Cost automata are traditional finite state automata enriched with a finite set of counters that can be manipulated on each transition. Based on the evolution of counter values, a cost automaton defines a function from the set of structures under consideration to the natural numbers extended with infinity, modulo a boundedness relation that ignores exact values but preserves boundedness properties. Historically, variants of cost automata have been used to solve problems in language theory such as the star height problem. They also have a rich theory in their own right as part of the theory of regular cost functions, which was introduced by Colcombet as an extension to the theory of regular languages. It subsumes the classical theory since a language can be associated with the function that maps every structure in the language to 0 and everything else to infinity; it is a strict extension since cost functions can count some behaviour within the input. Regular cost functions have been previously studied over finite words and trees. This thesis extends the theory to infinite trees, where classical parity automata are enriched with a finite set of counters. Weak cost automata, which have priorities {0,1} or {1,2} and an additional restriction on the structure of the transition function, are shown to be equivalent to a weak cost monadic logic. A new notion of quasi-weak cost automata is also studied and shown to arise naturally in this cost setting. Moreover, a decision procedure is given to determine whether or not functions definable using weak or quasi-weak cost automata are equivalent up to the boundedness relation, which also proves the decidability of the weak cost monadic logic over infinite trees. The semantics of these cost automata over infinite trees are defined in terms of cost-parity games which are two-player infinite games where one player seeks to minimize the counter values and satisfy the parity condition, and the other player seeks to maximize the counter values or sabotage the parity condition. The main contributions and key technical results involve proving that certain cost-parity games admit positional or finite-memory strategies. These results also help settle the decidability of some special cases of long-standing open problems in the classical theory. In particular, it is shown that it is decidable whether a regular language of infinite trees is recognizable using a nondeterministic co-Büchi automaton. Likewise, given a Büchi or co-Büchi automaton as input, it is decidable whether or not there is a weak automaton recognizing the same language.

Les automates distribués sont des machines à états finis qui opèrent sur des graphes orientés finis. Fonctionnant comme des algorithmes distribués synchrones, ils utilisent leur graphe d'entrée comme un réseau dans lequel des processeurs identiques communiquent entre eux pendant un certain nombre (éventuellement infini) de rondes synchrones. Pour la variante locale de ces automates, où le nombre de rondes est borné par une constante, Hella et al. (2012, 2015) ont établi une caractérisation logique par des formules de la logique modale de base. Dans le cadre de cette thèse, nous présentons des caractérisations logiques similaires pour deux classes d'automates distribués plus expressives.La première classe étend les automates locaux avec une condition d'acceptation globale et la capacité d'alterner entre des modes de calcul non-déterministes et parallèles. Nous montrons qu'elle est équivalente à la logique monadique du second ordre sur les graphes.En nous restreignant à des transitions non-déterministes ou déterministes, nous obtenons également deux variantes d'automates strictement plus faibles pour lesquelles le problème du vide est décidable.Notre seconde classe adapte la notion standard d'algorithme asynchrone au cadre des automates distribués non-locaux. Les machines résultantes sont prouvées équivalentes à un petit fragment de la logique de point fixe, et plus précisément, à une variante restreinte du μ-calcul modal qui autorise les plus petits points fixes mais interdit les plus grands points fixes. Profitant du lien avec la logique, nous montrons aussi que la puissance expressive de ces automates asynchrones est indépendante du fait que des messages puissent être perdus ou non.Nous étudions ensuite la décidabilité du problème du vide pour plusieurs classes d'automates non-locaux. Nous montrons que le problème est indécidable en général, en simulant une machine de Turing par un automate distribué qui échange les rôles de l'espace et du temps. En revanche, le problème s'avère décidable en LOGSPACE pour une classe d'automates oublieux, où les nœuds voient les messages reçus de leurs voisins, mais ne se souviennent pas de leur propre état. Finalement, à titre de contribution mineure, nous donnons également de nouvelles preuves de séparation pour plusieurs hiérarchies d'alternance de quantificateurs basées sur la logique modale. / Distributed automata are finite-state machines that operate on finitedirected graphs. Acting as synchronous distributed algorithms, they use their input graph as a network in which identical processors communicate for a possibly infinite number of synchronous rounds. For the local variant of those automata, where the number of rounds is bounded by a constant, Hella et al. (2012, 2015) have established a logical characterization in terms of basic modal logic. In this thesis, we provide similar logical characterizations for two more expressive classes of distributed automata.The first class extends local automata with a global acceptance condition and the ability to alternate between non deterministic and parallel computations. We show that it is equivalent to monadic second-order logic on graphs. By restricting transitions to be non deterministic or deterministic, we also obtain two strictly weaker variants for which the emptiness problem is decidable.Our second class transfers the standard notion of asynchronous algorithm to the setting of non local distributed automata. There sulting machines are shown to be equivalent to a small fragment of least fixpoint logic, and more specifically, to a restricted variantof the modal μ -calculus that allows least fixpoints but forbids greatest fixpoints. Exploiting the connection with logic, we additionally prove that the expressive power of those asynchronous automata is independent of whether or not messages can be lost.We then investigate the decidability of the emptiness problem forseveral classes of nonlocal automata. We show that the problem isundecidable in general, by simulating a Turing machine with adistributed automaton that exchanges the roles of space and time. Onthe other hand, the problem is found to be decidable in logspace for a class of forgetful automata, where the nodes see the messages received from their neighbors but cannot remember their own state. As a minor contribution, we also give new proofs of the strictness of several set quantifier alternation hierarchies that are based on modallogic.

