Soit G un groupe algébrique linéaire complexe, simple, connexe et simplement connexe. Étant donné un sous-groupe parabolique P G et un idéal nilpotent n p, il existe un morphisme propre d’effondrement G x P n = Gn. Il se factorise en une variété affine et normale N := SpecC [G P n] que nous appelons variété nilpotente. Sous l’hypothèse que l’effondrement soit génériquement fini, nous décrivons le groupe des classes de diviseurs équivariants de N à l’aide de C[N]-modules réflexifs équivariants de rang 1. Un représentant de chaque classe peut être choisi comme les sections globales d’un fibré en droite sur G x P' n' où G x P' n' = Gn' est un effondrement possiblement distinct qui se factorise à travers la même variété nilpotente. Dans le cas où le groupe G est de type A ou dans le cas d’un effondrement provenant de certains diagrammes de Dynkin pondérés spécifiques, nous démontrons que les représentants proviennent de poids qui peuvent être choisis comme dominants. Dans ce cas, nous démontrons que si le module représente un élément torsion du groupe des classes, alors il est Cohen–Macaulay. Nous en déduisons un théorème d’annulation en cohomologie. / Let G be a simple, connected, simply connected complex linear algebraic group with parabolic subgroup P G and nilpotent ideal n p. The proper collapsing map G x P n = Gn factors through the normal affine variety N := SpecC [G x P n] which is called a nilpotent variety. Assuming the collapsing is generically finite, we describe the equivariant divisor class group of N using rank 1 reflexive equivariant C[N]-modules. A representative of each class may be chosen as global sections of a line bundle over G x P' n' where G x P' n' = Gn' is a possibly distinct collapsing that factors through the same nilpotent variety. Assuming either G is of type A or the collapsing comes from specific weighted Dynkin diagrams,we showthat each representative arise from a weight that may be chosen dominant. Moreover, if the module represents a torsion element within the class group, then it is Cohen– Macaulay and we deduce a cohomological vanishing theorem.

Ce mémoire étudie la théorie de la représentation des algèbres de Temperley-Lieb à couture Bn,k (β) et plus particulièrement la famille exceptionnelle des algèbres à couture Bn,l (β). Les algèbres à couture sont paramétrées par deux entiers positifs et un paramètre complexe q ∈ ℂˣ tel que β = q + q⁻¹. La famille Bn,l (β) fait intervenir un entier positif l satisfaisant q²ˡ = 1. Les algèbres à couture ont été introduites par Morin-Duchesne, Rasmussen et Ridout et elles ont été étudiés par Langlois-Rémillard et Saint-Aubin lorsqu'elles ne font pas partie d'une certaine famille dite exceptionnelle. Il a été souligné par Morin-Duchesne, Rasmussen et Ridout que la famille manquante nécessiterait probablement une analyse particulière. Ce mémoire a comme objectif d'introduire des outils servant au traitement de la famille manquante. Plus particulièrement, en réinterprétant les relations définissant les algèbres à couture, l'algèbre Bn,l (β) est identifiée à un quotient de l'algèbre à une frontière par un idéal nilpotent engendré par un élément généralisant les projecteurs de Wenzl-Jones. / This thesis studies the representation theory of the Temperley-Lieb seam algebras Bn,k (β), more specifically the exceptionnal family of seam algebras Bn,l (β). The seam algebras are parametrized by two positive integers and one complex parameter q ∈ ℂˣ such that β = q + q⁻¹. The family Bn,l (β) involves a positive integer l satisfying q²ˡ = 1. The seam algebras were introduced by Morin-Duchesne, Rasmussen and Ridout and they were studied by Langlois-Rémillard and Saint-Aubin when they are not part of a particular case which is called exceptionnal. It was highlighted by Morin-Duchesne, Rasmussen and Ridout that the missing cases would probably need a separate analysis. This thesis has the objective of introducing tools which render the study of those missing cases possible. More specifically, by reinterpreting the defining relations of the seam algebras, the algebras Bn,l (β) are redefined as a quotient of the one boundary algebras by a nilpotent ideal generated by an element which generalises the Wenzl-Jones projectors.

This thesis deals with the theory of geometric control of the trident robot. The thesis describes the basic concepts of differential geometry and control theory, which are subsequently used for describing various mechanisms. Finally, the thesis proposes the management using inferred results.

