Le but de cette thèse est de faire des simulations prédictives à partir de modèles de turbulence de type RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes). Ces simulations font l'objet d'un traitement systématique du modèle, de son incertitude et de leur propagation par le biais d'un modèle de calcul prédictif aux incertitudes quantifiées. Pour faire cela, nous utilisons le cadre robuste de la statistique Bayesienne.La première étape vers ce but a été d'obtenir une estimation de l'erreur de simulations RANS basées sur le modèle de turbulence de Launder-Sharma k-e. Nous avons recherché en particulier à estimer des incertitudes pour les coefficients du modele, pour des écoulements de parois en gradients favorable et défavorable. Dans le but d'estimer la propagation des coefficients qui reproduisent le plus précisemment ces types d'écoulements, nous avons étudié 13 configurations différentes de calibrations Bayesienne. Chaque calibration était associée à un gradient de pression spécifique gràce à un modèle statistique. Nous representont la totalite des incertitudes dans la solution avec une boite-probabilite (p-box). Cette boîte-p représente aussi bien les paramètres de variabilité de l'écoulement que les incertitudes epistemiques de chaque calibration. L'estimation d'un nouvel écoulement de couche-limite est faite pour des valeurs d'incertitudes générées par cette information sur l'incertitude elle-même. L'erreur d'incertitude qui en résulte est consistante avec les mesures expérimentales.Cependant, malgré l'accord avec les mesures, l'erreur obtenue était encore trop large. Ceci est dû au fait que la boite-p est une prédiction non pondérée. Pour améliorer cela, nous avons développé une autre approche qui repose également sur la variabilité des coefficients de fermeture du modèle, au travers de multiples scénarios d'écoulements et de multiples modèles de fermeture. La variabilité est là encore estimée par le recours à la calibration Bayesienne et confrontée aux mesures expérimentales de chaque scénario. Cependant, un scénario-modèle Bayesien moyen (BMSA) est ici utilisé pour faire correspondre les distributions a posteriori à un scénario (prédictif) non mesuré. Contrairement aux boîtes-p, cette approche est une approche pondérée faisant appel aux probabilités des modèles de turbulence, déterminée par les données de calibration. Pour tous les scénarios de prédiction considérés, la déviation standard de l'estimation stochastique est consistante avec les mesures effectuées.Les résultats de l'approche BMSA expriment des barres d'erreur raisonnables. Cependant, afin de l'appliquer à des topologies plus complexes et au-delà de la classe des écoulements de couche-limite, des techniques de modeles de substitution doivent être mises en places. La méthode de la collocation Stochastique-Simplex (SSC) est une de ces techniques et est particulièrement robuste pour la propagation de distributions d'entrée incertaines dans un code de calcul. Néanmois, son utilisation de la triangulation Delaunay peut entrainer un problème de coût prohibitif pour les cas à plus de 5 dimensions. Nous avons donc étudié des moyens pour améliorer cette faible scalabilité. En premier lieu, c'est dans ce but que nous avons en premier proposé une technique alternative d'interpolation basée sur le probleme 'Set-Covering'. Deuxièmement, nous avons intégré la méthode SSC au cadre du modèle de réduction à haute dimension (HDMR) dans le but d'éviter de considérer tous les espaces de haute dimension en même temps.Finalement, avec l'utilisation de notre technique de modelisation de substitution (surrogate modelling technique), nous avons appliqué le cadre BMSA à un écoulement transsonique autour d'un profil d'aile. Avec cet outil nous sommes maintenant capable de faire des simulations prédictives d'écoulements auparavant trop coûteux et offrant des incertitudes quantifiées selon les imperfections des différents modèles de turbulence. / The goal of this thesis is to make predictive simulations with Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS) turbulence models, i.e. simulations with a systematic treatment of model and data uncertainties and their propagation through a computational model to produce predictions of quantities of interest with quantified uncertainty. To do so, we make use of the robust Bayesian statistical framework.The first step toward our goal concerned obtaining estimates for the error in RANS simulations based on the Launder-Sharma k-e turbulence closure model, for a limited class of flows. In particular we searched for estimates grounded in uncertainties in the space of model closure coefficients, for wall-bounded flows at a variety of favourable and adverse pressure gradients. In order to estimate the spread of closure coefficients which reproduces these flows accurately, we performed 13 separate Bayesian calibrations. Each calibration was at a different pressure gradient, using measured boundary-layer velocity profiles, and a statistical model containing a multiplicative model inadequacy term in the solution space. The results are 13 joint posterior distributions over coefficients and hyper-parameters. To summarize this information we compute Highest Posterior-Density (HPD) intervals, and subsequently represent the total solution uncertainty with a probability box (p-box). This p-box represents both parameter variability across flows, and epistemic uncertainty within each calibration. A prediction of a new boundary-layer flow is made with uncertainty bars generated from this uncertainty information, and the resulting error estimate is shown to be consistent with measurement data.However, although consistent with the data, the obtained error estimates were very large. This is due to the fact that a p-box constitutes a unweighted prediction. To improve upon this, we developed