Considere um meio desordenado formado por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente com probabilidade uniforme ao longo das arestas unitárias de um hipercubo de $d$ dimensões. Um caminhante, partindo de um ponto qualquer desse meio, se desloca seguindo a regra determinista de dirigir-se sempre ao ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $\\mu$ passos. Esta dinâmica de movimentação, denominada caminhada determinista do turista, leva a trajetórias formadas por uma parte inicial transiente de $t$ pontos, e uma parte final cíclica de $p$ pontos. A exploração do meio se limita aos $t+p$ pontos percorridos na trajetória. O sucesso da exploração depende do valor da memória $\\mu$ do viajante. Para valores pequenos de $\\mu$ a exploração é altamente localizada e o sistema não é satisfatoriamente explorado. Já para $\\mu$ da ordem de $N$, aparecem ciclos longos, permitindo a exploração global do meio. O objetivo deste estudo é determinar o valor de memória $\\mu_1$ para o qual ocorre uma transição abrupta no comportamento exploratório do turista em meios unidimensionais. Procuramos também entender a distribuição da posição final do turista após atingir um estado estacionário que é atingido quando o turista fica aprisionado nos ciclos. Os resultados obtidos por simulações numéricas e por um tratamento analítico mostram que $\\mu_1 = \\log_2 N$. O estudo também mostrou a existência de uma região de transição com largura $\\varepsilon = e/ \\ln 2$ constante, caracterizando uma transição aguda de fase no comportamento exploratório do turista em uma dimensão. A análise do estado estacionário da caminhada em função da memória mostrou que, para $\\mu$ distante de $\\mu_1$, a dinâmica de exploração ocorre como um processo difusivo tradicional (distribuição gaussiana). Já para $\\mu$ próximo de $\\mu_1$ (região de transição), essa dinâmica segue um processo superdifusivo não-linear, caracterizado por distribuições $q$-gaussianas e distribuições $\\alpha$-estáveis de Lévy. Neste processo, o parâmetro $q$ funciona como parâmetro de ordem da transição. / Consider a disordered medium formed by $N$ point whose coordinates are randomly generated with uniform probability along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. A walker, starting to walk from any point of that medium, moves following the deterministic rule of always going to the nearest point that has not been visited in the last $\\mu$ steps. This dynamic of moving, called deterministic tourist walk, leads to trajectories formed by a initial transient part of $t$ points and a final cycle of $p$ points. The exploration of the medium is limited to the $t+p$ points covered. The success of the exploration depends on the traveler\'s memory value $\\mu$. For small values of $\\mu$, the exploration is highly localized and the whole system remains unexplored. For values of $\\mu$ of the order of $N$, however, long cycles appear, allowing global exploration of the medium. The objective of this study is to determine the memory value $\\mu_1$ for which a sharp transition in the exploratory behavior of the tourist in one-dimensional media occurs. We also want to understand the distribution of the final position of the tourist after reaches a steady state in exploring the medium. That steady state is reached when the tourist is trapped in cycles. The results achieved by numerical simulations and analytical treatment has shown that $\\mu_1 = \\log_2 N$. The study has also shown the existence of a transition region, with a constant width of $\\varepsilon = e/ \\ln 2$, characterizing a phase transition in the exploratory behavior of the tourist in one dimension. The analysis of the walk steady state as a function of the memory has shown that for $\\mu$ far from $\\mu_1$, the exploratory dynamic follows a traditional diffusion process (with gaussian distribution). In the other hand, for $\\mu$ near $\\mu_1$ (transition region), the dynamic follows a non-linear superdiffusion process, characterized by $q$-gaussian distributions and Lèvy $\\alpha$-stable distributions. In this process, the parameter $q$ plays the role of a transition order parameter.

