Cette thèse est consacrée à définir et étudier des invariants motiviques associés aux ensembles semi-algébriques dans les corps valués. Ceux-ci sont les combinaisons booléennes d'ensembles définis par des inégalités valuatives. L'outil principal que nous utilisons est l'intégration motivique, une forme de théorie de la mesure à valeurs dans le groupe de Grothendieck des variétés définies sur le corps résiduel. Dans une première partie, on définit la notion de densité locale motivique. C'est un analogue valuatif du nombre de Lelong complexe, de la densité réelle de Kurdyka-Raby et de la densité p-adique de Cluckers-Comte-Loeser. C'est un invariant métrique à valeurs dans un localisé du groupe de Grothendieck des variétés. Notre résultat principal est que cet invariant se calcule sur le cône tangent muni de multiplicités motiviques. On établit un analogue de la formule de Cauchy-Crofton locale. On montre enfin que dans le cas d'une courbe plane, la densité motivique est égale à la somme des inverses des multiplicités des branches. L'objet de la seconde partie est de définir un morphisme d'anneau du groupe de Grothendieck des ensembles semi-algébriques sur un corps valué K vers le groupe de Grothendieck de la catégorie d'Ayoub des motifs rigides analytiques sur K. On montre qu'il étend le morphisme qui envoie la classe d'une variété algébrique sur la classe de son motif cohomologique à support compact. Cela fournit donc une notion virtuelle de motif cohomologique à support compact pour les variétés rigides analytiques. On montre également un théorème de dualité permettant de comparer le motif cohomologique de la fibre de Milnor analytique avec la fibre de Milnor motivique. / This thesis is devoted to define and study some motivic invariants associated to semialgebraic sets in valued fields. They are boolean combinations of sets defined by valuative inequalities. Our main tool is the theory of motivic integration, which is a kind of measure theory with values in the Grothendieck group of varieties defined over the residue field. In the first part, we define the notion of motivic local density. It is a valuative analog of complex Lelong number, Kurdyka-Raby real density and p-adic density of Cluckers- Comte-Loeser. It is a metric invariant with values in a localization of the Grothendieck group of varieties. Our main result is that it can be computed on the tangent cone with motivic multiplicities. We also establish an analog of the local Cauchy-Crofton formula. We finally show that the density of a germ of plane curve defined over the residue field is equal to the sum of the inverses of the multiplicities of the formal branches of the curve. The goal of the second part is to define a ring morphism from the Grothendieck group of semi-algebraic sets defined over a valued field K to the Grothendieck group of Ayoub’s categoryof rigid analytic motives over K. We show that it extends the morphism sending the class of an algebraic variety to the class of its cohomological motive with compact support. This gives a notion of virtual cohomological motive with compact support for rigid analytic varieties. We also show a duality theorem allowing us to compare the cohomological motive of the analytic Milnor fiber with the motivic Milnor fiber.

Nous nous intéressons à l'étude des singularités réelles à l'aide d'arguments provenant de l'intégration motivique. Une telle démarche a été initiée par S. Koike et A. Parusiński puis poursuivie par G. Fichou. Afin de donner une classification des singularités réelles, T.-C. Kuo a défini la notion d'équivalence blow-analytique. Il s'agit d'une relation d'équivalence pour les germes analytiques réels n'admettant pas de module continu pour les singularités isolées. Cette notion est étroitement liée à la notion d'applications analytiques par arcs définie par K. Kurdyka. Il est donc naturel d'adapter des arguments provenant de l'intégration motivique pour l'étude de l'équivalence blow-analytique. La difficulté réside désormais dans le fait de trouver des méthodes permettant de montrer que deux germes sont équivalents et de construire des invariants permettant de distinguer deux germes qui ne sont pas dans la même classe. Nous travaillons avec une variante plus algébrique de cette notion, l'équivalence blow-Nash introduite par G. Fichou. La première partie de la thèse consiste en un théorème d'inversion donnant des conditions pour que l'inverse d'un homéomorphisme blow-Nash soit encore blow-Nash. L'intérêt d'un tel énoncé est que de telles applications apparaissent dans la définition de l'équivalence blow-Nash. La seconde partie est consacrée à l'étude d'une nouvelle fonction zêta motivique. Il s'agit d'associer à un germe analytique une série formelle. Cette fonction zêta motivique généralise les fonctions zêta de Koike-Parusiński et de Fichou et admet une formule de convolution. Il s'agit d'un invariant pour l'équivalence blow-Nash. / The main purpose of this thesis is to study real singularities using arguments from motivic integration as initiated by S. Koike and A. Parusiński and then continued by G. Fichou. In order to classify real singularities, T.-C. Kuo introduced the blow-analytic equivalence which is an equivalence relation on real analytic germs without moduli for isolated singularities. This notion is closely related to the notion of arc-analytic maps introduced by K. Kurdyka, thus it is natural to adapt arguments from motivic integration to the study of the relation. The difficulty lies in finding efficient ways to prove that two germs are equivalent and in constructing invariants that distinguish germs which are not in the same class. We focus on the blow-Nash equivalence, a more algebraic notion which was introduced by G. Fichou. The first part of this thesis consists in an inverse theorem for blow-Nash maps. Under certain assumptions, this ensures that the inverse of a homeomorphism which is blow-Nash is also blow-Nash. Such maps are involved in the definition of the blow-Nash equivalence. In the second part, we associate a power series to an analytic germ, called the zeta function of the germ. This construction generalizes the zeta functions of Koike-Parusiński and Fichou. Furthermore, it admits a convolution formula while being an invariant for the blow-Nash equivalence.