another approach still based on variability in model closure coefficients across multiple flow scenarios, but also across multiple closure models. The variability is again estimated using Bayesian calibration against experimental data for each scenario, but now Bayesian Model-Scenario Averaging (BMSA) is used to collate the resulting posteriors in an unmeasured (prediction) scenario. Unlike the p-boxes, this is a weighted approach involving turbulence model probabilities which are determined from the calibration data. The methodology was applied to the class of turbulent boundary-layers subject to various pressure gradients. For all considered prediction scenarios the standard-deviation of the stochastic estimate is consistent with the measurement ground truth.The BMSA approach results in reasonable error bars, which can also be decomposed into separate contributions. However, to apply it to more complex topologies outside the class of boundary-layer flows, surrogate modelling techniques must be applied. The Simplex-Stochastic Collocation (SSC) method is a robust surrogate modelling technique used to propagate uncertain input distributions through a computer code. However, its use of the Delaunay triangulation can become prohibitively expensive for problems with dimensions higher than 5. We therefore investigated means to improve upon this bad scalability. In order to do so, we first proposed an alternative interpolation stencil technique based upon the Set-Covering problem, which resulted in a significant speed up when sampling the full-dimensional stochastic space. Secondly, we integrated the SSC method into the High-Dimensional Model-Reduction framework in order to avoid sampling high-dimensional spaces all together.Finally, with the use of our efficient surrogate modelling technique, we applied the BMSA framework to the transonic flow over an airfoil. With this we are able to make predictive simulations of computationally expensive flow problems with quantified uncertainty due to various imperfections in the turbulence models.

Cette thèse, intitulée NSIBM : un solveur parallèle de Navier-Stokes avec raffinement automatique basé sur la méthode des frontières immergées, a été effectuée au sein du laboratoire iCube, département de mécanique, à Strasbourg, dans le quartier de l'Orangerie, sous la direction du professeur Yannick Hoarau. L'essentiel du travail effectué consiste en le développement d'un programme capable de résoudre numériquement l'équation de Navier-Stokes qui régit des fluides en mouvement. Une attention particulière a été portée à la production de maillages conformes aux géométries proposées et à leur génération. Les moyens mis en œuvre ici pour gérer l'éternel problème de la finesse du maillage opposée au trop grand nombre de cellules sont multiples : le raffinement, la parallélisation et les frontières immergées. Dans un premier temps, j'ai conçu un générateur de maillage en deux et trois dimensions en y intégrant la possibilité de diviser des cellules, et cela de manière automatique, par des critères géométriques, numériques ou physiques. Il permet également de supprimer des cellules, de manière à ne pas mailler le vide ou les parties solides de la géométrie.Dans un deuxième temps, j'ai rendu ce code parallèle en lui donnant la capacité d'utiliser plusieurs processeurs, afin de calculer plus vite et donc d'utiliser davantage de mailles. Cette étape fait appel à deux technologies : Metis, qui partage équitablement les mailles sur le nombre choisi de processeurs et OpenMPI, qui est l'interface de communication entre ces processeurs. Enfin, la méthode des frontières immergées a été introduite au code pour gérer les bords non verticaux ou horizontaux dans un maillage cartésien, c'est-à-dire formé de rectangles ou de pavés droits. Elle consiste à donner un caractère hybride à une cellule traversée par une frontière par l'introduction d'un terme numérique de forçage simulant la présence de la paroi.Ce travail de développement a ensuite été mis à l'épreuve et validé dans une série de cas tests en deux comme en trois dimensions. Des exemples de maillages complexes générés facilement sont donnés. / This thesis, entitled NSIBM: a parallel Navier-Stokes solver with automatic mesh refinement based on immersed boundary method, has been conducted within the iCube laboratory dedicated to mechanics and located in Strasbourg. It has been supervised by Professor Yannick Hoarau. This work mainly deals with coding a program able to solve the Navier-Stokes equations that governs moving fluids, in a numerical way. Particular attention was paid to the production of meshes that suit given geometries and their generation.The means used here to handle the eternal problem of the fineness of the mesh opposed to too many cells are several~:refinement, parallelization and the immersed boundary method.Initially, I designed a two and three-dimensional mesh generator that includes the possibility of dividing cells,in an automatic way, by geometrical, numerical or physical criteria. It also allows to remove cells, where there is no point keeping it. Secondly, I parallelized the program by giving him the ability to use multiple processors to calculate faster and therefore use bigger meshes.This step uses two available libraries~: \textit{Metis}, which gives a optimal mesh partition, and \textit{openMPI}, which deals with communication between nodes. Finally, the immersed boundary method has been implemented to handle non-vertical or non-horizontal edges in a cartesian grid. Its principle is to confer a hybrid status to a cell which is crossed by an edge by adding a numerical force term simulating the presence of the boundary. This development work was then tested and validated in a serie of test cases in two and three dimensions. Examples of complex meshes easily generated are given.

