Submitted by Marcele Costal de Castro (costalcastro@gmail.com) on 2017-12-08T15:15:44Z No. of bitstreams: 0 / Made available in DSpace on 2017-12-08T15:15:44Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 1975-04 / O presente trabalho é um estudo do comportamento da constante de decaimento dos nêutrons prontos, para diversos sistemas multiplicativos, fazendo-se variações do “buckling”, do tipo de combustível e da relação moderador combustível. O moderador usado foi água leve. Os elementos combustíveis foram barras de urânio metálico para os sistemas de geometria cilíndrica e elementos em forma de placas do tipo “Argonauta” (enriquecido e natural) nos sistemas de geometria retangular. Como fonte pulsada de nêutrons utilizou-se o gerador de nêutrons da Texas Nuclear mod. 9905, do Instituto de Engenharia Nuclear. As constantes de decaimento foram obtidas através do ajuste dos dados experimentais, de uma ou duas exponenciais pelo método dos mínimos quadrados. Os sistemas tinham “bucklings” geométricos compreendidos numa faixa de 0,0159 a 1,2522 cm-2 e as constantes de decaimento detidas variaram de 3390 a 34400 s-1. De uma maneira geral, as constantes de decaimento obtidas não se afastaram muito do esperado, e o conjunto de resultados obtidos permitiu uma boa avaliação dos meios estudados.

Submitted by Luiz Felipe Barbosa (luiz.fbabreu2@ufpe.br) on 2015-04-13T14:16:33Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) DISSERTAÇÃO Josenir Rodrigues da Silva.pdf: 3211492 bytes, checksum: 181f53fa51299246712871a9936db9a8 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-04-13T14:16:33Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) DISSERTAÇÃO Josenir Rodrigues da Silva.pdf: 3211492 bytes, checksum: 181f53fa51299246712871a9936db9a8 (MD5) Previous issue date: 2014-02-25 / O presente estudo é voltado para a discussão dos problemas multiplicativos e aborda a relevância da utilização da leitura e da escrita nas aulas de Matemática inseridos na proposta de produção de problemas, a fim de desenvolver o raciocínio envolvido nessa operação e a linguagem matemática presente na mesma. Diante disso, nosso objetivo foi investigar como a produção de problemas multiplicativos por alunos do 4º ano do Ensino Fundamental pode favorecer o avanço da aprendizagem na resolução de problemas envolvendo a multiplicação. Participaram da pesquisa 33 alunos de duas escolas públicas municipais da área metropolitana do Recife e foram realizados um pré-teste, quatro sessões de intervenção utilizando para cada encontro uma atividade envolvendo a produção de problemas multiplicativos, acontecendo momentos de formulação entre pares e trios, em seguida a resolução das situações produzidas ora pelas mesmas duplas e trios, ora ocorrendo trocas das produções entre os pequenos grupos, finalizando com uma sistematização, em cada sessão de intervenção, do que foi realizado e uma avaliação geral das dificuldades e facilidades. No término das sessões foi realizado um pós-teste e um pós-teste posterior após oito semanas do final da realização do pós-teste. No final de cada teste foi solicitada a formulação de problema a partir de uma conta de multiplicação, com a finalidade de observarmos se as sessões contribuiriam para uma melhor qualidade escrita dessas situações. Como nem todos os alunos participaram de todas as sessões de intervenção, para a análise os dividimos em grupos por números de sessões vivenciadas e os resultados apontaram que em todos os grupos houve avanço significativo e, em uma análise estatística entre os grupos, constatamos que a quantidade de sessões não influenciou para um aprendizado diferenciado. Ocorreu ausência de significância entre o estado inicial e final do estudo (pré-teste e pós-teste posterior) e acreditamos que isso aconteceu devido os discentes dos grupos de três e duas sessões terem realizado as atividades da segunda e/ou terceira sessão que mostraram terem sido tarefas de produção mais desafiadoras, por exigirem mais reflexões na construção dos problemas auxiliando assim no processo de aprendizagem. As estratégias utilizadas por eles possibilitaram observar que no pré-teste houve a concentração de formas de resolução não relacionadas ao raciocínio multiplicativo, enquanto nos testes após as intervenções as estratégias que foram mais frequentes corresponderam ao aprendizado da multiplicação tanto parcialmente como por acerto total. Quanto às produções antes e após os encontros interventivos constatamos que o trabalho com produção de problemas contribuiu para um progresso na aprendizagem da resolução e não necessariamente para a produção individual, possivelmente isso aconteceu por não termos alternado as produções ora em pares, ora individualmente, pois apenas a realização em dupla não foi suficiente para superar as dificuldades particulares de cada sujeito. Portanto se faz necessário que as atividades com produção de problemas sejam contínuas em sala de aula com a finalidade dos alunos ampliarem seu aprendizado, mas também perceberem a relação entre a língua materna e a linguagem matemática numa construção permanente em sala de aula.