Cette thèse se concentre autour du problème de l'évaluation des requêtes. Étant donné une requête q et une base de données D, l'objectif est de calculer l'ensemble q(D) des nuplets résultant de l'évaluation de q sur D. Toutefois, l'ensemble q(D) peut être plus grand que la base de données elle-même car elle peut avoir une taille de la forme n^l où n est la taille de la base de données et l est l'arité de la requête. Calculer entièrement q(D) peut donc nécessiter plus que les ressources disponibles. L'objectif principal de cette thèse est une solution particulière à ce problème: une énumération de q(D) avec un délai constant. Intuitivement, cela signifie qu'il existe un algorithme avec deux phases: une phase de pré-traitement qui fonctionne en temps linéaire dans la taille de la base de données, suivie d'une phase d'énumération produisant un à un tous les éléments de q(D) avec un délai constant (indépendant de la taille de la base de données) entre deux éléments consécutifs. En outre, quatre autres problèmes sont considérés: le model-checking (où la requête q est un booléen), le comptage (où on veut calculer la taille |q(D)|), les tests (où on s'intéresse à un test efficace pour savoir si un uplet donné appartient au résultat de la requête) et la j-ième solution (où on veut accéder directement au j-ième élément de q(D)). Les résultats présentés dans cette thèse portent sur les problèmes ci-dessus concernant: - les requêtes du premier ordre sur les classes de structures de degré borné, - les requêtes du second ordre monadique sur les classes de structures de largeur d'arborescente bornée, - les requêtes du premier ordre sur les classes de structures avec expansion bornée.

Dans cette thèse, nous étudions diverses largeurs de graphes autour de la largeur arborescente ainsi que de la largeur de clique. Nous commençons avec une étude comparative entre la largeur arborescente d’un graphe et la largeur de clique du graphe d’incidence associé, de laquelle nous extrayons des résultats algorithmiques encourageants. Puis nous présentons quelques propriétés structurelles liées à la largeur arborescente spéciale, largeur relativement récente qui est à mi-chemin entre les deux largeurs précédentes. Enfin nous nous intéressons à une notion plus générale connue sous le nom de fonction de partition sous-modulaire qui englobe, entre autres, les largeurs arborescentes « classique » et spéciale, la largeur de chemin ainsi que la largeur linéaire et les largeurs de branches de coupe et de découpe. Nous présentons alors un algorithme linéaire à paramètre fixé pour le calcul de ces différentes largeurs, lequel généralise un certain nombre de résultats propres à chacune de ces largeurs. / In this thesis, we study some width parameters on graphs, beyond tree-width and clique-width. Our first investigation is a comparative study between the tree-width of a graph and the clique-width of the associated incidence graph, from which we extract some strong algorithmic results. Then we present a few structural properties over a recently defined width called special tree-width and which takes its definition through both tree-width and clique-width. Finally, we end our journey with a more general notion named sub-modular partition fonction and which encompass both “classic” and special tree-widths, path-width, branch-width, linear-width, cut-width and carvingwidth among others. So, we introduce a fixed parameter tractable algorithm computing those widths parameters and thus we generalize a number of results specific to each of them.