Considere um meio desordenado formado por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente com probabilidade uniforme ao longo das arestas unitárias de um hipercubo de $d$ dimensões. Um caminhante, partindo de um ponto qualquer desse meio, se desloca seguindo a regra determinista de dirigir-se sempre ao ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $\\mu$ passos. Esta dinâmica de movimentação, denominada caminhada determinista do turista, leva a trajetórias formadas por uma parte inicial transiente de $t$ pontos, e uma parte final cíclica de $p$ pontos. A exploração do meio se limita aos $t+p$ pontos percorridos na trajetória. O sucesso da exploração depende do valor da memória $\\mu$ do viajante. Para valores pequenos de $\\mu$ a exploração é altamente localizada e o sistema não é satisfatoriamente explorado. Já para $\\mu$ da ordem de $N$, aparecem ciclos longos, permitindo a exploração global do meio. O objetivo deste estudo é determinar o valor de memória $\\mu_1$ para o qual ocorre uma transição abrupta no comportamento exploratório do turista em meios unidimensionais. Procuramos também entender a distribuição da posição final do turista após atingir um estado estacionário que é atingido quando o turista fica aprisionado nos ciclos. Os resultados obtidos por simulações numéricas e por um tratamento analítico mostram que $\\mu_1 = \\log_2 N$. O estudo também mostrou a existência de uma região de transição com largura $\\varepsilon = e/ \\ln 2$ constante, caracterizando uma transição aguda de fase no comportamento exploratório do turista em uma dimensão. A análise do estado estacionário da caminhada em função da memória mostrou que, para $\\mu$ distante de $\\mu_1$, a dinâmica de exploração ocorre como um processo difusivo tradicional (distribuição gaussiana). Já para $\\mu$ próximo de $\\mu_1$ (região de transição), essa dinâmica segue um processo superdifusivo não-linear, caracterizado por distribuições $q$-gaussianas e distribuições $\\alpha$-estáveis de Lévy. Neste processo, o parâmetro $q$ funciona como parâmetro de ordem da transição. / Consider a disordered medium formed by $N$ point whose coordinates are randomly generated with uniform probability along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. A walker, starting to walk from any point of that medium, moves following the deterministic rule of always going to the nearest point that has not been visited in the last $\\mu$ steps. This dynamic of moving, called deterministic tourist walk, leads to trajectories formed by a initial transient part of $t$ points and a final cycle of $p$ points. The exploration of the medium is limited to the $t+p$ points covered. The success of the exploration depends on the traveler\'s memory value $\\mu$. For small values of $\\mu$, the exploration is highly localized and the whole system remains unexplored. For values of $\\mu$ of the order of $N$, however, long cycles appear, allowing global exploration of the medium. The objective of this study is to determine the memory value $\\mu_1$ for which a sharp transition in the exploratory behavior of the tourist in one-dimensional media occurs. We also want to understand the distribution of the final position of the tourist after reaches a steady state in exploring the medium. That steady state is reached when the tourist is trapped in cycles. The results achieved by numerical simulations and analytical treatment has shown that $\\mu_1 = \\log_2 N$. The study has also shown the existence of a transition region, with a constant width of $\\varepsilon = e/ \\ln 2$, characterizing a phase transition in the exploratory behavior of the tourist in one dimension. The analysis of the walk steady state as a function of the memory has shown that for $\\mu$ far from $\\mu_1$, the exploratory dynamic follows a traditional diffusion process (with gaussian distribution). In the other hand, for $\\mu$ near $\\mu_1$ (transition region), the dynamic follows a non-linear superdiffusion process, characterized by $q$-gaussian distributions and Lèvy $\\alpha$-stable distributions. In this process, the parameter $q$ plays the role of a transition order parameter.