Made available in DSpace on 2014-06-12T17:20:26Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo3403_1.pdf: 1639009 bytes, checksum: e2f8715384d901d5c20d7431f1f02758 (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2009 / Esta pesquisa apresenta uma análise da abordagem de problemas de estruturas aditivas e multiplicativas em livros didáticos de Matemática do Ensino Fundamental, com o objetivo de observar o impacto das últimas edições do Plano Nacional do Livro Didático (PNLD) no tratamento dos problemas quanto aos significados das operações apresentados e quanto às formas de representação simbólica trabalhadas. Trata-se de uma pesquisa de Mestrado que utilizou como amostra 12 volumes de livros didáticos de Matemática, inclusos nos Guias do PNLD de 2004 e 2007 (3a série) e 2005 e 2008 (5a série). O estudo evidenciou que, quanto à diversidade de tipos de problemas aditivos e multiplicativos trabalhados e quanto às formas de representação simbólica de apresentação dos problemas e sugeridos para uso por parte dos alunos, não houve mudanças entre as edições anteriores e posteriores no terceiro e quinto volumes das coleções analisadas. Quanto aos problemas de estruturas aditivas há predominância dos problemas de mudança e combinação em detrimento às outras categorias de problemas, como os de igualização e comparação e não há uma distribuição equitativa das subcategorias desses tipos de problemas. Não houve também mudanças nos tipos de problemas multiplicativos trabalhados nas quatro edições, mas, quando comparados com os aditivos, apresentam uma melhor distribuição entre as categorias, embora não tenha sido encontrado nenhum problema inverso de produto cartesiano. Quanto às representações simbólicas também sem diferenças nos volumes analisados observa-se o uso de diferentes representações, mas há pouco estímulo ao uso de jogos, da calculadora e de materiais manipulativos, cujas formas de representação podem ser úteis ao desenvolvimento do raciocínio aditivo e multiplicativo de alunos do Ensino Fundamental. Pela análise de documentos, observou-se, portanto, que o PNLD tem estimulado avanços na qualidade de livros didáticos, mas há, ainda, aspectos mais refinados nos quais melhoras se fazem necessárias, de modo a se promover um mais amplo desenvolvimento das estruturas aditivas e multiplicativas entre os alunos

Made available in DSpace on 2016-04-29T14:32:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 dissertacao_isva_maria_barreto.pdf: 1131602 bytes, checksum: b5407d21a22f83e8675e6af818fabe1f (MD5) Previous issue date: 2001-12-10 / Este trabalho tem por objetivo analisar os procedimentos de resolução de problemas verbais multiplicativos elementares mobilizados por uma população de alunos de 5ª série, de uma Escola Estadual da cidade de São Paulo. Nessa análise, buscamos ressaltar o modo como esses procedimentos se expressam, bem como as características das situações-problema sob as quais eles emergem. Em particular, focalizamos a reflexão sobre os procedimentos não canônicos em problemas de quarta- proporcional com números naturais, tomando como referência a proposta de Gerard Vergnaud sobre Campo Conceitual. Para essa pesquisa, fizemos um período de observação nas referidas classes; em seguida, aplicamos um instrumento diagnóstico seguido da realização de entrevistas. Constatamos um elevado grau de dificuldade na resolução desses problemas, bem como a mobilização de procedimentos não canônicos diversificados expressando operações cognitivas de diferentes naturezas. Os fenômenos observados revelaram aspectos específicos na evolução de concepções pré-multiplicativas para multiplicativas, com forte incidência de procedimentos aditivos nas situações consideradas. Essas constatações mostram a importância de se considerar, no ensino, a riqueza das produções individuais possíveis de serem estabelecidas pelos alunos em uma situação multiplicativa, divergindo de uma institucionalização precoce de procedimentos uniformes valorizados no âmbito escolar