Cette thèse développe des techniques à base d'automates pour la vérification formelle de systèmes physiquement distribués communiquant via des canaux fiables de tailles non bornées. Chaque machine peut exécuter localement plusieurs programmes récursifs (multi-threading). Un programme récursif peut également utiliser pour ses calculs locaux des structures de données non bornées, comme des files ou des piles. Ces systèmes, utilisés en pratique, sont si puissants que tous leurs problèmes de vérification deviennent indécidables. Nous introduisons et étudions un nouveau paramètre, appelé largeur de coupe (split-width), pour l'analyse de ces systèmes. Cette largeur de coupe est définie comme le nombre minimum de scissions nécessaires pour partitioner le graphe d'une exécution en parties sur lesquelles on pourra raisonner de manière indépendante. L'analyse est ainsi réalisée avec une approche diviser pour régner. Lorsqu'on se restreint à la classe des comportements ayant une largeur de coupe bornée par une constante, on obtient des procédures de décision optimales pour divers problèmes de vérification sur ces systèmes tels que l'accessibilité, l'inclusion, etc. ainsi que pour la satisfaisabilité et le model checking par rapport à divers formalismes comme la logique monadique du second ordre, la logique dynamique propositionnelle et des logiques temporelles. On montre aussi que les comportements d'un système ont une largeur de coupe bornée si et seulement si ils ont une largeur de clique bornée. Ainsi, grâce aux résultats de Courcelle sur les graphes de degré uniformément borné, la largeur de coupe est non seulement suffisante, mais aussi nécessaire pour obtenir la décidabilité du problème de satisfaisabilité d'une formule de la logique monadique du second ordre. Nous étudions ensuite l'existence de contrôleurs distribués génériques pour nos systèmes distribués. Nous proposons plusieurs contrôleurs, certains ayant un nombre fini d'états et d'autres étant déterministes, qui assurent que les comportements du système sont des graphes ayant une largeur de coupe bornée. Un système ainsi contrôlé de manière distribuée hérite des procédures de décision optimales pour les différents problèmes de vérification lorsque la largeur de coupe est bornée. Cette classe décidable de système généralise plusieurs sous-classes décidables étudiées précédemment. / This thesis investigates automata-theoretic techniques for the verification of physically distributed machines communicating via unbounded reliable channels. Each of these machines may run several recursive programs (multi-threading). A recursive program may also use several unbounded stack and queue data-structures for its local-computation needs. Such real-world systems are so powerful that all verification problems become undecidable. We introduce and study a new parameter called split-width for the under-approximate analysis of such systems. Split-width is the minimum number of splits required in the behaviour graphs to obtain disjoint parts which can be reasoned about independently. Thus it provides a divide-and-conquer approach for their analysis. With the parameter split-width, we obtain optimal decision procedures for various verification problems on these systems like reachability, inclusion, etc. and also for satisfiability and model checking against various logical formalisms such as monadic second-order logic, propositional dynamic logic and temporal logics. It is shown that behaviours of a system have bounded split-width if and only if they have bounded clique-width. Thus, by Courcelle's results on uniformly bounded-degree graphs, split-width is not only sufficient but also necessary to get decidability for MSO satisfiability checking. We then study the feasibility of distributed controllers for our generic distributed systems. We propose several controllers, some finite state and some deterministic, which ensure that the behaviours of the system have bounded split-width. Such a distributedly controlled system yields decidability for the various verification problems by inheriting the optimal decision procedures for split-width. These also extend or complement many known decidable subclasses of systems studied previously.

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In its many guises and variations, propositional dynamic logic (PDL) plays an important role in various areas of computer science such as databases, artificial intelligence, and computer linguistics. One relevant and powerful variation is ICPDL, the extension of PDL with intersection and converse. Although ICPDL has several interesting applications, its computational properties have never been investigated. In this paper, we prove that ICPDL is decidable by developing a translation to the monadic second order logic of infinite trees. Our result has applications in information logic, description logic, and epistemic logic. In particular, we solve a long-standing open problem in information logic. Another virtue of our approach is that it provides a decidability proof that is more transparent than existing ones for PDL with intersection (but without converse).