Pas de résumé / In order to give a general statistical description of turbulence, one tries to identify universal statistical features, common to a wider class of turbulent flows. In 1988, Kraichnan and Panda discovered one such possibly universal feature, namely, the fact that Navier-Stokes turbulence tends to reduce the strength of the nonlinearity in its governing equations. In the flrst part of the manuscript we consider the strength of the nonlinear term and, more precisely, of its fluctuations in isotropic turbulence. In order to measure this strength, we compare to the case of a flow fleld with the same energy distribution where the modes are statistically independent, as is the case in Gaussian noise. It is shown that the turbulent flow self-organizes towards a state in which the nonlinearity is reduced, and it is discussed what the implications of this reduction are. Also, in two dimensions it is illustrated how this self-organization manifests itself through the appearance of well-deflned vortical flow structures. In the second part of the manuscript, we investigate the dynamics of the Hasegawa- Wakatani model, a model relevant in the study of magnetically conflned fusion plasmas. The two-dimensional version of this model is considered, which includes some key features of the turbulent dynamics of a tokamak-edge. We consider the limit of the model in which the nonlinearity is reduced with respect to the linear forces. For this weakly nonlinear, wave dominated regime, analytical predictions suggest the presence of a feedback loop in which energy is transferred to highly anisotropic zonal flows by nonlocal interactions. We confirm these predictions and we demonstrate a strong suppression of the turbulent radial particle flux. In wall bounded geometry, the same mechanism is observed and here also the flux is eflciently reduced by the turbulence-zonal flow interaction.

Cette thèse vise à améliorer la compréhension du comportement d'un cœur de réacteur à neutrons rapides refroidi au sodium (RNR-Na) par l'analyse de l'interaction fluide-structure lors de vibrations de courte durée (AURNs de Phénix) et de longe durée (séisme pour le projet ASTRID).Pour ce faire, trois approches ont été suivies : élaboration de solutions analytiques, développement de modèles numériques et réalisation d'expériences.Une solution analytique du champ de pression et de vitesse a été obtenue, pour la première fois, pour le cas d'oscillations libres et de forts confinements.Une carte d'écoulement a été réalisée pour identifier les régimes présentsdans l'inter-assemblage.Nous avons conçu et dimensionné deux maquettes, PISE-2c (2 couronnes d'assemblages hexagonaux) et PISE-1a (un assemblage). Chaque assemblage vibre en eau à une fréquence cible de quelques Hertz avec un mouvement de translation.Des essais d'oscillations libres en air et en eau ont été réalisés pourétudier les caractéristiques dynamiques de l'assemblage. Un écoulement 3D du type<< jambage >> se produit dans l'inter-assemblage, qui conduit à une baisse de lafréquence de vibration par rapport à la théorie bidimensionnelle.Les essais ont été modélisés avec un modèle numérique 2D<< Cast3M Navier-Stokes >> (équations de Navier-Stokes couplées avec l'équation de la dynamique de corps rigide).Dans les modèles 2D il faut imposer une force fluide inférieure, qui prenne en compte les effetsde l'écoulement 3D.Le modèle << Cast3M $up\phi$ >> (équationsd'Euler linéarisées couplées avec l'équation de la dynamique) a également été utilisé pourreprésenter en 3D la maquette PISE-1a. / The purpose of this study is to improve the knowledge about the core behavior of a sodium fast breeder reactor (Na-FBR) during vibrations through the fluid-structure interaction analysis. Namely, we investigate the flowering of the Phénix core during the SCRAM for negative reactivity (AURN) and the seismic behavior of the core of Astrid project. Three approaches are followed : experimental campaign, performing of analytical solution and development of numerical model. We create a flow regime map to identify the flow regimes in the fluid gap for very short times scales (as AURN) as well as longer time scales (as seismic oscillations). The most suitable equation system (Navier-Stokes, Euler or linearized Euler) is chosen to model the fluid flow in the numerical code. To our knowledge, for the first time, an analytical solution for free vibration and very narrow gaps is proposed. We designed two experimental apparatus (PISE-1a and PISE-2c) composed respectively by 1 and 19 hexagonal assemblies (two crowns) of Poly-methyl methacrylate (PMMA). Every PMMA assembly is fixed to a stainless steel twin-blades