L'entrée en application depuis le 1er Janvier 2016 de la réforme réglementaire européenne du secteur des assurances Solvabilité 2 est un événement historique qui va changer radicalement les pratiques en matière de gestion des risques. Elle repose sur une prise en compte importante du profil et de la vision du risque, via la possibilité d'utiliser des modèles internes pour calculer les capitaux de solvabilité et l'approche ORSA (Own Risk and Solvency Assessment) pour la gestion interne du risque. La modélisation mathématique est ainsi un outil indispensable pour réussir un exercice réglementaire. La théorie du risque doit être en mesure d'accompagner ce développement en proposant des réponses à des problématiques pratiques, liées notamment à la modélisation des dépendances et aux choix des mesures de risques. Dans ce contexte, cette thèse présente une contribution à l'amélioration de la gestion des risques actuariels. En quatre chapitres nous présentons des mesures multivariées de risque et leurs applications à l'allocation du capital de solvabilité. La première partie de cette thèse est consacrée à l'introduction et l'étude d'une nouvelle famille de mesures multivariées élicitables de risque qu'on appellera des expectiles multivariés. Son premier chapitre présente ces mesures et explique les différentes approches utilisées pour les construire. Les expectiles multivariés vérifient un ensemble de propriétés de cohérence que nous abordons aussi dans ce chapitre avant de proposer un outil d'approximation stochastique de ces mesures de risque. Les performances de cette méthode étant insuffisantes au voisinage des niveaux asymptotiques des seuils des expectiles, l'analyse théorique du comportement asymptotique est nécessaire, et fera le sujet du deuxième chapitre de cette partie. L'analyse asymptotique est effectuée dans un environnement à variations régulières multivariées, elle permet d'obtenir des résultats dans le cas des queues marginales équivalentes. Nous présentons aussi dans le deuxième chapitre le comportement asymptotique des expectiles multivariés sous les hypothèses précédentes en présence d'une dépendance parfaite, ou d'une indépendance asymptotique, et nous proposons à l'aide des statistiques des valeurs extrêmes des estimateurs de l'expectile asymptotique dans ces cas. La deuxième partie de la thèse est focalisée sur la problématique de l'allocation du capital de solvabilité en assurance. Elle est composée de deux chapitres sous forme d'articles publiés. Le premier présente une axiomatisation de la cohérence d'une méthode d'allocation du capital dans le cadre le plus général possible, puis étudie les propriétés de cohérence d'une approche d'allocation basée sur la minimisation d'indicateurs multivariés de risque. Le deuxième article est une analyse probabiliste du comportement de cette dernière approche d'allocation en fonction de la nature des distributions marginales des risques et de la structure de la dépendance. Le comportement asymptotique de l'allocation est aussi étudié et l'impact de la dépendance est illustré par différents modèles marginaux et différentes copules. La présence de la dépendance entre les différents risques supportés par les compagnies d'assurance fait de l'approche multivariée une réponse plus appropriée aux différentes problématiques de la gestion des risques. Cette thèse est fondée sur une vision multidimensionnelle du risque et propose des mesures de nature multivariée qui peuvent être appliquées pour différentes problématiques actuarielles de cette nature / The entry into force since January 1st, 2016 of Solvency 2, the European regulatory reform of insurance industry, is a historic event that will radically change the practices in risk management. It is based on taking into account the own risk profile and the internal view of risk through the ability to use internal models for calculating solvency capital requirement and ORSA (Own Risk and Solvency Assessment) approach for internal risk management. It makes the mathematical modeling an essential tool for a successful regulatory exercise. The risk theory must allow to support this development by providing answers to practical problems, especially those related to the dependence modeling and the choice of risk measures. In the same context, this thesis presents a contribution to improving the management of insurance risks. In four chapters we present multivariate risk measures and their application to the allocation of solvency capital. The first part of this thesis is devoted to the introduction and study of a new family of multivariate elicitable risk measures that we will call multivariate expectiles. The first chapter presents these measures and explains the different construction approaches. The multivariate expectiles verify a set of coherence properties that we also discuss in this chapter before proposing a stochastic approximation tool of these risk measures. The performance of this method is insufficient in the asymptotic levels of the expectiles thresholds. That makes the theoretical analysis of the asymptotic behavior necessary. The asymptotic behavior of multivariate expectiles is then the subject of the second chapter of this part. It is studied in a multivariate regular variations framework, and some results are given in the case of equivalent marginal tails. We also study in the second chapter of the first part the asymptotic behavior of multivariate expectiles under previous assumptions in the presence of a perfect dependence, or in the case of asymptotic independence. Finally, we propose using extreme values statistics some estimators of the asymptotic expectile in these cases. The second part of the thesis is focused on the issue of solvency capital allocation in insurance. It is divided into two chapters; each chapter consists of a published paper. The first one presents an axiomatic characterization of the coherence of a capital allocation method in a general framework. Then it studies the coherence properties of an allocation approach based on the minimization of some multivariate risk indicators. The second paper is a probabilistic analysis of the behavior of this capital allocation method based on the nature of the marginal distributions of risks and the dependence structure. The asymptotic behavior of the optimal allocation is also studied and the impact of dependence is illustrated using some selected models and copulas. Faced to the significant presence of dependence between the various risks taken by insurance companies, a multivariate approach seems more appropriate to build responses to the various issues of risk management. This thesis is based on a multidimensional vision of risk and proposes some multivariate risk measures that can be applied to several actuarial issues of a multivariate nature