Este trabalho está divido em duas partes. Na primeira apresentamos as funções logaritmo e exponencial generalizadas. A partir delas uma grande variedade de outras funções generalizadas pode ser obtida, permitindo uma formulação única dos comportamentos oscilatório, exponencial e lei de potência, característicos dos principais fenômenos físicos. Também mostramos que é possível generalizar a função densidade de probabilidade (pdf) exponencial estendida (stretched exponential) e, a partir dela, uma vasta gama de outras pdfs, que caracterizam os sistemas complexos em Física. As funções logaritmo e exponencial generalizadas também são úteis na generalização de vários modelos contínuos de crescimento em uma formulação única: o modelo de crescimento generalizado de Tsoullaris e Wallace. O mesmo pode ser feito para modelos discretos de crescimento, obtendo, como modelo mais geral, o -Ricker generalizado. Encerrando a primeira parte, mostramos que a pdf gaussiana generalizada (um caso particular da exponencial estendida generalizada) é a solução da equação de difusão não-linear, que caracteriza a caminhada determinista do turista. Na segunda parte deste trabalho é apresentada a caminhada do turista e suas duas versões originais: a determinista (CDT) e a estocástica (CET). A primeira delas é uma caminhada parcialmente autorrepulsiva, caracterizada por uma memória , em um meio desordenado multidimensional formado por N pontos. Em um ambiente unidimensional, ela apresenta uma transição entre uma exploração local e outra global, em um valor bem definido de memória 1 = log2N. Em sua versão estocástica (da qual a CDT é um caso particular), a dinâmica de movimentação é regida pela memória e pela temperatura T, responsável, em última instância, pelas probabilidades de deslocamento. Da mesma forma que a CDT, a CET também apresenta uma transição entre os regimes de exploração, caracterizada por uma memória e uma temperatura críticas e pela idade Np da caminhada (efeito de envelhecimento). Dada a dificuldade em tratar analiticamente a CET, introduzimos a caminhada estocástica modificada do turista (CEMT). Nesta versão, o parâmetro T passa a representar o alcance máximo de um passo da caminhada. Esta modificação permitiu tratar analiticamente a caminhada, sendo possível obter uma expressão analítica geral para a transição, em função dos parâmetros , T e Np. Estes resultados foram validados por experimentos numéricos. / The present work is splitted into two parts. In the first one we present the generalized logarithm and exponential functions. From them, a wide variety of other generalized functions can be obtained, that allow a unique formulation of oscillatory, exponential an power-law behaviors, that characterize physical phenomena. We also show that it is possible to generalize the stretched exponential probability density function (pdf) and, from there, a wide range of other pdfs that characterize complex systems in Physics. The generalized logarithm and exponential functions are also useful to generalize several continuous growth models into a single formulation: the generalized Tsoullaris and Wallace growth model. The same can be done for discrete growth models, getting, as more general model, the generalized -Ricker growth model. Concluding the first part, we show that the generalized Gaussian pdf (a special case of the generalized stretched exponential) is a solution of the nonlinear diffusion equation, which is a characteristic of deterministic tourist walk. In the second part we present the tourist walk and its two original versions: the deterministic one (DTW) and stochastic one (STW). The first one is a partially self-avoiding walk over a disordered multidimensional medium formed by N points and characterized by a memory . In a one-dimensional environment, it presents a transition from a local exploration to a global one at a well-defined memory value 1 = log2N. In its stochastic version (from which DTW is a particular case), the movement dynamics is ruled by the memory and a temperature T which is responsible by the displacement probabilities. Similar to DTW, STW also has a transition between exploration schemes, characterized by a critical memory and temperature and the walking age (Np) (aging effect). Due the difficulty on analytical treatment of the CET, we introduced the modified stochastic tourist walk (MSTW). In this version, the parameter T plays the role of a maximum distance of one walking step. This modification allowed us to treat analytically the walk, being possible to obtain a general analytical expression for the transition, as function to the parameters , T and Np. These results were validated by numerical experiments.