support allowing only orthogonal oscillations with respect to generating line of assembly. The twin-blades supports are designed to give the same range frequency of Phénix assembly in liquid sodium. The experimental equipment PISE-1a is used to determine the dynamic characteristics of PISE-2c assembly, to calibrate instrumentation and for validating our numerical model. Free vibration tests in air are performed to evaluate the dynamic characteristics of the body. Free vibration experiments in water allow to assess the added mass and added damping effect on the frequency. Even though the fluid flow during vibration should be completely bidimensional, the fluid flow is affected by a 3D effect - named ’jambage’ - at the top and the basis of the assembly. This effect produces a lower frequency than the theoretical value. Tests are modeled with a bidimensional numerical model through the finite-elements method with the Cast3M code. The fluid is viscous and incompressible, whereas the structure is considered as a mass-damped-spring system with a 1 degree of freedom. Our model is solved by the Navier-Stokes equations coupled by the dynamic equation of structures. Also the « upφ model » is used to have a 3D representation of PISE-1a. Because of the 3D fluid flow presence, to reproduce the oscillation of a test, we have to impose a lower fluid force in the 2D numerical model to reproduce tests.

Orientador: Marcelo Martins dos Santos / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-14T14:51:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Teixeira_EdsonJose_M.pdf: 638751 bytes, checksum: 1d26a9bbc1ee3ba6c4ee45e29c14c45e (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Este trabalho consiste de uma exposição detalhada do resultado provado no artigo "Global weak solutions to 1D compressible isentropic Navier-Stokes equations with density-dependent viscosity" de S. Jiang, Z. P. Xin e P. Zhang (Methods Appl. Anal. - 2005), sobre a existência e unicidade de solução fraca para o sistema de Navier-Stokes unidimensional de um fluido isentrópico compressível com viscosidade dependente da densidade e com fronteira livre em coordenadas lagrangianas, ?t +?2ux = 0 0 < x < 1, t > 0 ut + (P(?))x = (?µ (?)ux)x 0 < x < 1, t > 0 onde ?, u; P(?) e µ(?) são a densidade, velocidade, pressão e viscosidade do fluido, e exigiremos que este fluido satisfaça a condição de fronteira (-P(?) + (?µ(?)ux)= 0. Trataremos do caso particular onde consideramos P(?) = A ?? e µ( ?) = B?a; onde A, B > 0,? > 1 e 0 < a < 1 são constantes. Acrescentaremos uma condicão inicial (?0,u0). / Abstract: The present work makes a well-detailed exposition about the main results given in the paper "Global weak solutions to 1D compressible isentropic Navier-Stokes equations with densitydependent viscosity" by S. Jiang, Z. P. Xin and P. Zhang (Methods Appl. Anal. - 2005). The problem in this paper has a free boundary but in lagrangian coordinates the equations are the following, ?t +?2ux = 0 0 < x < 1, t > 0 ut + (P(?))x = (?µ (?)ux)x 0 < x < 1, t > 0 and the boundary becomes the fixed points x = 0 and x = 1; Here ?, u; P(?) and µ(?) are, respectively, the density, velocity, pressure and the viscosity of the fluid. The boundary condition, at x = 0 and x = 1, is given by (-P(?) + (?µ(?)ux)= 0. Although the pressure and viscosity may have more general forms, to be more specific, the authors consider only the special case P(?) = A ?? e µ( ?) = B?a, with A; B > 0,? > 1 and 0 <a< 1 being constants. An initial condition (?0,u0) is also given at time t = 0. / Mestrado / Analise, Equações Diferenciais Parciais / Mestre em Matemática

Cette thèse est consacrée à l'étude de propriétés du laplacien dans trois contextes bien distincts. Dans une première partie, celui-ci nous sera utile pour régulariser des solutions d'équations venues de la mécanique des fluides incompressibles. En application, on montrera un théorème dans la lignée des résultats de J. Serrin et de ses continuateurs. Dans une deuxième partie, le laplacien est vu comme le pendant stationnaire de l'opérateur des ondes sur un graphe, dont les modes et fréquences propres déterminent la propagation de perturbations sur le graphe. On y explore et démêle les liens entre la topologie du graphe, sa forme et sa première fréquence propre non nulle. Dans une dernière partie, le laplacien est pensé comme un opérateur linéaire à diagonaliser dans une base adaptée, objectif dont l'accomplissement est intimement lié à la transformée de Fourier. Deux difficultés majeures apparaissent ici : la non commutativité des groupes auxquels nous nous intéressons d'une part, l'apparition d'une limite singulière de la transformée de