京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第20152号 / 理博第4237号 / 新制||理||1609(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 堤 誉志雄, 教授 上田 哲生, 教授 國府 寛司 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

We study the regularization problem for linear, constant coefficient descriptor systems $E x^. = AX + Bu, y_1 = Cx, y_2=\Gamma x^.$ by proportional and derivative mixed output feedback. Necessary and sufficient conditions are given, which guarantee that there exist output feedbacks such that the closed-loop system is regular, has index at most one and $E +BG\Gamma$ has a desired rank, i.e. there is a desired number of differential and algebraic equations. To resolve the freedom in the choice of the feedback matrices we then discuss how to obtain the desired regularizing feedback of minimum norm and show that this approach leads to useful results in the sense of robustness only if the rank of E is decreased. Numerical procedures are derived to construct the desired feedbacks gains. These numerical procedures are based on orthogonal matrix transformations which can be implemented in a numerically stable way.

Die Fragestellung der Arbeit geht aus einem matriziellen Potenzmomentenproblem des folgenden Typs hervor: Für eine vorgegebene endliche Folge s0,...sm von q × q-Matrizen sind alle nicht-negativen Hermiteschen q × q-Maße σ auf Ω zu bestimmen, deren j-tes Moment für alle j=0,...,m-1 genau sj ist und deren m-tes Moment nichtnegativ hermitesch ist. Hier behandeln wir den Stieltjes-Fall Ω = [α, ∞) dieser Problemstellung. Die Lösungen dieses matriziellen Momentenproblems lassen sich in eindeutiger Weise mit gewissen holomorphen Matrixfunktionen, ihren sogenannten Stieltjes-Transformierten, identifizieren. Das Ziel der Betrachtungen dieser Arbeit ist, die Menge aller Werte zu charakterisieren, welche diese Stieltjes-Transformierten bei Auswertung in einem fixierten Punkt aus der oberen komplexen Halbebene annehmen können. Da sich jede Lösung eines Stieltjes-Momentenproblems so fortsetzen lässt, dass sie ein entsprechendes Hamburger-Momentenproblem löst, ist erwartbar, dass die Menge der Werte aller Stieltjes-Transformierten der Lösungen des Stieltjes-Momentenproblems in einem festen Punkt eine Teilmenge der Menge der Werte aller Stieltjes-Transformierten der Lösungen des Hamburger-Momentenproblems ist. An dieser Bemerkung anknüpfend besteht der Ansatz nun darin, das betrachtete Stieltjes-Momentenproblem auf zwei Momentenprobleme vom Hamburger-Typ zurückzuführen. Das erste der beiden ergibt sich auf natürliche Weise wie oben beschrieben. Das zweite ist einer Modifikation der vorgeschriebenen Datenfolge zuzuordnen, welche die linke Intervalgrenze des Integrationsgebiets [α, ∞) berücksichtigt. Die Menge der Werte, die von Stieltjes-Transformierten der Lösungen eines betrachteten Hamburger-Momentenproblems in einem festen Punkt angenommen werden können, stimmt mit einer Matrix-Kreisscheibe überein, deren Mittelpunkt, linker und rechter Halbradius explizit anhand der gegebenen Datenfolge ausgedrückt werden können. Ordnet man nun jedem der beiden Hamburger-Momentenprobleme, auf die das Stieltjes-Problem zurückgeführt wurde, die entsprechende Matrix-Kreisscheibe zu, so erhält man, dass die Menge, die zu charakterisieren unser Ziel ist, wie zu erwarten im Schnitt dieser beiden Matrix-Kreisscheiben liegt. Darüber hinaus zeigt sich, dass die Menge diesen Schnitt sogar ausfüllt. Der Beweis dieser Teilmengenbeziehung ist aufwendiger als die erste Richtung. Eine zentrale Rolle im Beweis nehmen gewisse Polynomsysteme mit Orthogonaleigenschaften ein. Bei der im Zentrum der Arbeit stehenden Untersuchung wurde ein Wert aus der oberen komplexen Halbebene fixiert, in welchem dann die Stieltjes-Transformierten der Lösungen eines Stieltjes-Problems ausgewertet wurden. Die analoge Fragestellung für die Wahl eines Punktes in (−∞, α) wurde zuvor mit unterschiedlichen Voraussetzungen in verschiedener Literatur behandelt. Der Fall, dass der Punkt in der unteren komplexen Halbebene liegen soll, lässt sich über ein Spiegelungsprinzip auf den Fall der oberen komplexen Halbebene zurückführen, womit dann alle Möglichkeiten, den Punkt zu fixieren, abgedeckt sind.:1. Introduction 2. Preliminaries and Notation 3. Special Classes of Matrix-Valued Functions 3.1. The Class Rq(Π+) of Matrix-Valued Herglotz-Nevanlinna Functions 3.2. Particular Subclasses of Rq(Π+) 3.3. Matrix-Valued Stieltjes Functions 4. Parameterization of Block Hankel Matrices and Related Sequences of Complex Matrices 4.1. The Sequence of H-parameters 4.2. The α-Stieltjes Parameterization 4.3. The α-Schur Transform 5. Some Considerations on Particular Matrix Polynomials 6. Special Rational Matrix-Valued Functions 7. Description of the Values of the Solutions of the Truncated Matricial Hamburger Moment Problem and Corresponding Matrix Balls 8. Pairs of Meromorphic Matrix-Valued Functions 8.1. Nevanlinna Pairs in Π+ 8.2. Nevanlinna Pairs in C \ R 8.3. Stieltjes Pairs in C \ [α, ∞) 9. A Special Quadruple of Matrix Polynomials 10. Further Identities for Matrix Polynomials 11. The [α, ∞)-Quadruple of Matrix Polynomials 12. Description of the Values of the Solutions of the Truncated Matricial Stieltjes Moment Problem and Corresponding Matrix Balls 12.1. First Discussion of the Corresponding Matrix Balls 12.2. Representation in the Case of an Odd Number of Prescribed Matricial Moments 12.2.1. Representation in the Case (sj )0j=0 of a Single Prescribed Matricial Moment 12.2.2. Explicit Connections 12.2.3. Representation as Intersection of two Matrix Balls 12.3. Representation in the Case of an Even Number of Prescribed Matricial Moments 13. Summary and Prospects A. Some Facts on Matrix Theory B. Some Facts on Orthogonal Projection Matrices C. Some Facts on the Integration Theory of Non-negative Hermitian Measures Nomenclature

