Thesis (Master)--İzmir Institute of Technology, İzmir, 2005 / Keywords:Supplemented modules, cofinitely supplemented modules, cofinitely amply supplemented modules, cofinitely amply weakly supplemented modules. Includes bibliographical references (leaves 23).

Thesis (Ph. D.)--University of Wisconsin--Madison, 1968. / Typescript. Vita. eContent provider-neutral record in process. Description based on print version record. Includes bibliographical references.

This dissertation investigates the interplay between properties of Ext modules and ascent of module structures along ring homomorphisms. First, we consider a flat local ring homomorphism ϕ: (R, [special characters omitted], k) → (S, [special characters omitted]S, k). We show that if M is a finitely generated R-module such that [special characters omitted](S, M) satisfies NAK (e.g. if [special characters omitted](S, M) is finitely generated over S) for i = 1,…, dimR( M), then [special characters omitted](S, M) = 0 for all i ≠ 0 and M has an S-module structure via ϕ. We also provide explicit computations of [special characters omitted](S, M) to indicate how large it can be when M does not have a compatible S-module structure. Next, we consider the properties of an R-module M that has a compatible S-module structure via the flat local ring homomorphism ϕ. Our results in this direction show that M cannot see the difference between the rings R and S. Specifically, many homological invariants of M are the same when computed over R and over S. Finally, we investigate these ideas in the non-local setting. We consider a faithfully flat ring homomorphism ϕ: R → S such that for all [special characters omitted] ∈ m-Spec R, the map R/[special characters omitted] → S/[special characters omitted]S is an isomorphism and the induced map ϕ*: Spec( S) → Spec(R) is such that ϕ*(m-Spec( S)) ⊆ m-Spec(R), and show that if M is a finitely generated R-module such that [special characters omitted](S, M) satisfies NAK for i = 1,…,dim R(M), then M has an S-module structure via ϕ, and obtain the same Ext vanishing as in the local case.

Η διπλωματική εργασία κινείται γύρω από το θεώρημα Quillen-Suslin (1976): “Κάθε πεπερασμένα γενόμενο προβολικό module επί του δακτυλίου των πολυωνύμων k[x_1,…,x_m ] (όπου k σώμα) είναι ελεύθερο”. Το πρόβλημα ξεκίνησε το 1955, όταν ο J. P. Serre, σε υποσημείωση της ένδοξης εργασίας του “Faisceaux Algebriques Coherents” (σελίδα 243), σημειώνει: “ On ignore s’il existe des A-modules projectifs de type fini qui ne soient pas libres” (A=k[x_1,…x_m ], k σώμα).* Το πρόβλημα λύθηκε από τους Quillen και Suslin (ανεξάρτητα) είκοσι χρόνια μετά. Για την απόδειξη του θεωρήματος είναι απαραίτητο το αποτέλεσμα που οφείλεται στον ίδιο τον Serre (1958): “ Κάθε πεπερασμένα γενόμενο προβολικό k[x_1,…,x_m ]-module P είναι σταθερά ελεύθερο” (δηλαδή το P δέχεται πεπερασμένα γενόμενο ελεύθερο συμπλήρωμα F, ώστε το P⊕F να είναι ελεύθερο). Στo Κεφάλαιο 2 αυτής της εργασίας, θα παρουσιάσουμε την απόδειξη του ανωτέρω θεωρήματος του Serre και τελικά, στο Κεφάλαιο 3, θα σκιαγραφήσουμε την απόδειξη του θεωρήματος Quillen-Suslin, με τη μέθοδο του Suslin. *Αγνοούμε αν υπάρχουν πεπερασμένα γενόμενα προβολικά A-modules που δεν είναι ελεύθερα. / This work is about the Quillen-Suslin Theorem (1976): “If k is a field , then every finitely generated projective k[x_1,…,x_m ]-module is free”. This problem started in 1955, when J.P. Serre, in his glorious paper “FaisceauxAlgebriquesCoherents” (page 243), noted: “On ignore s’ilexiste des A-modules projectifs de type fini qui ne soient pas libres ” (A=k[x_1,…x_m ],k is field).* This problem was solved from Quillen and Suslin (independently) twenty years after. For the proof of this theorem is necessary the result, due to Serre (1958): “Every finitely generated projective k[x_1,…,x_m ]-module P is stably free ” (ie. P admits a finitely generated free complement F, so that P⊕F is free). In Chapter 2 of this work, we will represent the proof of the above Serre’s Theorem and, finally, in Chapter 3, we will sketch the proof of Quillen-Suslin's Theorem, with Suslin’s method. *We ignore, if exist finitely generated projective A-modules, that they are not free.