Wir beschäftigen uns mit Problemen der algorithmischen Gruppentheorie und untersuchen dabei die Komplexität von komprimierten Versionen des Wortproblems und des Konjugationsproblems für endlich erzeugte Gruppen. Das Wortproblem fragt für eine feste, endlich erzeugte Gruppe ob ein gegebenes Wort über der Erzeugermenge das neutrale Element der Gruppe repräsentiert. Wir betrachten das gegebene Wort jedoch in einer komprimierten Form, als Straight-line Program (SLP) und untersuchen die Komplexität dieses Problems, das wir \'komprimiertes Wortproblem\' nennen. SLPs sind kontextfreie Grammatiken, die genau einen String erzeugen. Die Eingabegröße ist dabei stets die Größe des gegebenen SLPs. Eine Hauptmotivation ist dabei, dass für eine feste endlich erzeugte Gruppe das Wortproblem ihrer Automorphismengruppe durch eine Turingmaschine in Polynomialzeit auf das komprimierte Wortproblem der Gruppe selbst reduzierbar ist. Wir untersuchen das komprimierte Wortproblem für die verbreiteten Gruppenerweiterungen HNN-Erweiterungen (amalgamierte Produkte und Graphprodukte) und können zeigen, dass sich Instanzen des komprimierten Wortproblems von einer Turingmaschine in Polynomialzeit auf Instanzen des komprimierten Wortproblems der Basisgruppe (respektive Basisgruppen und Knotengruppen) reduzieren lassen. Weiterhin zeigen wir, dass das komprimierte Wortproblem für endlich erzeugte nilpotente Gruppen von einer Turingmaschine in Polynomialzeit entscheidbar ist. Wir betrachten außerdem eine komprimierte Variante des Konjugationsproblems. Das unkomprimierte Konjugationsproblem fragt für zwei gegebene Wörter über den Erzeugern einer festen endlich erzeugten Gruppe, ob sie in dieser Gruppe konjugiert sind. Beim komprimierten Konjugationsproblem besteht die Eingabe aus zwei SLPs und es wird gefragt, ob die beiden Wörter die von den SLPs erzeugt werden in der Gruppe konjugierte Elemente präsentieren. Wir konnten zeigen, dass sich das komprimierte Konjugationsproblem für Graphgruppen in Polynomialzeit entscheiden lässt. Weiterhin haben wir das Wortproblem der äußeren Automorphismengruppen von Graphprodukten endlich erzeugter Gruppen untersucht. Durch den engen Zusammenhang des komprimierten Konjugationsproblems einer Gruppe mit dem Wortproblem der äußeren Automorphismengruppe konnten wir zeigen, dass sich das Wortproblem der äußeren Automorphismengruppe eines Graphprodukts von endlich erzeugten Gruppen durch eine Turingmaschine in Polynomialzeit auf Instanzen von simultanen komprimierten Konjugationsproblemen der Knotengruppen und Instanzen von komprimierten Wortproblemen der Knotengruppen reduzieren lässt. Als Anwendung gelten obige Resultate auch für right-angled Coxetergruppen und Graphgruppen, da beide spezielle Graphprodukte sind. So folgt beispielsweise, dass das komprimierte Wortproblem einer right-angled Coxetergruppe in Polynomialzeit entscheidbar ist.

In this thesis, we defind a new invariant of quadratic Lie algebras and quadratic Lie superalgebras and give a complete study and classification of singular quadratic Lie algebras and singular quadratic Lie superalgebras, i.e. those for which the invariant does not vanish. The classification is related to adjoint orbits of Lie algebras o(m) and sp(2n). Also, we give an isomorphic characterization of 2-step nilpotent quadratic Lie algebras and quasi-singular quadratic Lie superalgebras for the purpose of completeness. We study pseudo-Euclidean Jordan algebras obtained as double extensions of a quadratic vector space by a one-dimensional algebra and 2-step nilpotent pseudo-Euclidean Jordan algebras, in the same manner as it was done for singular quadratic Lie algebras and 2-step nilpotent quadratic Lie algebras. Finally, we focus on the case of a symmetric Novikov algebra and study it up to dimension 7.

