formations in this universe.It is therefore appropriate to study the class c¯L of all radical locally finitegroups with min-p for all primes p in more detail. In this thesis we haveobtained results which help to understand better the groups in this class.Consequently, the unspoken rule is that all groups considered in the threechapters of this thesis belong to the class c¯L. The work is organized as follows.In Chapter 1, we explore the class B of generalized nilpotent groups inthe universe c¯L. We obtain that this class behaves in the universe c¯L as thenilpotent groups in the finite universe and we determine the structure of B-groups explicitly. Moreover, we show that the largest normal B-subgroup ofa c¯L-group is the Fitting subgroup. This fact allows us to prove some results1concerning the Fitting subgroup of a c¯L-group which are extensions of thefinite ones. The aim of the last section is to study the injectors associatedto the class B. In fact, we obtain a description of the B-injectors similar tothe characterization of nilpotent injectors of a finite soluble group.Chapter 2 is devoted to study the local version of the class B. This isa natural generalization of the class of finite p-nilpotent groups. We extendsome results of finite groups to the above universe using a local version ofa Frattini-like subgroup. In particular, some properties appear relating theFrattini and Fitting subgroups. The injectors associated to this class ofgeneralized p-nilpotent groups are also characterized.Finally, Chapter 3 is concerned with the structure of a radical locallyfinite group with min-p for all p, G = AB, factorized by two subgroups Aand B in the class B. We extend the well-known results of finite productsof nilpotent groups to the above universe.We have introduced a Chapter 0 establishing the notation and terminology.It also presents many of the well-known results that will be usedthroughout this thesis.
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Sobre espacios y álgebras de funciones holomorfas

Sevilla Peris, Pablo 17 September 2001 (has links)
No description available.
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Models cosmològics inhomogenis conformement plans

Herrero Debón, Alicia 12 April 2002 (has links)
En aquest treball parlem de models cosmològics conformement plans en dos sentits, aquells que tenen una mètrica associada que és conformement plana en el sentit de mètrica d'espai-temps 4-dimensional, i aquells que tenen associades unes seccions espacials conformement planes en el sentit de mètriques 3-dimensionals. Ambdós sentits de mètriques conformement planes simplifiquen considerablement el tractament de les equacions d'Einstein al restringir-nos a espai-temps els quals tenen un únic grau de llibertat representat per una funció arbitrària de les coordenades. Als espais-temps conformement plans aquesta funció està representada pel factor de conformitat corresponent; mentre que als espais-temps amb seccions espacials conformement planes será el potencial gravitatori. En primer lloc estudiem els camps conformes Killing radials i les seues propietats (corbes integrals, caràcter causal, etc.) a l'espai-temps de Minkowski, especialment aquestes que no són invariants sota conformitats (acceleració, expansió, ...). A continuació establim un mètode cinemàtic per a l'obtenció de factors de conformitat a espai-temps conformement plans. Aquest mètode consisteix en imposar diferents condicions sobre les propietats cinemàtiques associades a aquests camps. Imposem principalment tres condicions: acceleració nul·la, la qual ens fa caure en el factor de conformitat de les mètriques de Robertson-Walker; expansió homogènia i seccions espacials amb curvatura seccional constant, les quals donen lloc a factors de conformitat d'espai-temps que generalitzen els universos de Robertson-Walker. El cas d'expansió homogènia és interpretable també mitjançant el transport Fermi de l'acceleració al llarg de les corbes integrals del camp. Les dues últimes condicions considerades conjuntament porten a una subclasse dels universos de Stephani.En segon lloc tractem el cas corresponent a models cosmològics inhomogenis conformement plans en el sentit que admeten seccions espacials conformes a la mètrica plana 3-dimensional. Ací s'hem plantejat un sistema més realista, estudiem la teoria relativista de les pertorbacions d'un univers d'Einstein-de Sitter. És a dir, tractem les equacions d'Einstein en forma evolutiva (formalisme 3+1) per a la mètrica d'Einstein-de Sitter i on el contingut material estarà generat per una funció de distribució de matèria freda i sense col·lisions que verifica l'equació de Vlasov. Tractem per tant el problema d'Einstein-Vlasov.Primerament tenim que les equacions