Este estudo considera o modelo de controle ótimo estocástico sob um critério de média-variância para sistemas lineares a tempo discreto sujeitos a saltos Markovianos e ruídos multiplicativos sob dois critérios. Inicialmente, consideramos como critério de desempenho a minimização multiperíodo de uma combinação entre a média e a variância da saída do sistema sem restrições. Em seguida, consideramos o critério de minimização multiperíodo da variância da saída do sistema ao longo do tempo com restrições sobre o valor esperado mínimo. Condições necessárias e suficientes explícitas para a existência de um controle ótimo são determinadas generalizando resultados anteriores existentes na literatura. O controle ótimo é escrito como uma realimentação de estado adicionado de um termo constante. Esta solução é obtida através de um conjunto de equações generalizadas a diferenças de Riccati interconectadas com um conjunto de equações lineares recursivas. Como aplicação, apresentamos alguns exemplos numéricos práticos para um problema de seleção de portfólio multiperíodo com mudança de regime, incluindo uma estratégia de ALM (Asset and Liability Management). Neste problema, deseja-se obter a melhor alocação de portfólio de forma a otimizar seu desempenho entre risco e retorno em cada passo de tempo até o nal do horizonte de investimento e sob um dos dois critérios citados acima. / In this work we consider the stochastic optimal control problem of discrete-time linear systems subject to Markov jumps and multiplicative noise under two criterions. First, we consider an unconstrained multiperiod mean-variance trade-off performance criterion. In the sequence, we consider a multiperiod minimum variance criterion subject to constraints on the minimum expected output along the time. We present explicit necessary and sufficient conditions for the existence of an optimal control strategy for the problems, generalizing previous results in the literature. The optimal control law is written as a state feedback added with a deterministic sequence. This solution is derived from a set of coupled generalized Riccati difference equations interconnected with a set of coupled linear recursive equations. As an application, we present some practical numerical examples on a multiperiod portfolio selection problem with regime switching, including an Asset and Liability Management strategy. In this problem it is desired to nd the best portfolio allocation in order to optimize its risk-return performance in every time step along the investment horizon, under one of the two criterions stated above.In this work we consider the stochastic optimal control problem of discrete-time linear systems subject to Markov jumps and multiplicative noise under two criterions. First, we consider an unconstrained multiperiod mean-variance trade-off performance criterion. In the sequence, we consider a multiperiod minimum variance criterion subject to constraints on the minimum expected output along the time. We present explicit necessary and sufficient conditions for the existence of an optimal control strategy for the problems, generalizing previous results in the literature. The optimal control law is written as a state feedback added with a deterministic sequence. This solution is derived from a set of coupled generalized Riccati difference equations interconnected with a set of coupled linear recursive equations. As an application, we present some practical numerical examples on a multiperiod portfolio selection problem with regime switching, including an Asset and Liability Management strategy. In this problem it is desired to nd the best portfolio allocation in order to optimize its risk-return performance in every time step along the investment horizon, under one of the two criterions stated above.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 EDM - Vera Lucia da Silva.pdf: 1384460 bytes, checksum: 3234ebd8c11c96412594a6df13e184cf (MD5) Previous issue date: 2006-11-16 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / This research is about a teaching project aiming at mastering abilities and concepts related to the solution of problems of Cartesian product. The selected population were students of 4th Grade from a State School in the eastern region of the city of São Paulo. Our reference is the G. Vergnaud Conceptual Fields Theory and we took in consideration theoretical elements from researchers interested in studying the multiplicative reasoning. Data were collected from continuous observation and evaluation of the students performance, from the analyses of the materials produced by them and from interviews. The activities were designed with the intent of establishing connections between adding and multiplying processes and the processes involved in the determination of all the pairs of the Cartesian product. These connections become evident when represented by means of spatial relations promoting the evolution of non-conventional representations, produced by the students, to conventional representations, in Cartesian graphics and tree diagrams. The major contributions of this research for understanding the cognitive operations involved in solving Cartesian product problems are the repertory of non-conventional processes, employed