RODRIGUES, Jamires Ximenes. Superfícies orientáveis. 2017. 64 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-09-06T19:45:45Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_jxrodrigues.pdf: 1541911 bytes, checksum: 16ceb535d5195a8d469a18be46c393d6 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Bom dia, Estou devolvendo a dissertação de JAMIRES XIMENES RODRIGUES, pois há alguns elementos do texto que precisão ser alterados: 1- FICHA CATALOGRÁFICA ( está faltando a ficha catalográfica do trabalho, a mesma poderá ser elaborada no sistema CATALOG, no endereço eletrônico: http://fichacatalografica.ufc.br/ OBS.: a página em PDF com a ficha catalográfica deverá ser inserida antes da folha de aprovação. 2- REFERÊNCIAS e BIBLIOGRAFIA ( as referências a autores no interior do trabalho e a listagem bibliografica não estão de acordo com o padrão ABNT: No interior do texto, uma das formas de fazer referência a um autor é colocar o último sobrenome do mesmo e o ano da publicação. Ex: Lima (2010), e não Carmo [2] ou apenas um número aleatório, Ex: [8]. Além disso a listagem da Bibliografia não deve estar numerada, de acordo com o padrão ABNT. Assim retire a numeração progressiva da bibliografia e utilize outro meio para associar o link às referências no interior do texto. Atenciosamente, on 2017-09-08T11:47:07Z (GMT) / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-09-11T14:42:21Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_jxrodrigues.pdf: 1544364 bytes, checksum: dae77589d6bbe5a94020860940a57c83 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-09-11T15:28:53Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_jxrodrigues.pdf: 1544364 bytes, checksum: dae77589d6bbe5a94020860940a57c83 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-11T15:28:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_jxrodrigues.pdf: 1544364 bytes, checksum: dae77589d6bbe5a94020860940a57c83 (MD5) Previous issue date: 2017 / This work aims to present the concept of surfaces in Euclidean space and to present examples, starting from simpler cases as two-dimensional surfaces in R3, to general cases of m-dimensional surfaces in Rn. It is an introduction to the differential geometry of surfaces and of fundamental importance in the study of differentiable manifolds. The purpose is to prepare the reader for a connection with Riemannian geometry, an indispensable subject for masters and doctoral students in Mathematics. For a satisfactory understanding of this work it is necessary to be familiar with concepts of multivariable calculus and basic concepts of linear algebra. In addition, the present study presents the notion of orientable surface and non-orientable surface, presenting examples of each of these types of surfaces. / Esse trabalho tem como objetivo apresentar o conceito de superfícies no espaço euclidiano e apresentar exemplos, partindo de casos mais simples como superfícies bidimensionais em R3, a casos gerais de superfícies m-dimensionais em Rn. Trata-se de uma introdução à geometria diferencial de superfícies e de fundamental importância no estudo das variedades diferenciáveis. O propósito é preparar o leitor para uma conexão com a geometria riemanniana, estudo indispensável para alunos de mestrado e doutorado em matemática. Para um entendimento satisfatório desse trabalho é necessário estar familiarizado com conceitos de cálculo de várias variáveis e conceitos básicos de álgebra linear. Além disso, o presente estudo apresenta a noção de superfície orientável e superfície não orientável, apresentando exemplos de cada um desses tipos de superfícies.

Let K be a class of graphs. A pair (F,U) is a finite duality in K if U∈K, F is a finite set of graphs, and for any graph G in K we have G≤U if and only if F≤≰G for all F∈F, where "≤" is the homomorphism order. We also say U is a dual graph in K. We prove that the class of planar graphs has no finite dualities except for two trivial cases. We also prove that the class of toroidal graphs has no 5-colorable dual graphs except for two trivial cases. In a sharp contrast, for a higher genus orientable surface S we show that Thomassen's result (Thomassen, 1997 [17]) implies that the class, G(S), of all graphs embeddable in S has a number of finite dualities. Equivalently, our first result shows that for every planar core graph H except K1 and K4, there are infinitely many minimal planar obstructions for H-coloring (Hell and Nešetřil, 1990 [4]), whereas our later result gives a converse of Thomassen's theorem (Thomassen, 1997 [17]) for 5-colorable graphs on the torus.