d'Einstein es redueixen a una única equació diferencial de segon ordre per al potencial gravitatori &#61542; on els coeficients depenen del contingut energètic considerat. Aquests coeficients són determinats al resoldre l'equació de Vlasov sobre una funció de distribució de matèria fosca sense col·lisions considerada com una pertorbació analítica en els moments del cas de quasi-equilibri. La resolució d'aquesta equació fins a tercer ordre en els moments ens porta a la construcció d'un model sense anisotropies.A continuació, l'acoblament final de les equacions d'Einstein-Vlasov, una vegada obtinguda la forma de la densitat d'energia, la pressió mitjana i el fluxe de calor, ens porta a un problema de Cauchy de valors inicials per a l'evolució del potencial gravitatori.Finalment resolem l'esmentat problema de Cauchy, en el cas en què fem una teoria linealitzada de l'evolució, utilitzant la tècnica de les transformades de Fourier. Com l'equació és de segon ordre, cal considerar dues condicions inicials, una sobre el potencial i una altra sobre la seua primera derivada temporal. Trobem la solució general d'aquest problema linealitzat a l'espai real i en el cas de simetria esfèrica expressem aquesta solució en termes d'integrals unidimensionals de les condicions inicials. L'aplicació a Cosmologia via el contrast de densitat ens permet estudiar la formació de cúmuls de galaxies i analitzar els resultats corresponents.Això porta a que la teoria relativista linealitzada de l'evolució de les pertorbacions de Friedmann pot donar creiximents considerables del contrast de densitat, la qual cosa pot ser relevant per a la formació d'estructures. / Firstly, we study inhomogeneous cosmological models whose 4-dimensional metric is conformally flat. In these space-times we analyse the properties of radial conformal Killing vector fields (RCKF) as a way to obtain conformal factors. For example, the condition of nullity for the acceleration leads to the conformal factor of the Robertson-Walker metrics. Other conditions like homogeneous expansion or the existence of orthogonal (to a RCKF) surfaces with constant curvature allow obtaining conformal factors of space-times that generalise the Robertson-Walker universes. Secondly, we study cosmological models that admit conformally flat space-like sections. Concretely, we examine the relativistic theory of perturbations of an Einstein-de Sitter Universe in evolutive form. We consider that the energetic content is generated by a distribution function of collision-less cold matter (Einstein-Vlasov problem). The Einstein equations lead to a second order differential equation for the gravitational potential. We solve the Cauchy problem in the linealized case and for a model without anisotropies. It is necessary to consider two initial conditions, one of them over the potential and the other one over its first time derivative. In the spherical symmetric case the solution is expressed in terms of one-dimensional integrals of the initial conditions.This analysis leads to that the linealized relativistic theory of evolution of Friedmann perturbations can give big enhancements of the density contrast. This can be relevant to structure formation.
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Estudio de foliaciones en relatividad

Bolós Lacave, Vicente José 14 January 2003 (has links)
En esta tesis se ha introducido un nuevo formalismo para trabajar con distribuciones en general, se han estudiado sus propiedades y se ha analizado su aplicabilidad a diferentes aspectos físicos. En concreto, los resultados más destacables son los siguientes:· A partir del concepto de base asociada a un observador, se han obtenido de forma natural expresiones para el efecto Doppler y la aberración de la luz en Relatividad General.· Se han definido y estudiado nuevos conceptos que relacionan distribuciones mediante observadores y a la inversa, como la igualdad salvo orientaciones entre dos distribuciones para un observador y la Omega-relación entre dos observadores. Se han obtenido propiedades relacionadas con estos conceptos y se han aplicado a la aberración de la luz: Dada una distribución nula Omega de dimensión ó codimensión 1, dos congruencias de observadores U y U' están Omega-relacionadas si y sólo si no hay efectos de aberración entre los observadores de U y U' al observar Omega.· Trabajando siempre dentro de un entorno normal convexo, se ha extendido el concepto de causalidad, introduciendo la causalidad tangencial, que se interpreta como una causalidad observada. Se han obtenido múltiples propiedades relacionadas con la causalidad tangencial en general y, en concreto, aplicada a las subvariedades de horismos y de Landau: las subvariedades de horismos son siempre nulas y tangencialmente nulas; sin embargo, no podemos asegurar que las subvariedades de Landau sean siempre espaciales, aunque sí podemos asegurar que son siempre tangencialmente espaciales.