Este trabalho está divido em duas partes. Na primeira apresentamos as funções logaritmo e exponencial generalizadas. A partir delas uma grande variedade de outras funções generalizadas pode ser obtida, permitindo uma formulação única dos comportamentos oscilatório, exponencial e lei de potência, característicos dos principais fenômenos físicos. Também mostramos que é possível generalizar a função densidade de probabilidade (pdf) exponencial estendida (stretched exponential) e, a partir dela, uma vasta gama de outras pdfs, que caracterizam os sistemas complexos em Física. As funções logaritmo e exponencial generalizadas também são úteis na generalização de vários modelos contínuos de crescimento em uma formulação única: o modelo de crescimento generalizado de Tsoullaris e Wallace. O mesmo pode ser feito para modelos discretos de crescimento, obtendo, como modelo mais geral, o -Ricker generalizado. Encerrando a primeira parte, mostramos que a pdf gaussiana generalizada (um caso particular da exponencial estendida generalizada) é a solução da equação de difusão não-linear, que caracteriza a caminhada determinista do turista. Na segunda parte deste trabalho é apresentada a caminhada do turista e suas duas versões originais: a determinista (CDT) e a estocástica (CET). A primeira delas é uma caminhada parcialmente autorrepulsiva, caracterizada por uma memória , em um meio desordenado multidimensional formado por N pontos. Em um ambiente unidimensional, ela apresenta uma transição entre uma exploração local e outra global, em um valor bem definido de memória 1 = log2N. Em sua versão estocástica (da qual a CDT é um caso particular), a dinâmica de movimentação é regida pela memória e pela temperatura T, responsável, em última instância, pelas probabilidades de deslocamento. Da mesma forma que a CDT, a CET também apresenta uma transição entre os regimes de exploração, caracterizada por uma memória e uma temperatura críticas e pela idade Np da caminhada (efeito de envelhecimento). Dada a dificuldade em tratar analiticamente a CET, introduzimos a caminhada estocástica modificada do turista (CEMT). Nesta versão, o parâmetro T passa a representar o alcance máximo de um passo da caminhada. Esta modificação permitiu tratar analiticamente a caminhada, sendo possível obter uma expressão analítica geral para a transição, em função dos parâmetros , T e Np. Estes resultados foram validados por experimentos numéricos. / The present work is splitted into two parts. In the first one we present the generalized logarithm and exponential functions. From them, a wide variety of other generalized functions can be obtained, that allow a unique formulation of oscillatory, exponential an power-law behaviors, that characterize physical phenomena. We also show that it is possible to generalize the stretched exponential probability density function (pdf) and, from there, a wide range of other pdfs that characterize complex systems in Physics. The generalized logarithm and exponential functions are also useful to generalize several continuous growth models into a single formulation: the generalized Tsoullaris and Wallace growth model. The same can be done for discrete growth models, getting, as more general model, the generalized -Ricker growth model. Concluding the first part, we show that the generalized Gaussian pdf (a special case of the generalized stretched exponential) is a solution of the nonlinear diffusion equation, which is a characteristic of deterministic tourist walk. In the second part we present the tourist walk and its two original versions: the deterministic one (DTW) and stochastic one (STW). The first one is a partially self-avoiding walk over a disordered multidimensional medium formed by N points and characterized by a memory . In a one-dimensional environment, it presents a transition from a local exploration to a global one at a well-defined memory value 1 = log2N. In its stochastic version (from which DTW is a particular case), the movement dynamics is ruled by the memory and a temperature T which is responsible by the displacement probabilities. Similar to DTW, STW also has a transition between exploration schemes, characterized by a critical memory and temperature and the walking age (Np) (aging effect). Due the difficulty on analytical treatment of the CET, we introduced the modified stochastic tourist walk (MSTW). In this version, the parameter T plays the role of a maximum distance of one walking step. This modification allowed us to treat analytically the walk, being possible to obtain a general analytical expression for the transition, as function to the parameters , T and Np. These results were validated by numerical experiments.