by the selected group of participants, and their justification, and the analyses of the phenomena that occur in the passage from one to the other of the different representations of the Cartesian product. This research also offers contribution for the training of elementary education teachers / Nesta pesquisa, desenvolvemos uma proposta de ensino voltada ao domínio de competências e conceitos, relativos à resolução de problemas de multiplicação cartesiana. A população selecionada foi constituída por alunos de uma classe de 4a série do Ensino Fundamental, de uma Escola Estadual localizada da zona leste do Estado de São Paulo. Tomamos como referência a Teoria dos Campos Conceituais, de G. Vergnaud, e consideramos elementos teóricos de pesquisadores que desenvolvem pesquisas sobre o pensamento multiplicativo. Os dados foram obtidos por meio de registro e avaliação contínua do comportamento dos alunos no desenvolvimento das atividades, da análise do material produzido por eles e de entrevistas, entre outros. No desenvolvimento das atividades, buscamos estabelecer conexões entre procedimentos aditivos e multiplicativos e os processos envolvidos na determinação de todos os pares do produto cartesiano. Essas conexões foram ressaltadas ao serem representadas por meio de relações espaciais, promovendo a evolução de representações não convencionais, produzidas pelos alunos, para representações convencionais, em gráficos cartesianos e de árvore . Como principais contribuições desta pesquisa para a compreensão das operações cognitivas envolvidas na resolução de problemas de produto cartesiano, ressalte-se: o levantamento de um repertório de procedimentos não convencionais empregados pela classe selecionada e suas justificativas, a análise de fenômenos ocorridos na passagem de uma para outra das diferentes representações do produto cartesiano. A pesquisa oferece, igualmente, contribuições para a formação de professores do ensino fundamental

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 edith desp.pdf: 9443168 bytes, checksum: 373751b634881d1df27b702d1636cc5a (MD5) Previous issue date: 2007-05-25 / The aim of this work was to design and evaluate a musical microworld, created to enable users to explore concepts related to multiplication. Inspired by the constructionist perspective of Papert, the study evolved from the conjecture that by engaging in the construction of a musical rhythm, learners could interact with various aspects of the multiplicative field. To investigate this conjecture, a teaching experiment of two phases was conceived. The analyses in both these phases were based on the distinction made in the research of Confrey between the world of counting and the world of splitting. In the design phase, attention was given to the aspects of the microworld that might permit learners to construct conceptions that go beyond a vision of multiplication as repeated addition. The experimentation phase involved two groups of six students of the 5th Grade of a school within the public education system in the city of São Paulo. Using as their bases the interactions of students during the construction of their own rhythmic compositions, the analyses explored the different ways through which the learners made use of tools of the microworld and, in particular, the ways they chose to represent and express ideas related to notions such as ratio and proportion. The results suggest that, with the support of these tools, the learners gradually came to associate their musical activities with mathematical properties and concepts. They also showed how, during the experiment, the learners were enabled to explore the relations half and double within a perspective coherent with the world of splitting, as well as to use a diverse set of representations of these two relations / Este trabalho tem como objetivo o design e a avaliação de um micromundo musical para a exploração de conceitos multiplicativos. Dentro de uma perspectiva construcionista, partiu-se da hipótese de que, no contexto da construção de um ritmo musical, os aprendizes possam interagir com diferentes aspectos do campo multiplicativo. Foi elaborado um experimento de ensino composto por duas fases: a fase de design do micromundo e a fase de experimentação. As análises em ambas as fases foram baseadas na distinção feita nas pesquisas de Confrey entre o mundo da contagem e o mundo de splitting. Na fase de design, a atenção foi dada aos aspetos do micromundo que permitissem os aprendizes ampliar as concepções do campo multiplicativo, indo além de uma visão de multiplicação como adição repetida. A fase de experimentação contou com dois grupos de seis alunos da 5.