Thesis (M.S.)--Rochester Institute of Technology, 1994. / Typescript. Includes bibliographical references (leaves 95-96).

Thesis (M.S.)--Virginia Polytechnic Institute and State University, 1994. / Vita. Abstract. Includes bibliographical references (leaves 57-58). Also available via the Internet.

On introduit une famille de modules, appelés modules de Marlcoff, engendrée par un procédé itératif semblable à la mutation des objects inclinants dans une catégorie amassée. On montre que ces modules ont une structure combinatoire similaire à celle des mots de Christoffel. En outre, on construit une bijection entre l'ensemble des triplets de modules de Markoff et l'ensemble des triplets de Markoff propres. Ceci nous permet de reformuler la conjecture d'unicité des nombres de Markoff dans un cadre algébrique. Dans la deuxième partie, on étudie les dimensions projectives de la restriction des foncteurs [Special characters omitted.] HomC (-, X ) à une sous-catégorie contravariantement finie et rigide d'une catégorie triangulée [Special characters omitted.] C . On montre que la dimension projective de [Special characters omitted.] HomC (-, X )[Special characters omitted.] T est au plus un si et seulement si il n'existe aucun morphisme non nul entre objets de [Special characters omitted.] T [1] qui se factorise par X , lorsque X appartient à une certaine sous-catégorie convenable de [Special characters omitted.] C . Par conséquent, on obtient une caractérisation des objets de dimension projective infinie dans la catégorie des foncteurs contravariants de présentation finie sur une sous-catégorie inclinante amassée de [Special characters omitted.] C . [symboles non conformes]

This thesis discusses groups, modules, the module of homomorphisms, and extension of modules.

Le contexte de cette thèse est le problème inverse de la théorie de Galois et en particulier son approche moderne qui consiste à trouver des points rationnels sur des espaces de modules de G-revêtements. Nous nous intéressons plus précisément aux composantes irréductibles des espaces de Hurwitz et à leurs corps de définition. Nos résultats permettent de construire, quel que soit le groupe fini, de telles composantes définies sur Q. Notre méthode laisse de plus une grande latitude quant au type de ramification des revêtement. Ces composantes sont obtenues par déformation de certains revêtements du bord des espaces de modules. Enfin, ces composantes sont aussi compatibles dans une tour d'espaces de Hurwitz ; nous obtenons des systèmes projectifs de composantes de la tour modulaire définis sur Q. / The context of this thesis is the inverse Galois problem and in particular modern approach of finding rational points on moduli spaces of G-covers. We focus more precisely the components irrédutibles Hurwitz spaces and their field of definition. For any finite group, we can construct such components defined on Q. Our method allows one more flexibility in the type of ramification of the cover. These components are obtained by deformation of certain covers in the border of the moduli spaces. Finally, these components are also compatible in a tower of Hurwitz spaces, we obtain projective systems of components of the modular tower defined on Q.

Le travail est constitué de deux chapitres qui ne sont pas liés entre eux. Dans le premier chapitre nous proposons une minoration de la hauteur canonique pour une certaine classe de modules de Drinfeld à caractéristique 0 exprimée en fonction de la dimension sur le corps de définition de ce module, des points algébriques (dans une opportune cloture algébrique) qui ne sont pas de torsion, en dévéloppant ainsi une étude du problème de Lehmer au cas des modules de Drinfeld. Dans le deuxième chapitre nous proposons une stratégie d’attaque à la conjecture de Manin-Mumford au cas des T-modules abéliens et uniformisables basée sur la méthode introduite par J. Pila et U.Zannier au cas des variétés abéliennes définies sur un corps de nombres. Nous proposons en particulier un premier pas dans une telle direction qui consiste à reprendre les travaux de J. Pila et J. Wilkie pour parvenir à une majoration du nombre des points de torsion d’un T-module qui respecte nos hypothèses, et qui puisse constituer un fondament essentiel au dévéloppement de cette méthode comme dans le cas classique. / We divide this work in two different chapters having no relation between them. In the first chapter we propose a lower bound estimate of the canonical height on a certain family of Drinfeld modules having characteristic 0, depending by the dimension of these Drinfeld module algebraic points on the base function field (into a well-chosen algebraic closure). This will take us to deeply analyze the Lehmer problem on Drinfeld modules. In the second chapter we propose a strategy to approach the Manin-Mumford conjecture on uniformizable abelian T-modules, based on the new techniques introduced by J. Pila and U. Zannier for abelian varieties defined on a number field. We propose in particular a first step in such a direction by a new interpretation of the J. Pila and J. Wilkie’s work in order to obtain an higher bound estimate on the number of torsion points of a such T-module. This would be an important basis to a future development of this method, as in the classic case.