Considere um meio caracterizado por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente de maneira uniforme nas arestas unitárias de um hipercubo $d$-dimensional. Um caminhante parte de cada ponto deste meio desordenado e se movimenta obedecendo à regra determinista de ir para o ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $mu$ passos. Este processo foi denominado de caminhada determinista do turista. Cada trajetória gerada por esta dinâmica possui uma parte inicial não-periódica de $t$ passos (transiente) e uma parte final periódica de $p$ passos (atrator). As probabilidades de vizinhança são expressas através da fórmula de Cox, que é parametrizada pela função beta incompleta normalizada $I_d = I_{1/4}[1/2,(d+1)/2]$. Enfati-zamos aqui que a distribuição relevante é $S_{mu,d}^{(N)}(t,p)$, a distribuição conjunta de $t$ e $p$, que tem como casos particulares as distribuições marginais, previamente estudadas. O objetivo deste estudo é obter analiticamente estas distribuições para a caminhada determinista do turista sem memória no espaço euclideano, no modelo de distâncias aleatórias (que corresponde ao limite $d ightarrow infty$) e no modelo de mapeamento aleatório (que é um caso limite das redes de Kauffman). As distribuições analíticas obtidas foram validadas através de experimentos numéricos. A distribuição conjunta de tempos de transiente e período de atratores, no limite termodinâmico para uma dimensionalidade arbitrária vale: $S_{1,d}^{(infty)}(t,p) = [Gamma(1+I_d^{-1}) cdot (t+I_d^{-1})/Gamma(t+p+I_d^{-1})] cdot delta_{p,2}$, onde $t=0,1,2,ldots,infty$; $Gamma(z)$ é a função gama e $delta_{i,j}$ é o delta de Kronecker. A caminhada determinista do turista sem memória no modelo de mapeamento aleatório produz uma distribuição de períodos não-trivial ($S_{0,rm}^{(N)}(p) propto p^{-1}$), que é obtida de $S_{0,rm}^{(N)}(t,p) = Gamma(N)/{Gamma[N+1-(t+p)]N^{t+p}}$, onde enfatizamos que o número de pontos explorados $n_e=t+p$ é a grandeza fundamental nos problemas considerados. / Consider a medium characterized by $N$ points whose coordinates are randomly generated by a uniform distribution along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. A walker leaves from each point of this disordered medium and moves according to the deterministic rule to go the nearest point which has not been visited in the preceding $mu$ steps. This process has been called the deterministic tourist walk. Each trajectory generated by this dynamics has an initial non-periodic part of $t$ steps (transient) and a final periodic part of $p$ steps (attractor). The neighborhood probabilities are given by the Cox formula, which is parameterized by the normalized incomplete beta function $I_d = I_{1/4}[1/2,(d+1)/2]$. Here we stress that the relevant distribution is the joint $t$ and $p$ distribution $S_{mu,d}^{(N)}(t,p)$, which has as particular cases, the marginal distributions previously studied. The objective of this study is to obtain analytically these distributions for the memoryless deterministic tourist walk in the euclidean space, random link model (which corresponds to $d ightarrow infty$ limit) and random map model (which is a limiting case of the Kauffman model). The obtained distributions have been validated by numerical experiments. The joint transient time and attractor period distribution in the thermodynamic limit for an arbitrary dimensionality is: $S_{1,d}^{(infty)}(t,p) = [Gamma(1+I_d^{-1}) cdot (t+I_d^{-1})/Gamma(t+p+I_d^{-1})] cdot delta_{p,2}$, where $t=0,1,2,ldots,infty$; $Gamma(z)$ is the gamma function and $delta_{i,j}$ is the Kronecker's delta. The memoryless deterministic tourist walk in the random map leads to a non-trivial cycle distribution ($S_{0,rm}^{(N)}(p) propto p^{-1}$), which is obtained from $S_{0,rm}^{(N)}(t,p) = Gamma(N)/{Gamma[N+1-(t+p)]N^{t+p}}$, where we stress that the number of explored points $n_e=t+p$ is the fundamental quantity in the considered problems.

