Ce mémoire résume les travaux que nous avons réalisés de 1995 à 2010. Ces travaux ont eu pour thème l'étude et la discrétisation, d'une part, de modèles cinétiques de type Fokker-Planck ou de type Boltzmann semi-classiques et, d'autre part, de modèles fluides de type Euler ou de type Navier-Stokes à bas nombre de Mach. L'équation de Fokker-Planck étudiée modélise les collisions entre ions et électrons dans un plasma chaud, et concerne ici la fusion par confinement inertiel. Les équations de Boltzmann semi-classiques étudiées sont de deux types. Le premier type modélise la réaction de fusion thermonucléaire entre un ion deuterium et un ion tritium donnant une particule alpha et un neutron, et concerne également ici la fusion par confinement inertiel. Le deuxième type - connu sous le nom d'équations de Wang-Chang & Uhlenbeck - modélise ici les transitions d'énergie quantique dans les couches électroniques d'atomes d'uranium et de fer provoquées par les collisions entre ces mêmes atomes au sein du procédé SILVA de Séparation Isotopique par Laser sur Vapeur Atomique. Nous avons étudié les propriétés de base de ces deux types d'équations de Boltzmann semi-classiques, et, dans le cas des équations de Wang-Chang & Uhlenbeck, nous avons proposé un algorithme de couplage cinétique-fluide. L'étude de cet algorithme nous a incité à étudier la notion de relaxation dans un mélange binaire de gaz et de fluides non-miscibles, et à souligner les points communs de cette approche avec la théorie cinétique standard. L'étude de modèles moyennés pour des mélanges de fluides non-miscibles nous a amené à proposer et à discrétiser un modèle sans ondes acoustiques modélisant la déformation d'une interface entre deux fluides non-miscibles provoquée par de forts gradients thermiques à bas nombre de Mach. Puis, afin d'améliorer la précision des calculs tout en en maîtrisant le coût, nous avons également étudié la possibilité de résoudre sur un maillage dynamique de type AMR un modèle simplifié de déformation d'interface. Ces études à bas nombre de Mach nous ont également incités à analyser sur maillage cartésien le mauvais comportement à bas nombre de Mach des schémas de type Godunov appliqués au système d'Euler compressible. Enfin, nous avons justifié l'algorithme LBM dans le cas de l'équation de la chaleur.

Cette thèse porte sur les équations gyro-cinétiques et traite un développement rigoureux deslimites de l'équation de Vlasov avec différents opérateurs de collision dans un champ magnétiquefort, ainsi que du développement de méthodes numériques.On commence par une étude de l'opérateur de moyenne. L'opérateur de moyenne a été développé parM. Bostan dans le cadre général d'une équation pour laquelle une partie du transport estfortement pénalisée. Puis, on applique ces résultats généraux aux deux régimes limites que nousétudions : le régime du rayon de Larmor fini et le régime centre-guide.On s'intéresse au calcul précis et explicite de la moyenne de l'opérateur de Fokker-Planck-Landau. On se place pour cela dans le cas du régime du rayon de Larmor fini. Avant de réaliserles calculs sur l'opérateur de Fokker-Planck-Landau, qui contient des convolutions et des termesde diffusion, il semble raisonnable de calculer la moyenne de l'opérateur de relaxation deBoltzmann, dont l'expression est plus simple.On se place ensuite dans le cas du régime centre-guide et on présente un schéma numérique basésur une décomposition micro-macro de la fonction de distribution des particules qui provientd'un travail en collaboration avec N. Crouseilles et M. Lemou. On obtient un schéma uniformémentconsistant avec le modèle continu, pour tout ordre du champ magnétique. Des simulationsnumériques, basées sur cette approche, ont été réalisées à l'aide d'un code de calcul 2D quel'on a développé durant cette thèse.On présente ensuite un projet réalisé dans le cadre du Cemracs 2012, consacré à la modélisationdes écoulements sanguins dans le réseau veineux cérébral. / The main subject of this thesis is the gyro-kinetic equation. We present a rigourousdeveloppement of the Vlasov equation limits with different collision operator in a strongmagnetic field and numerical methods.We start with a study of the gyro-average operator. The average operator has been introduced byM. Bostan in the case of an equation where part of the transport is highly penalised. Then weapply our results at the two approximation we study : the finite Larmor radius approximation andthe guiding-center approximation.We first focus on the precise and explicit computation of the Fokker-Planck-Landau operatoraverage in the finite Larmor radius approximation. The Fokker-Planck-Landau operator containsconvolution and diffusion terms, it is then reasonable to first compute the average of theBoltzmann relaxation operator.We then focus on the guiding-center approximation and present a numerical scheme based on amicro-macro decomposition of the particles distribution fonction which comes from a joint workwith N. Crouseilles and M. Lemou. We obtain a scheme which is uniformly consistant with thecontinuous model for any order of the magnetic field. Numerical simulation based on thisapproach are presented.The last chapter of this thesis presents a project which was realised during the Cemracs 2012concerning the modelisation of blood flow in cerebral veins.