Fourier d'autre part. / This thesis is devoted to the study of the laplacian properties in three fully distinct contexts.In a first part, it will be used to smooth solutions of equations coming from incompressible fluid mechanics.As an application, we will show a result in the spirit of J. Serrin and his continuators' theorem.In a second part, the laplacien is seen as the stationary counterpart of the wave operator on a graph, whose eigenmodes and eigenfrequencies determine the propagation of perturbations on the graph.We explore and disentangle the ties between the graph's topology, its shape and its first nonzero eigenfrequency.In the last part, the laplacian is thought of as a linear operator which we wish to diagonalize in an appropriate basis, a goal which is intimately tied to the Fourier transform.Two major difficulties appear in our context : the noncommutativity of the groups of interest on the one hand, the appearance of a singular limit in the Fourier transform on the other hand.

L’objectif de cette thèse est de chercher, dans un écoulement turbulent réel, d'éventuelles traces des singularités que pourraient développer les solutions des équations d'Euler ou de Navier-Stokes incompressibles 3D. En effet, la question de leur régularité mathématique est toujours ouverte. Dans cette thèse, on postule l'existence de singularités dans les équations d'Euler ou de Navier-Stokes, et on cherche des traces de ces singularités dans des champs de vitesse 3D mesurés dans un écoulement turbulent tourbillonnaire modèle, l'écoulement de von Kármán. La répartition de ces possibles empreintes de singularités, la structure de l'écoulement en leur voisinage ainsi que leur évolution temporelle sont étudiées. Nous nous appuyons sur le travail des mathématiciens Duchon et Robert pour chercher des traces de singularités et cherchons des valeurs extrêmes du terme de Duchon-Robert calculé à toute petite échelle, c’est-à-dire dans la zone dissipative : c’est ce que l’on appelle « traces de singularités ». Nous calculons le terme de Duchon-Robert à partir de champs de vitesse obtenus expérimentalement au centre d’un écoulement de von Kármán turbulent. Les champs de vitesse sont mesurés par vélocimétrie par image de particules tomographique (TPIV), résolue en temps ou non. Dans un premier temps, nous analysons les statistiques du terme de Duchon-Robert échelle par échelle et les comparons à celles de la dissipation visqueuse et à celles du terme de transfert inter-échelles apparaissant dans les équations LES. Dans un deuxième temps, nous analysons la topologie du champ de vitesse autour des événements extrêmes du terme de Duchon-Robert d'abord à partir des invariants du gradient de la vitesse puis par observation directe des champs de vitesse. Dans un troisième temps, nous présentons les résultats préliminaires d’une étude eulérienne de l’évolution temporelle des événements extrêmes du terme de Duchon-Robert. / This thesis is devoted to the experimental search for prints of the singularities that might occur in the solutions of the 3D incompressible Euler or Navier-Stokes equations. Indeed, the existence of solutions to these partial differential equations has been proven but it is still unknown whether these solutions are regular, i.e. whether they blow up in finite time or not. In this thesis, we postulate the existence of such singularities and look for prints of them in 3D velocity fields acquired experimentally in a turbulent swirling flow. The distribution, 3D structure and time evolution of these prints are detailed. Our detection of prints of possible singularities is based on the work of the mathematicists Duchon and Robert. We look for extreme values of the Duchon-Robert term at small scales, i.e. in the dissipative range. That is what we call prints of singularities. We compute the Duchon-Robert term on velocity fields which are acquired experimentally at the center of a von Kármán turbulent swirling flow. The velocity field is measured by tomographic particle image velocimetry (TPIV), either time-resolved or not. In a first part we perform a scale-by-scale analysis of the statistics of the Duchon-Robert term and compare them to the statistics of the viscous dissipation and of the inter-scale energy transfer terms involved in the LES equations. In a second part, we analyze the topology of the velocity field around the extreme events of the Duchon-Robert term. We first use a method based on the invariants of the velocity gradient tensor (VGT) and then observe directly the velocity fields. A third part presents preliminary results of an Eulerian study of the time-evolution of the extreme events of the Duchon-Robert term.