Considere um meio desordenado constituído por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente de maneira uniforme e independente nas arestas unitárias de um hipercubo $d$-dimensional. As probabilidades de vizinhança entre os pares de pontos deste meio são expressas através da fórmula de Cox. Um caminhante parte de um dado ponto deste meio desordenado e se movimenta obedecendo à regra determinista de ir para o ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $\\mu$ passos. Este processo foi denominado de caminhada determinista do turista. Cada trajetória gerada por esta dinâmica possui uma parte inicial não-periódica de $t$ passos (transiente) e uma parte final periódica de $p$ passos (atrator). Neste trabalho, obtemos analiticamente algumas distribuições estatísticas para a caminhada determinista do turista com memória $\\mu$ arbitrária em sistemas unidimensionais e com memória $\\mu=2$ no modelo Random Link (que corresponde ao limite $d ightarrow 1$). Estes resultados nos permitiram compreender o papel da memória no comportamento exploratório do turista e explicar a equivalência não-trivial entre o modelo Random Link e o modelo Random Map (que é um caso limite das redes de Kauffman). Enfatizamos que o número de pontos explorados pelo turista é a grandeza fundamental nos problemas considerados. As distribuições analíticas obtidas foram validadas através de experimentos numéricos. Também obtivemos uma dedução alternativa para a fórmula de Cox, apresentando os resultados finais em termos de distribuições estatísticas elementares. / Consider a medium characterized by $N$ points whose coordinates are randomly and independently generated by a uniform distribution along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. The neighborhood probabilities between any pair of points in this medium are given by the Cox formula. A walker leaves from each point of this disordered medium and moves according to the deterministic rule to go the nearest point which has not been visited in the preceding $\\mu$ steps. This process has been called the deterministic tourist walk. Each trajectory generated by this dynamics has an initial non-periodic part of $t$ steps (transient) and a final periodic part of $p$ steps (attractor). In this work, we obtain analytically some statistical distributions for the deterministic tourist walk with arbitrary memory $\\mu$ in one-dimensional systems and with memory $\\mu=2$ in the random link model (which corresponds to $d ightarrow 1$ limit). These results enable us to understand the main role played by the memory on the tourist\'s exploratory behavior and explain the non-trivial equivalence between the random link model and the random map model (which is a limiting case of the Kauffman model). We stress that the number of explored points is the fundamental quantity in the considered problems. The obtained distributions have been validated by numerical experiments. We also obtain an alternative derivation for the Cox formula, writing the final results in terms of known statistical distributions.

Considere um meio caracterizado por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente de maneira uniforme nas arestas unitárias de um hipercubo $d$-dimensional. Um caminhante parte de cada ponto deste meio desordenado e se movimenta obedecendo à regra determinista de ir para o ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $mu$ passos. Este processo foi denominado de caminhada determinista do turista. Cada trajetória gerada por esta dinâmica possui uma parte inicial não-periódica de $t$ passos (transiente) e uma parte final periódica de $p$ passos (atrator). As probabilidades de vizinhança são expressas através da fórmula de Cox, que é parametrizada pela função beta incompleta normalizada $I_d = I_{1/4}[1/2,(d+1)/2]$. Enfati-zamos aqui que a distribuição relevante é $S_{mu,d}^{(N)}(t,p)$, a distribuição conjunta de $t$ e $p$, que tem como casos particulares as distribuições marginais, previamente estudadas. O objetivo deste estudo é obter analiticamente estas distribuições para a caminhada determinista do turista sem memória no espaço euclideano, no modelo de distâncias aleatórias (que corresponde ao limite $d ightarrow infty$) e no modelo de mapeamento aleatório (que é um caso limite das redes de Kauffman). As distribuições analíticas obtidas foram validadas através de experimentos numéricos. A distribuição conjunta de tempos de transiente e período de atratores, no limite termodinâmico para uma dimensionalidade arbitrária vale: $S_{1,d}^{(infty)}(t,p) = [Gamma(1+I_d^{-1}) cdot (t+I_d^{-1})/Gamma(t+p+I_d^{-1})] cdot delta_{p,2}$, onde $t=0,1,2,ldots,infty$; $Gamma(z)$ é a função gama e $delta_{i,j}$ é o delta de Kronecker. A caminhada determinista do turista sem memória no modelo de mapeamento aleatório produz uma distribuição de períodos não-trivial ($S_{0,rm}^{(N)}(p) propto p^{-1}$), que é obtida de $S_{0,rm}^{(N)}(t,p) = Gamma(N)/{Gamma[N+1-(t+p)]N^{t+p}}$, onde enfatizamos que o número de pontos explorados $n_e=t+p$ é a grandeza