ª série do Ensino Fundamental de uma escola pública localizada na cidade de São Paulo. Por meio das interações dos estudantes durante a construção de suas próprias composições rítmicas, as análises exploraram as diferentes maneiras pelas quais os aprendizes interagiram com as ferramentas do micromundo e em particular as formas utilizadas para expressar concepções relativas a noções, tais como razão e proporção. Como resultado, foi observado que, com o apoio destas ferramentas, os alunos gradualmente associaram suas atividades musicais com propriedades e conceitos matemáticos. Em particular, todos os alunos conseguiram, ao longo do experimento, explorar as relações de dobro e metade em uma perspectiva coerente com o mundo de splitting e utilizaram uma variedade de formas para representar estas relações

Este estudo considera o modelo de controle ótimo estocástico sob um critério de média-variância para sistemas lineares a tempo discreto sujeitos a saltos Markovianos e ruídos multiplicativos sob dois critérios. Inicialmente, consideramos como critério de desempenho a minimização multiperíodo de uma combinação entre a média e a variância da saída do sistema sem restrições. Em seguida, consideramos o critério de minimização multiperíodo da variância da saída do sistema ao longo do tempo com restrições sobre o valor esperado mínimo. Condições necessárias e suficientes explícitas para a existência de um controle ótimo são determinadas generalizando resultados anteriores existentes na literatura. O controle ótimo é escrito como uma realimentação de estado adicionado de um termo constante. Esta solução é obtida através de um conjunto de equações generalizadas a diferenças de Riccati interconectadas com um conjunto de equações lineares recursivas. Como aplicação, apresentamos alguns exemplos numéricos práticos para um problema de seleção de portfólio multiperíodo com mudança de regime, incluindo uma estratégia de ALM (Asset and Liability Management). Neste problema, deseja-se obter a melhor alocação de portfólio de forma a otimizar seu desempenho entre risco e retorno em cada passo de tempo até o nal do horizonte de investimento e sob um dos dois critérios citados acima. / In this work we consider the stochastic optimal control problem of discrete-time linear systems subject to Markov jumps and multiplicative noise under two criterions. First, we consider an unconstrained multiperiod mean-variance trade-off performance criterion. In the sequence, we consider a multiperiod minimum variance criterion subject to constraints on the minimum expected output along the time. We present explicit necessary and sufficient conditions for the existence of an optimal control strategy for the problems, generalizing previous results in the literature. The optimal control law is written as a state feedback added with a deterministic sequence. This solution is derived from a set of coupled generalized Riccati difference equations interconnected with a set of coupled linear recursive equations. As an application, we present some practical numerical examples on a multiperiod portfolio selection problem with regime switching, including an Asset and Liability Management strategy. In this problem it is desired to nd the best portfolio allocation in order to optimize its risk-return performance in every time step along the investment horizon, under one of the two criterions stated above.In this work we consider the stochastic optimal control problem of discrete-time linear systems subject to Markov jumps and multiplicative noise under two criterions. First, we consider an unconstrained multiperiod mean-variance trade-off performance criterion. In the sequence, we consider a multiperiod minimum variance criterion subject to constraints on the minimum expected output along the time. We present explicit necessary and sufficient conditions for the existence of an optimal control strategy for the problems, generalizing previous results in the literature. The optimal control law is written as a state feedback added with a deterministic sequence. This solution is derived from a set of coupled generalized Riccati difference equations interconnected with a set of coupled linear recursive equations. As an application, we present some practical numerical examples on a multiperiod portfolio selection problem with regime switching, including an Asset and Liability Management strategy. In this problem it is desired to nd the best portfolio allocation in order to optimize its risk-return performance in every time step along the investment horizon, under one of the two criterions stated above.