Les équations de Navier-Stokes linéarisées sont utilisées dans l’industrie aéronautique pour l’optimisation de forme aérodynamique, l’aéroélasticité et l’aéroacoustique. Deux axes ont été suivis pour accélérer et rendre plus robuste la résolution de ces équations. Le premier est l’amélioration de la méthode itérative de résolution de systèmes linéaires utilisée, et le deuxième la formulation du schéma numérique conduisant à ce système linéaire. Dans cette première partie, l’extension de l’algorithme GMRES avec déflation spectrale à des systèmes à plusieurs seconds membres a été testée sur des cas tests industriels. L’amélioration du préconditionnement de la méthode GMRES par l’utilisation d'une méthode de Schwarz additive avec préconditionneur ILU(k) a permis une accélération du temps de résolution allant jusqu’à un facteur dix, ainsi que la convergence de cas jusqu’alors impossibles à résoudre. La deuxième partie présente d’abord un travail sur la stabilisation SUPG du schéma élément fini utilisé. La forme proposée de la matrice de stabilisation, dite complète, a donné des résultats encourageants en non-linéaire qui ne se sont pas transposés en linéarisé. Une étude sur les conditions aux limites de Dirichlet clôt cette partie. Une méthode algébrique d’imposition de conditions non homogènes sur des variables non triviales du calcul, qui a permis l’application industrielle à l’aéroacoustique, y est détaillée. De plus, la preuve est apportée que le caractère transparent d’une condition de Dirichlet homogène sur toutes les variables s’explique par le schéma SUPG. / The linearized Navier-Stokes equations are solved at Dassault Aviation within numerical simulations for aerodynamic shape optimisation, flutter calculations and aeroacoustics. In order to improve the robustness and efficiency of the Navier-Stokes solver, this thesis followed two complementary paths. The first is work on the iterative methods used to solve linear systems, and the second is the improvement of the numerical scheme underlying these linear systems. In the first part, the extension to multiple right-hand sides of the GMRES algorithm with spectral deflation was tested on industrial test cases. The use of the ILU(k) preconditioner within an additive Schwarz method led to a reduction of the time needed to solve the systems with GMRES by a factor ten. It also enabled the convergence of some numerically very difficult cases which could not be solved by the software available before this thesis. The second part of the manuscript begins with work on the SUPG method used to stabilise the finite element scheme. A new way of computing the stabilisation matrix gave promising results on non-linear cases, which were however not observed for linear cases. A study on Dirichlet boundary conditions concludes this part. An algebraic method to impose non homogeneous Dirichlet boundary conditions on non-trivial variables is introduced. It enables the use, in an industrial context, of linearized Navier-Stokes for aeroacoustics. Moreover, the transparent behaviour of a homogeneous Dirichlet boundary conditions on all variables is proved to be due to the SUPG stabilisation.

In this thesis, we study the entropy stability of the compressible Navier-Stokes model along with a modification of the model. We use the discretization of the inviscid terms with the Ismail-Roe entropy conservative flux. Then, we study entropy stability of the augmentation of viscous, heat and mass diffusion finite difference approximations to the entropy conservative flux. Additionally, we look at different choices of the diffusion coefficient that arise from combining the viscous, heat and mass diffusion terms. Lastly, we present numerical results of the discretizations comparing the effects of the viscous terms on the oscillations near the shock and show that they preserve entropy stability.

A Petrov-Galerkin method for the solution of the compressible Euler and Navier-Stokes equations is presented. The method is based on the introduction of an anisotropic balancing diffusion in the local direction of the propogation of the scalar variables. The direction in which the diffusion is added and its magnitude are automatically calculated locally using a criterion that is optimal for one-dimensional transport equations. Algorithms are developed using bilinear quadrilateral and linear triangular elements. The triangular elements are used in conjunction with an adaptive scheme using unstructured meshes. Several applications are presented that show the exceptional stability and accuracy of the method, including the ram accelerator concept for the acceleration of projectiles to ultrahigh velocities. Both two-dimensional and axisymmetric models are employed to evaluate multiple projectile configurations and flow conditions.