fundamental nos problemas considerados. / Consider a medium characterized by $N$ points whose coordinates are randomly generated by a uniform distribution along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. A walker leaves from each point of this disordered medium and moves according to the deterministic rule to go the nearest point which has not been visited in the preceding $mu$ steps. This process has been called the deterministic tourist walk. Each trajectory generated by this dynamics has an initial non-periodic part of $t$ steps (transient) and a final periodic part of $p$ steps (attractor). The neighborhood probabilities are given by the Cox formula, which is parameterized by the normalized incomplete beta function $I_d = I_{1/4}[1/2,(d+1)/2]$. Here we stress that the relevant distribution is the joint $t$ and $p$ distribution $S_{mu,d}^{(N)}(t,p)$, which has as particular cases, the marginal distributions previously studied. The objective of this study is to obtain analytically these distributions for the memoryless deterministic tourist walk in the euclidean space, random link model (which corresponds to $d ightarrow infty$ limit) and random map model (which is a limiting case of the Kauffman model). The obtained distributions have been validated by numerical experiments. The joint transient time and attractor period distribution in the thermodynamic limit for an arbitrary dimensionality is: $S_{1,d}^{(infty)}(t,p) = [Gamma(1+I_d^{-1}) cdot (t+I_d^{-1})/Gamma(t+p+I_d^{-1})] cdot delta_{p,2}$, where $t=0,1,2,ldots,infty$; $Gamma(z)$ is the gamma function and $delta_{i,j}$ is the Kronecker's delta. The memoryless deterministic tourist walk in the random map leads to a non-trivial cycle distribution ($S_{0,rm}^{(N)}(p) propto p^{-1}$), which is obtained from $S_{0,rm}^{(N)}(t,p) = Gamma(N)/{Gamma[N+1-(t+p)]N^{t+p}}$, where we stress that the number of explored points $n_e=t+p$ is the fundamental quantity in the considered problems.

Considere um meio desordenado constituído por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente de maneira uniforme e independente nas arestas unitárias de um hipercubo $d$-dimensional. As probabilidades de vizinhança entre os pares de pontos deste meio são expressas através da fórmula de Cox. Um caminhante parte de um dado ponto deste meio desordenado e se movimenta obedecendo à regra determinista de ir para o ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $\\mu$ passos. Este processo foi denominado de caminhada determinista do turista. Cada trajetória gerada por esta dinâmica possui uma parte inicial não-periódica de $t$ passos (transiente) e uma parte final periódica de $p$ passos (atrator). Neste trabalho, obtemos analiticamente algumas distribuições estatísticas para a caminhada determinista do turista com memória $\\mu$ arbitrária em sistemas unidimensionais e com memória $\\mu=2$ no modelo Random Link (que corresponde ao limite $d ightarrow 1$). Estes resultados nos permitiram compreender o papel da memória no comportamento exploratório do turista e explicar a equivalência não-trivial entre o modelo Random Link e o modelo Random Map (que é um caso limite das redes de Kauffman). Enfatizamos que o número de pontos explorados pelo turista é a grandeza fundamental nos problemas considerados. As distribuições analíticas obtidas foram validadas através de experimentos numéricos. Também obtivemos uma dedução alternativa para a fórmula de Cox, apresentando os resultados finais em termos de distribuições estatísticas elementares. / Consider a medium characterized by $N$ points whose coordinates are randomly and independently generated by a uniform distribution along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. The neighborhood probabilities between any pair of points in this medium are given by the Cox formula. A walker leaves from each point of this disordered medium and moves according to the deterministic rule to go the nearest point which has not been visited in the preceding $\\mu$ steps. This process has been called the deterministic tourist walk. Each trajectory generated by this dynamics has an initial non-periodic part of $t$ steps (transient) and a final periodic part of $p$ steps (attractor). In this work, we obtain analytically some statistical distributions for the deterministic tourist walk with arbitrary memory $\\mu$ in one-dimensional systems and with memory $\\mu=2$ in the random link model (which corresponds to $d ightarrow 1$ limit). These results enable us to understand the main role played by the memory on the tourist\'s exploratory behavior and explain the non-trivial equivalence between the random link model and the random map model (which is a limiting case of the Kauffman model). We stress that the number of explored points is the fundamental quantity in the considered problems. The obtained distributions have been validated by numerical experiments. We also obtain an alternative derivation for the Cox formula, writing the final results in terms of known statistical distributions.