Cette thèse s'intéresse à des familles de fonctions zêta spectrales (séries de Dirichlet) qui peuvent être associées à certaines algèbres d'opérateurs sur des espaces de Hilbert. Dans ce mémoire, la principale question étudiée sur ces fonctions zêta est l'existence d'un prolongement méromorphe à partir d'un demi-plan ouvert du plan complexe au plan complexe tout entier. Généralisant une idée de Nigel Higson, on propose dans la partie I, une méthode pour prouver l'existence de ce prolongement méromorphe pour certains fonction zêta spectrales. Cette méthode s’effectue dans le cadre d'algèbres d'opérateurs différentiels généralisés et elle s'appuie sur une suite de réduction. Le théorème principal donne, sous certaines conditions, l'existence d'un prolongement méromorphe, une localisation des pôles dans les supports de suites arithmétiques et une borne supérieure pour l'ordre de ces pôles. Dans la partie II, on reformule la méthode de la partie I dans le contexte et avec le vocabulaire des triplets spectraux de Connes et Moscovici. Dans la troisième partie, on donne une application pour des fonctions zêta associées à des opérateurs de type Laplace sur des variétés lisses, compactes et sans bord. Cet exemple a été initialement traité par Nigel Higson avec cette approche en 2006. Une deuxième application traite de fonctions zêta associées au tore non commutatif. Dans la partie IV, on utilise le calcul pseudodifférentiel associé à des algèbres de Lie nilpotentes et développé par Dominique Manchon, pour construire de nouveaux triplets spectraux. Dans la partie V se trouve la principale application de la méthode exposée dans ce mémoire. On prouve l'existence du prolongement méromorphe pour des fonctions zêta provenant de représentations de Kirillov d'une classe d'algèbre de Lie nilpotentes. / The thesis is about a families of zeta functions (Dirichlet series) that may be associated to certain algebras of Hilbert space operators. In this thesis, the main question in studying these zeta functions is to establish their meromorphic continuation from a half-plane in the complex plane to the full plane.Following an idea of Nigel Higson, we develop, in part I, a method for proving the existence of a meromorphic continuation for some spectral zeta functions. The method is based on algebras of generalized differential operators. The more important tool is the reduction sequence. The main theorem states, under some conditions, the existence of a meromorphic continuation, a localization of the poles in supports of arithmetic sequences and an upper bound of their order. A formulation of the method into the framework of Connes and Moscovici, the regular spectral triples, setting in part II. In the third part, we give an application for zeta functions associate to a Laplace-type operator on a smooth, closed manifold. This example was initially treated in this way by Nigel Higson in 2006. We give another application for zeta functions associate to the noncommutative torus. In part IV, using the work of Dominique Manchon on algebras of pseudodifferential operators associated to unitary representations of nilpotent Lie group, we construct new spectral triples. In part V, set the main application of the method. We applicate the reduction method for some algebras of generalized differential operators, arising from a Kirillov representation of a class of nilpotent Lie algebras.

Dans cette thèse, nous définissons un nouvel invariant des algèbres de Lie quadratiques et des superalgèbres de Lie quadratiques et donnons une étude et classification complète des algèbres de Lie quadratiques singulières et des superalgèbres de Lie quadratiques singulières, i.e. celles pour lesquelles l’invariant n’est pas nul. La classification est en relation avec les orbites adjointes des algèbres de Lie o(m) et sp(2n). Aussi, nous donnons une caractérisation isomorphe des algèbres de Lie quadratiques 2-nilpotentes et des superalgèbres de Lie quadratiques quasi-singulières pour le but d’exhaustivité. Nous étudions les algèbres de Jordan pseudoeuclidiennes qui sont obtenues des extensions doubles d’un espace vectoriel quadratique par une algèbre d’une dimension et les algèbres de Jordan pseudo-euclidienne 2-nilpotentes, de la même manière que cela a été fait pour les algèbres de Lie quadratiques singulières et des algèbres de Lie quadratiques 2-nilpotentes. Enfin, nous nous concentrons sur le cas d’une algèbre de Novikov symétrique et l’étudions à dimension 7. / In this thesis, we defind a new invariant of quadratic Lie algebras and quadratic Lie superalgebras and give a complete study and classification of singular quadratic Lie algebras and singular quadratic Lie superalgebras, i.e. those for which the invariant does not vanish. The classification is related to adjoint orbits of Lie algebras o(m) and sp(2n). Also, we give an isomorphic characterization of 2-step nilpotent quadratic Lie algebras and quasi-singular quadratic Lie superalgebras for the purpose of completeness. We study pseudo-Euclidean Jordan algebras obtained as double extensions of a quadratic vector space by a one-dimensional algebra and 2-step nilpotent pseudo-Euclidean Jordan algebras, in the same manner as it was done for singular quadratic Lie algebras and 2-step nilpotent quadratic Lie algebras. Finally, we focus on the case of a symmetric Novikov algebra and study it up to dimension 7.

Let C be the class of finite nilpotent, solvable, symmetric, simple or semi-simple groups and n be a positive integer. We discuss the following question on group laws: What is the length of the shortest non-trivial law holding for all finite groups from the class C of order less than or equal to n?:Introduction 0 Essentials from group theory 1 The two main tools 1.1 The commutator lemma 1.2 The extension lemma 2 Nilpotent and solvable groups 2.1 Definitions and basic properties 2.2 Short non-trivial words in the derived series of F_2 2.3 Short non-trivial words in the lower central series of F_2 2.4 Laws for finite nilpotent groups 2.5 Laws for finite solvable groups 3 Semi-simple groups 3.1 Definitions and basic facts 3.2 Laws for the symmetric group S_n 3.3 Laws for simple groups 3.4 Laws for finite linear groups 3.5 Returning to semi-simple groups 4 The final conclusion Index Bibliography / Sei C die Klasse der endlichen nilpotenten, auflösbaren, symmetrischen oder halbeinfachen Gruppen und n eine positive ganze Zahl. We diskutieren die folgende Frage über Gruppengesetze: Was ist die Länge des kürzesten nicht-trivialen Gesetzes, das für alle endlichen Gruppen der Klasse C gilt, welche die Ordnung höchstens n haben?:Introduction 0 Essentials from group theory 1 The two main tools 1.1 The commutator lemma 1.2 The extension lemma 2 Nilpotent and solvable groups 2.1 Definitions and basic properties 2.2 Short non-trivial words in the derived series of F_2 2.3 Short non-trivial words in the lower central series of F_2 2.4 Laws for finite nilpotent groups 2.5 Laws for finite solvable groups 3 Semi-simple groups 3.1 Definitions and basic facts 3.2 Laws for the symmetric group S_n 3.3 Laws for simple groups 3.4 Laws for finite linear groups 3.5 Returning to semi-simple groups 4 The final conclusion Index Bibliography