Nesta dissertação, o modelo de seleção de carteiras de Markowitz será estendido com uma análise em tempo discreto e hipóteses mais realísticas. Um produto tensorial finito de densidades Erlang será usado para aproximar a densidade de probabilidade multivariada dos retornos discretos uniperiódicos de ativos dependentes. A Erlang é um caso particular da distribuição Gama. Uma mistura finita pode gerar densidades multimodais não-simétricas e o produto tensorial generaliza este conceito para dimensões maiores. Assumindo que a densidade multivariada foi independente e identicamente distribuída (i.i.d.) no passado, a aproximação pode ser calibrada com dados históricos usando o critério da máxima verossimilhança. Este é um problema de otimização em larga escala, mas com uma estrutura especial. Assumindo que esta densidade multivariada será i.i.d. no futuro, então a densidade dos retornos discretos de uma carteira de ativos com pesos não-negativos será uma mistura finita de densidades Erlang. O risco será calculado com a medida Downside Risk, que é convexa para determinados parâmetros, não é baseada em quantis, não causa a subestimação do risco e torna os problemas de otimização uni e multiperiódico convexos. O retorno discreto é uma variável aleatória multiplicativa ao longo do tempo. A distribuição multiperiódica dos retornos discretos de uma seqüência de T carteiras será uma mistura finita de distribuições Meijer G. Após uma mudança na medida de probabilidade para a composta média, é possível calcular o risco e o retorno, que levará à fronteira eficiente multiperiódica, na qual cada ponto representa uma ou mais seqüências ordenadas de T carteiras. As carteiras de cada seqüência devem ser calculadas do futuro para o presente, mantendo o retorno esperado no nível desejado, o qual pode ser função do tempo. Uma estratégia de alocação dinâmica de ativos é refazer os cálculos a cada período, usando as novas informações disponíveis. Se o horizonte de tempo tender a infinito, então a fronteira eficiente, na medida de probabilidade composta média, tenderá a um único ponto, dado pela carteira de Kelly, qualquer que seja a medida de risco. Para selecionar um dentre vários modelos de otimização de carteira, é necessário comparar seus desempenhos relativos. A fronteira eficiente de cada modelo deve ser traçada em seu respectivo gráfico. Como os pesos dos ativos das carteiras sobre estas curvas são conhecidos, é possível traçar todas as curvas em um mesmo gráfico. Para um dado retorno esperado, as carteiras eficientes dos modelos podem ser calculadas, e os retornos realizados e suas diferenças ao longo de um backtest podem ser comparados. / In this thesis, Markowitz’s portfolio selection model will be extended by means of a discrete time analysis and more realistic hypotheses. A finite tensor product of Erlang densities will be used to approximate the multivariate probability density function of the single-period discrete returns of dependent assets. The Erlang is a particular case of the Gamma distribution. A finite mixture can generate multimodal asymmetric densities and the tensor product generalizes this concept to higher dimensions. Assuming that the multivariate density was independent and identically distributed (i.i.d.) in the past, the approximation can be calibrated with historical data using the maximum likelihood criterion. This is a large-scale optimization problem, but with a special structure. Assuming that this multivariate density will be i.i.d. in the future, then the density of the discrete returns of a portfolio of assets with nonnegative weights will be a finite mixture of Erlang densities. The risk will be calculated with the Downside Risk measure, which is convex for certain parameters, is not based on quantiles, does not cause risk underestimation and makes the single and multiperiod optimization problems convex. The discrete return is a multiplicative random variable along the time. The multiperiod distribution of the discrete returns of a sequence of T portfolios will be a finite mixture of Meijer G distributions. After a change of the distribution to the average compound, it is possible to calculate the risk and the return, which will lead to the multiperiod efficient frontier, where each point represents one or more ordered sequences of T portfolios. The portfolios of each sequence must be calculated from the future to the present, keeping the expected return at the desired level, which can be a function of time. A dynamic asset allocation strategy is to redo the calculations at each period, using new available information. If the time horizon tends to infinite, then the efficient frontier, in the average compound probability measure, will tend to only one point, given by the Kelly’s portfolio, whatever the risk measure is. To select one among several portfolio optimization models, it is necessary to compare their relative performances. The efficient frontier of each model must be plotted in its respective graph. As the weights of the assets of the portfolios on these curves are known, it is possible to plot all curves in the same graph. For a given expected return, the efficient portfolios of the models can be calculated, and the realized returns and their differences along a backtest can be compared.