· Se han estudiado las condiciones de existencia de foliaciones de Landau espaciales (cuyas hojas son subvariedades de Landau espaciales) generadas por una línea de universo temporal beta. Como resultado se ha obtenido que para asegurar la existencia de estas foliaciones en algún entorno es necesario que el campo adaptado del tangente beta sea sincronizable en este entorno. Sin embargo, las foliaciones de horismos nulas (cuyas hojas son subvariedades de horismos) generadas por una línea de universo temporal siempre existen en los entornos normales convexos.· Se ha estudiado un nuevo método para adaptar vectores mediante foliaciones en general. Este método sirve para extender un observador a toda una congruencia de observadores y hacer aplicables los resultados obtenidos en el Capítulo 1 a los observadores individuales. También nos permite definir el concepto de emisión puntual y estudiar su dirección propia y su frecuencia propia mediante la congruencia de observadores propia asociada, obteniéndose expresiones para la aberración de la luz y el efecto Doppler.· Se ha generalizado la Ley de Movimiento (condición de totalmente geodésica) mediante el concepto de estabilidad entre distribuciones en general. Dada una distribución Omega, el Lema de Dualidad nos asegura que Omega y su ortogonal se comportan igual ante la estabilidad. Se han estudiado diferentes aspectos de la estabilidad (estabilidad regular, auto-estabilidad y auto-estabilidad regular), así como la relación entre la estabilidad y la estabilidad regular, en la que entra en juego la curvatura: dadas dos distribuciones Omega y Omega', si Omega es estable respecto a Omega', entonces Omega es regularmente estable respecto a Omega' si y sólo si Omega' es plana respecto a Omega. Este resultado ha generado diversos subcasos importantes: si Omega' es de dimensión 1, o si estamos en un espacio-tiempo plano, entonces la estabilidad y la estabilidad regular son propiedades equivalentes. Este hecho tiene una especial relevancia, ya que estudiar la estabilidad regular es mucho más sencillo que estudiar la estabilidad. Además, se ha realizado un estudio de estabilidad entre subvariedades análogo al hecho para distribuciones.· Por último, se han recopilado en un Apéndice diversos ejemplos de estabilidad entre distribuciones en diferentes espacio-tiempos. / We have introduced a new formalism to study distributions in general, as well as its properties and its applicability to physics. The most remarkable results are the following ones:· We have obtained in a natural way expressions for Doppler effect and light aberration in General Relativity, from the concept of "basis associated to an observer".· We have defined and studied new concepts as the "equality between two distributions by an observer up to orientations" and the "Omega-relation between two observers". We have obtained properties related with these concepts and they have been applied to light aberration: Given a lightlike distribution Omega of dimension or codimension 1, two congruentes of observers U and U' are Omega-related if and only if there are not any aberration effect between the observers of U and U' while observing Omega.· We have extended the causality concept, introducing the "tangential causality", that can be interpreted as an observed causality. We have obtained properties of tangential causality in general and applied to horismos and Landau submanifolds: horismos submanifolds are always lightlike and tangentially lightlike; on the other hand, we can not assure that Landau submanifolds were always spacelike, but we can assure that they are always tangentially spacelike.· We have studied conditions of existente of spacelike Landau foliations and lightlike horismos foliations.· We have studied a new method to adapt vectors by means of foliations in general. This method is useful to extend an observer to a congruence of observers and make the results of Chapter 1 applicable to single observers.· We have generalized the "Movement Law" by means of the concept of "stability" between distributions in general. Given any distribution Omega, the "Duality Lemma" assures us that Omega and its orthogonal distribution have the same stability properties. We have studied different aspects of stability ("regular stability", "self-stability" and "regular self-stability"), and the relation between stability and regular stability.· Finally, we have compiled in an Appendix some examples of stability between distributions in different space-times.

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