Title: Distinguished elements of group rings Author: Bc. Zuzana Procházková Department: Department of Algebra Supervisor: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D., Department of Algebra Abstract: This thesis is about finding idempotents in a group ring. We describe three techniques of finding idempotents in a semisimple group ring and in the last chapter there is an attempt to find idempotents in a group ring that does not have to be semisimple. The first technique uses representations and characters of a group. The second technique finds idempotents through the use of Shoda pairs. The third technique lifts idempotent from the factor ring with the help of CNC system of ideals, which is a generalization of a well-known technique with nilpotent ideals, and it is here extended to group rings formed by non-abelian group and noncommutative ring. iii

Wir beschäftigen uns mit Problemen der algorithmischen Gruppentheorie und untersuchen dabei die Komplexität von komprimierten Versionen des Wortproblems und des Konjugationsproblems für endlich erzeugte Gruppen. Das Wortproblem fragt für eine feste, endlich erzeugte Gruppe ob ein gegebenes Wort über der Erzeugermenge das neutrale Element der Gruppe repräsentiert. Wir betrachten das gegebene Wort jedoch in einer komprimierten Form, als Straight-line Program (SLP) und untersuchen die Komplexität dieses Problems, das wir \''komprimiertes Wortproblem\'' nennen. SLPs sind kontextfreie Grammatiken, die genau einen String erzeugen. Die Eingabegröße ist dabei stets die Größe des gegebenen SLPs. Eine Hauptmotivation ist dabei, dass für eine feste endlich erzeugte Gruppe das Wortproblem ihrer Automorphismengruppe durch eine Turingmaschine in Polynomialzeit auf das komprimierte Wortproblem der Gruppe selbst reduzierbar ist. Wir untersuchen das komprimierte Wortproblem für die verbreiteten Gruppenerweiterungen HNN-Erweiterungen (amalgamierte Produkte und Graphprodukte) und können zeigen, dass sich Instanzen des komprimierten Wortproblems von einer Turingmaschine in Polynomialzeit auf Instanzen des komprimierten Wortproblems der Basisgruppe (respektive Basisgruppen und Knotengruppen) reduzieren lassen. Weiterhin zeigen wir, dass das komprimierte Wortproblem für endlich erzeugte nilpotente Gruppen von einer Turingmaschine in Polynomialzeit entscheidbar ist. Wir betrachten außerdem eine komprimierte Variante des Konjugationsproblems. Das unkomprimierte Konjugationsproblem fragt für zwei gegebene Wörter über den Erzeugern einer festen endlich erzeugten Gruppe, ob sie in dieser Gruppe konjugiert sind. Beim komprimierten Konjugationsproblem besteht die Eingabe aus zwei SLPs und es wird gefragt, ob die beiden Wörter die von den SLPs erzeugt werden in der Gruppe konjugierte Elemente präsentieren. Wir konnten zeigen, dass sich das komprimierte Konjugationsproblem für Graphgruppen in Polynomialzeit entscheiden lässt. Weiterhin haben wir das Wortproblem der äußeren Automorphismengruppen von Graphprodukten endlich erzeugter Gruppen untersucht. Durch den engen Zusammenhang des komprimierten Konjugationsproblems einer Gruppe mit dem Wortproblem der äußeren Automorphismengruppe konnten wir zeigen, dass sich das Wortproblem der äußeren Automorphismengruppe eines Graphprodukts von endlich erzeugten Gruppen durch eine Turingmaschine in Polynomialzeit auf Instanzen von simultanen komprimierten Konjugationsproblemen der Knotengruppen und Instanzen von komprimierten Wortproblemen der Knotengruppen reduzieren lässt. Als Anwendung gelten obige Resultate auch für right-angled Coxetergruppen und Graphgruppen, da beide spezielle Graphprodukte sind. So folgt beispielsweise, dass das komprimierte Wortproblem einer right-angled Coxetergruppe in Polynomialzeit entscheidbar ist.