Nous y introduisons une nouvelle classe de distributions bivariées de type Marshall-Olkin, la distribution Erlang bivariée. La transformée de Laplace, les moments et les densités conditionnelles y sont obtenus. Les applications potentielles en assurance-vie et en finance sont prises en considération. Les estimateurs du maximum de vraisemblance des paramètres sont calculés par l'algorithme Espérance-Maximisation. Ensuite, notre projet de recherche est consacré à l'étude des processus de risque multivariés, qui peuvent être utiles dans l'étude des problèmes de la ruine des compagnies d'assurance avec des classes dépendantes. Nous appliquons les résultats de la théorie des processus de Markov déterministes par morceaux afin d'obtenir les martingales exponentielles, nécessaires pour établir des bornes supérieures calculables pour la probabilité de ruine, dont les expressions sont intraitables. / In this contribution, we introduce a new class of bivariate distributions of Marshall-Olkin type, called bivariate Erlang distributions. The Laplace transform, product moments and conditional densities are derived. Potential applications of bivariate Erlang distributions in life insurance and finance are considered. Further, our research project is devoted to the study of multivariate risk processes, which may be useful in analyzing ruin problems for insurance companies with a portfolio of dependent classes of business. We apply results from the theory of piecewise deterministic Markov processes in order to derive exponential martingales needed to establish computable upper bounds of the ruin probabilities, as their exact expressions are intractable.

Nous y introduisons une nouvelle classe de distributions bivariées de type Marshall-Olkin, la distribution Erlang bivariée. La transformée de Laplace, les moments et les densités conditionnelles y sont obtenus. Les applications potentielles en assurance-vie et en finance sont prises en considération. Les estimateurs du maximum de vraisemblance des paramètres sont calculés par l'algorithme Espérance-Maximisation. Ensuite, notre projet de recherche est consacré à l'étude des processus de risque multivariés, qui peuvent être utiles dans l'étude des problèmes de la ruine des compagnies d'assurance avec des classes dépendantes. Nous appliquons les résultats de la théorie des processus de Markov déterministes par morceaux afin d'obtenir les martingales exponentielles, nécessaires pour établir des bornes supérieures calculables pour la probabilité de ruine, dont les expressions sont intraitables. / In this contribution, we introduce a new class of bivariate distributions of Marshall-Olkin type, called bivariate Erlang distributions. The Laplace transform, product moments and conditional densities are derived. Potential applications of bivariate Erlang distributions in life insurance and finance are considered. Further, our research project is devoted to the study of multivariate risk processes, which may be useful in analyzing ruin problems for insurance companies with a portfolio of dependent classes of business. We apply results from the theory of piecewise deterministic Markov processes in order to derive exponential martingales needed to establish computable upper bounds of the ruin probabilities, as their exact expressions are intractable.

Cette thèse traite de la théorie du risque en finance et en assurance. La mise en pratique du concept de comonotonie, la dépendance du risque au sens fort, est décrite pour identifier l’optimum de Pareto et les allocations individuellement rationnelles Pareto optimales, la tarification des options et la quantification des risques. De plus, il est démontré que l’aversion au risque monotone à gauche, un raffinement pertinent de l’aversion forte au risque, caractérise tout décideur à la Yaari, pour qui, l’assurance avec franchise est optimale. Le concept de comonotonie est introduit et discuté dans le chapitre 1. Dans le cas de risques multiples, on adopte l’idée qu’une forme naturelle pour les compagnies d’assurance de partager les risques est la Pareto optimalité risque par risque. De plus, l’optimum de Pareto et les allocations individuelles Pareto optimales sont caractérisées. Le chapitre 2 étudie l’application du concept de comonotonie dans la tarification des options et la quantification des risques. Une nouvelle variable de contrôle de la méthode de Monte Carlo est introduite et appliquée aux “basket options”, aux options asiatiques et à la TVaR. Finalement dans le chapitre 3, l’aversion au risque au sens fort est raffinée par l’introduction de l’aversion au risque monotone à gauche qui caractérise l’optimalité de l’assurance avec franchise dans le modèle de Yaari. De plus, il est montré que le calcul de la franchise s’effectue aisément. / This thesis deals with the risk theory in Finance and Insurance. Application of the Comonotonicity concept, the strongest risk dependence, is described for identifying the Pareto optima and Individually Rational Pareto optima allocations, option pricing and quantification of risk. Furthermore it is shown that the left monotone risk aversion, a meaningful refinement of strong risk aversion, characterizes Yaari’s decision makers for whom deductible insurance is optimal. The concept of Comonotonicity is introduced and discussed in Chapter 1. In case of multiple risks, the idea that a natural way for insurance companies to optimally share risks is risk by risk Pareto-optimality is adopted. Moreover, the Pareto optimal and individually Pareto optimal allocations are characterized. The Chapter 2 investigates the application of the Comonotonicity concept in option pricing and quantification of risk. A novel control variate Monte Carlo method is introduced and its application is explained for basket options, Asian options and TVaR. Finally in Chapter 3 the strong risk aversion is refined by introducing the left-monotone risk aversion which characterizes the optimality of deductible insurance within the Yaari’s model. More importantly, it is shown that the computation of the deductible is tractable.