Nesta dissertação, o modelo de seleção de carteiras de Markowitz será estendido com uma análise em tempo discreto e hipóteses mais realísticas. Um produto tensorial finito de densidades Erlang será usado para aproximar a densidade de probabilidade multivariada dos retornos discretos uniperiódicos de ativos dependentes. A Erlang é um caso particular da distribuição Gama. Uma mistura finita pode gerar densidades multimodais não-simétricas e o produto tensorial generaliza este conceito para dimensões maiores. Assumindo que a densidade multivariada foi independente e identicamente distribuída (i.i.d.) no passado, a aproximação pode ser calibrada com dados históricos usando o critério da máxima verossimilhança. Este é um problema de otimização em larga escala, mas com uma estrutura especial. Assumindo que esta densidade multivariada será i.i.d. no futuro, então a densidade dos retornos discretos de uma carteira de ativos com pesos não-negativos será uma mistura finita de densidades Erlang. O risco será calculado com a medida Downside Risk, que é convexa para determinados parâmetros, não é baseada em quantis, não causa a subestimação do risco e torna os problemas de otimização uni e multiperiódico convexos. O retorno discreto é uma variável aleatória multiplicativa ao longo do tempo. A distribuição multiperiódica dos retornos discretos de uma seqüência de T carteiras será uma mistura finita de distribuições Meijer G. Após uma mudança na medida de probabilidade para a composta média, é possível calcular o risco e o retorno, que levará à fronteira eficiente multiperiódica, na qual cada ponto representa uma ou mais seqüências ordenadas de T carteiras. As carteiras de cada seqüência devem ser calculadas do futuro para o presente, mantendo o retorno esperado no nível desejado, o qual pode ser função do tempo. Uma estratégia de alocação dinâmica de ativos é refazer os cálculos a cada período, usando as novas informações disponíveis. Se o horizonte de tempo tender a infinito, então a fronteira eficiente, na medida de probabilidade composta média, tenderá a um único ponto, dado pela carteira de Kelly, qualquer que seja a medida de risco. Para selecionar um dentre vários modelos de otimização de carteira, é necessário comparar seus desempenhos relativos. A fronteira eficiente de cada modelo deve ser traçada em seu respectivo gráfico. Como os pesos dos ativos das carteiras sobre estas curvas são conhecidos, é possível traçar todas as curvas em um mesmo gráfico. Para um dado retorno esperado, as carteiras eficientes dos modelos podem ser calculadas, e os retornos realizados e suas diferenças ao longo de um backtest podem ser comparados. / In this thesis, Markowitz’s portfolio selection model will be extended by means of a discrete time analysis and more realistic hypotheses. A finite tensor product of Erlang densities will be used to approximate the multivariate probability density function of the single-period discrete returns of dependent assets. The Erlang is a particular case of the Gamma distribution. A finite mixture can generate multimodal asymmetric densities and the tensor product generalizes this concept to higher dimensions. Assuming that the multivariate density was independent and identically distributed (i.i.d.) in the past, the approximation can be calibrated with historical data using the maximum likelihood criterion. This is a large-scale optimization problem, but with a special structure. Assuming that this multivariate density will be i.i.d. in the future, then the density of the discrete returns of a portfolio of assets with nonnegative weights will be a finite mixture of Erlang densities. The risk will be calculated with the Downside Risk measure, which is convex for certain parameters, is not based on quantiles, does not cause risk underestimation and makes the single and multiperiod optimization problems convex. The discrete return is a multiplicative random variable along the time. The multiperiod distribution of the discrete returns of a sequence of T portfolios will be a finite mixture of Meijer G distributions. After a change of the distribution to the average compound, it is possible to calculate the risk and the return, which will lead to the multiperiod efficient frontier, where each point represents one or more ordered sequences of T portfolios. The portfolios of each sequence must be calculated from the future to the present, keeping the expected return at the desired level, which can be a function of time. A dynamic asset allocation strategy is to redo the calculations at each period, using new available information. If the time horizon tends to infinite, then the efficient frontier, in the average compound probability measure, will tend to only one point, given by the Kelly’s portfolio, whatever the risk measure is. To select one among several portfolio optimization models, it is necessary to compare their relative performances. The efficient frontier of each model must be plotted in its respective graph. As the weights of the assets of the portfolios on these curves are known, it is possible to plot all curves in the same graph. For a given expected return, the efficient portfolios of the models can be calculated, and the realized returns and their differences along a backtest can be compared.