Cette thèse est consacrée à l'étude de modèles de Lévy exponentiels en finance, et en particulier : 1. aux propriétés de continuité de prix d'options en fonction des paramètres de processus de Lévy, 2. à la préservation de la propriété de Lévy lors du passage à une mesure martingale de f-divergence minimale, 3. à l'étude de modèles de type change-point, obtenus par recollement à un instant aléatoire de deux exponentielles de processus de Lévy. Pour l'étude de la continuité, on obtient d'abord des résultats de convergence pour les processus de Lévy sous les mesures martingales et on en déduit par la factorisation de Wiener-Hopf la convergence de nombreux prix d'options. On donne ensuite des résultats de continuité de prix sous différentes mesures martingales minimisant des f-divergences. Il a été remarqué que la préservation de la propriété de Lévy a lieu pour toute f-divergence dont la dérivée seconde est une fonction puissante. On montre que sous certaines conditions sur les paramètres des processus de Lévy, la préservation n'a lieu que pour des f-divergences classiques. La dualité entre maximisation d'utilité et minimisation de f-divergence nous permet alors d'obtenir une formule générale pour certaines stratégies optimales. Pour les modèles de type change-point, on décrit la forme des mesures martingales de f-divergence minimale en explicitant le lien avec les mesures minimales associés aux deux processus de Lévy sous-jacents. On donne également la forme de stratégies optimales liées à la maximisation d'utilité.

Cette thèse porte sur le problème d'évaluation d'options dans les modèles basés sur les processus de Lévy. Nous établissons le lien entre les prix d'options dans ces modèles et des équations intégro-différentielles (EID). Ce lien nous permet de construire des méthodes numériques efficaces d'évaluation d'options. Nous étudions d'abord la régularité des prix des options européennes (standards ou avec barrières). En particulier, nous mettons en évidence à travers plusieurs exemples l'absence possible de cette régularité. Dans ce cas, les prix d'options doivent être considérés comme des solutions généralisées des EID. Plus précisément, nous montrons que les prix des options européennes, avec ou sans barrières, sont des solutions de viscosité des problèmes intégro-différentiels correspondants. Nous proposons ensuite deux schémas semi-implicites aux différences finies pour la résolution numérique des EID. Nous étudions leurs consistance, stabilité et convergence vers la solution de viscosité de l'équation. Nous proposons également des estimations de la vitesse de cette convergence. Enfin, la dernière partie de la thèse est consacrée aux tests numériques des méthodes proposées et la comparaison de l'efficacité des deux schémas.

Cette thèse porte sur le problème d'évaluation d'options dans les<br />modèles basés sur les processus de Lévy. Nous établissons le lien entre les prix d'options dans ces modèles et des équations<br />intégro-différentielles (EID). Ce lien nous permet de construire<br />des méthodes numériques efficaces d'évaluation d'options.<br /><br /> Nous étudions d'abord la régularité des prix des options<br />européennes (standards ou avec barrières). En particulier, nous<br />mettons en évidence à travers plusieurs exemples l'absence possible de cette régularité. Dans ce cas, les prix d'options doivent être considérés comme des solutions généralisées des EID. Plus précisément, nous montrons que les prix des options européennes, avec ou sans barrières, sont des solutions de viscosité des problèmes intégro-différentiels correspondants.<br /><br />Nous proposons ensuite deux schémas semi-implicites aux différences finies pour la résolution numérique des EID. Nous étudions leurs consistance, stabilité et convergence vers la solution de viscosité de l'équation. Nous proposons également des estimations de la vitesse de cette convergence.<br /><br />Enfin, la dernière partie de la thèse est consacrée aux tests<br />numériques des méthodes proposées et la comparaison de l'efficacité des deux schémas.