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Nous proposons dans ce mémoire de thèse une méthodologie permettant la résolution du problème de la décomposition de Hodge-Helmholtz discrète sur maillages polyédriques. Le défi de ce travail consiste à respecter les propriétés de la décomposition au niveau discret. Pour répondre à cet objectif, nous menons une étude bibliographique nous permettant d'identifier la nécessité de la mise en oeuvre de schémas numériques mimétiques. La description ainsi que la validation de la mise en oeuvre de ces schémas sont présentées dans ce mémoire. Nous revisitons et améliorons les méthodes de décomposition que nous étudions ensuite au travers d'expériences numériques. En particulier, nous détaillons le choix d'un solveur linéaire ainsi que la convergence des quantités extraites sur un ensemble varié de maillages polyédriques et de conditions aux limites. Nous appliquons finalement la décomposition de Hodge-Helmholtz à l'étude de deux écoulements turbulents : un écoulement en canal plan et un écoulement turbulent homogène isotrope. / We propose in this thesis a methodology to compute the Helmholtz-Hodge decomposition on discrete polyhedral meshes. The challenge of this work isto preserve the properties of the decomposition at the discrete level. In our literature survey, we have identified the need of mimetic schemes to achieve our goal. The description and validation of our implementation of these schemes are presented inthis document. We revisit and improve the methods of decomposition we then study through numerical experiments. In particular, we detail our choice of linear solvers and the convergence of extracted quantities on various series of polyhedral meshes and boundary conditions. Finally, we apply the Helmholtz-Hodge decomposition to the study of two turbulent flows: a turbulent channel flow and a homogeneous isotropic turbulent flow.

Actuellement, il est largement reconnu que la décision des cellules souches de maintenir leur caractère souche ou se différencier vers une lignée spécialisée dépend particulièrement de la nature de leur microenvironnement, appelé niche cellulaire. Une des composantes essentielles de cette niche cellulaire est la matrice extracellulaire (MEC), qui au-delà de sa fonction de support cellulaire, détermine le devenir des cellules souches en fonction de sa composition biochimique, sa structure et sa localisation. D’un point de vue rationnel, un biomatériau destiné à remplacer la fonction d’un tissu endommagé doit non seulement jouer le rôle d’échafaudage cellulaire mais également mimer les propriétés de la MEC dans son ensemble. Malheureusement, il est extrêmement difficile de concevoir des biomatériaux mimétiques de la MEC naturelle tenant compte de sa complexité structurelle et fonctionnelle. Pour pallier à cette problématique, il semble nécessaire d’effectuer un travail en amont de déconstruction/reconstruction de la complexité de la MEC en étudiant l’effet individuel puis combiné de ses propriétés sur la différenciation des cellules souches. Ce projet de doctorat rentre dans le cadre de ce travail et vise à déterminer le rôle spécifique ou concomitant de différentes propriétés inhérentes à la MEC sur la différenciation ostéoblastique des cellules souches mésenchymateuses humaines (hCSMs). En effet, nous avons évalué l’effet de la composition biochimique de la MEC et la distribution spatiale des ligands sur la différenciation des hCSMs, en fonctionnalisant la surface d’un matériau modèle avec les peptides RGD et/ou BMP-2, distribués d’une manière aléatoire ou structurée. / Actually, it is well-established that maintaining the stemness character of stem cells or eliciting their lineage-specific differentiation is closely related to the nature of their microenvironment, known as stem cell niche. The extracellular matrix (ECM), a key component of stem cell niche, not only provides a support function for stem cells but also dictates their fate decision. From a rational point of view, a biomaterial intended to replace a damaged tissue should mimic the natural ECM in all its aspects, including its biochemistry, 3D structure, topography, porosity, rigidity…. etc. Unfortunately, the design of biomaterials that fully mimic the natural ECM is still a big challenge, due to its high structural and functional complexity. Towards the development of finely-tuned biomaterials, it seems important to start by deconstructing and then reconstructing the complexity of the ECM. In this context, the thesis project, herein, seeks to evaluate both the individual and the synergistic effect of different properties inherent to the natural ECM on human mesenchymal stem cells (hMSCs) osteogenic differentiation. Indeed, we investigated whether the biochemical composition of the ECM and the spatial distribution of its components modulate hMSCs osteogenesis. This was achieved by creating different artificial ECMs, in vitro, containing RGD and/or BMP-2 mimetic peptides, distributed randomly or as specific micropatterns on the surface of a model material.