Dans la première partie de ce manuscrit nous étudions les fonctions rationnelles, c'est-à-dire définies par des transducteurs unidirectionnels. Notre objectif est d'étendre aux transductions les nombreuses correspondances logique-algèbre qui ont été établies concernant les langages, notamment le célèbre théorème de Schützenberger-McNaughton-Papert. Dans le cadre des fonctions rationnelles sur les mots finis, nous obtenons une caractérisation à la Myhill-Nerode en termes de congruences d'indice fini. Cette caractérisation nous permet d'obtenir un résultat de transfert, à partir d'équivalences logique-algèbre pour les langages vers des équivalences pour les transductions. En particulier nous montrons comment décider si une fonction rationnelle est définissable en logique du premier ordre. Sur les mots infinis, nous pouvons également décider la définissabilité en logique du premier ordre, mais avec des résultats moins généraux.Dans la seconde partie nous introduisons une logique pour les transductions et nous résolvons le problème de synthèse régulière : étant donnée une formule de la logique, peut-on obtenir un transducteur bidirectionnel déterministe satisfaisant la formule ? Les fonctions réalisées par des transducteurs bidirectionnels déterministes sont caractérisés par plusieurs modèles différents, y compris par les transducteurs MSO, et ont ainsi été nommées transductions régulières. Plus précisément nous fournissons un algorithme qui produit toujours une fonction régulière satisfaisant une spécification donnée en entrée.Nous exposons également un lien intéressant entre les transductions et les mots avec données. Par conséquent nous obtenons une logique expressive pour les mots avec données, pour laquelle le problème de satisfiabilité est décidable. / In the first part of this manuscript we focus on the study of rational functions, functions defined by one-way transducers.Our goal is to extend to transductions the many logic-algebra correspondences that have been established for languages, such as the celebrated Schützenberger-McNaughton-Papert Theorem. In the case of rational functions over finite words, we obtain a Myhill-Nerode-like characterization in terms of congruences of finite index. This characterization allows us to obtain a transfer result from logic-algebra equivalences for languages to logic-algebra equivalences for transductions. In particular, we show that one can decide if a rational function can be defined in first-order logic.Over infinite words, we obtain weaker results but are still able to decide first-order definability.In the second part we introduce a logic for transductions and solve the regular synthesis problem: given a formula in the logic, can we obtain a two-way deterministic transducer satisfying the formula?More precisely, we give an algorithm that always produces a regular function satisfying a given specification.We also exhibit an interesting link between transductions and words with ordered data. Thus we obtain as a side result an expressive logic for data words with decidable satisfiability.

Recently, multi-priced timed automata have received much attention for real-time systems. These automata extend priced timed automata by featuring several price parameters. This permits to compute objectives like the optimal ratio between rewards and costs. Arising from the model of timed automata, the multi-weighted setting has also attracted much notice for classical nondeterministic automata. The present thesis develops multi-weighted MSO-logics on finite, infinite and timed words which are expressively equivalent to multi-weighted automata, and studies decision problems for them. In addition, a Nivat-like theorem for weighted timed automata is proved; this theorem establishes a connection between quantitative and qualitative behaviors of timed automata. Moreover, a logical characterization of timed pushdown automata is given.

This thesis investigates automata-theoretic techniques for the verification of physically distributed machines communicating via unbounded reliable channels. Each of these machines may run several recursive programs (multi-threading). A recursive program may also use several unbounded stack and queue data-structures for its local-computation needs. Such real-world systems are so powerful that all verification problems become undecidable. We introduce and study a new parameter called split-width for the under-approximate analysis of such systems. Split-width is the minimum number of splits required in the behaviour graphs to obtain disjoint parts which can be reasoned about independently. Thus it provides a divide-and-conquer approach for their analysis. With the parameter split-width, we obtain optimal decision procedures for various verification problems on these systems like reachability, inclusion, etc. and also for satisfiability and model checking against various logical formalisms such as monadic second-order logic, propositional dynamic logic and temporal logics. It is shown that behaviours of a system have bounded split-width if and only if they have bounded clique-width. Thus, by Courcelle's results on uniformly bounded-degree graphs, split-width is not only sufficient but also necessary to get decidability for MSO satisfiability checking. We then study the feasibility of distributed controllers for our generic distributed systems. We propose several controllers, some finite state and some deterministic, which ensure that the behaviours of the system have bounded split-width. Such a distributedly controlled system yields decidability for the various verification problems by inheriting the optimal decision procedures for split-width. These also extend or complement many known decidable subclasses of systems studied previously.