Les réseaux d’alimentation d’antennes multifaisceaux sont un sous-système particulièrement important dans la mesure où ils permettent de réutiliser une même ouverture rayonnante pour l’ensemble des faisceaux à produire. Ces solutions trouvent naturellement application dans le spatial, l’espace disponible pour aménager des antennes étant fortement contraint sur les satellites. Plusieurs solutions de réseaux d’alimentation sont disponibles dans la littérature, incluant des structures quasi-optique ou lentilles et des structures guidées. Nous avons approfondie cette deuxième catégorie en étudiant différentes solutions, incluant les matrices de Blass, de Butler, de Nolen, ainsi que des structures à lois de phase uniformes. En particulier, un mode de dimensionnement des matrices de Nolen, défini comme un cas particulier asymptotique d’un algorithme de dimensionnement de matrices de Blass, a été proposé et validé expérimentalement en bande S. La flexibilité du dimensionnement des matrices de Nolen proposé a été exploitée pour concevoir une matrice à distribution d’amplitude non-uniforme, afin de réduire le niveau des lobes secondaires. Enfin, le caractère dispersif d’une alimentation en série a été utilisé pour rendre le pointage angulaire du faisceau produit par une antenne réseau linéaire indépendant de la fréquence de fonctionnement et pourrait être étendu à des matrices de Blass et Nolen. Des structures à lois de phase uniformes et à distribution d’amplitudes uniforme et gaussienne ont été approfondies, afin de mettre en évidence notamment le niveau de pertes intrinsèques. La structure à distribution d’amplitude gaussienne a été modifiée pour l’adapter à des applications d’antennes réseaux circulaires. L’ensemble des informations regroupées dans ce mémoire permet d’identifier la topologie de réseau d’alimentation la mieux adaptée à une application donnée. Une combinaison de différents concepts peut s’avérer une bonne solution dans certains cas. / Beam forming networks for multiple beam antennas are a very important antenna sub-system as they enable to reuse the same radiating aperture to produce all the beams. These solutions naturally find application in space as stringent accommodation constraints on board of satellites ask for space saving. Several concepts are available in the literature, including quasi-optic solutions and guided wave solutions. We investigated on this second category, including namely Blass, Butler and Nolen matrices as well as beam forming networks producing uniform phase distribution. In particular, we proposed a designed method, defined as an asymptotic singular case of a more general Blass matrix design procedure. Experimental validation was carried out with a specific design in S-band. Flexibility on the design of Nolen matrix has been used to generate non-uniform amplitude distribution to reduce side-lobe level. Also, natural phase dispersion of a serial feeding network has been used to produce frequency independent beam pointing linear arrays with potential application to Blass and Nolen matrices. Beam forming networks with uniform phase distribution associated to uniform and Gaussian amplitude distributions were also investigated, in particular to highlight the level of the intrinsic losses. The structure with Gaussian amplitude distribution was also modified to be adapted to circular array antennas. All this information should help to identify the best suited beam forming network concept for a given application. In some particular cases, a combination of different concepts can even be considered.

We study the regularization problem for linear, constant coefficient descriptor systems $E x^. = AX + Bu, y_1 = Cx, y_2=\Gamma x^.$ by proportional and derivative mixed output feedback. Necessary and sufficient conditions are given, which guarantee that there exist output feedbacks such that the closed-loop system is regular, has index at most one and $E +BG\Gamma$ has a desired rank, i.e. there is a desired number of differential and algebraic equations. To resolve the freedom in the choice of the feedback matrices we then discuss how to obtain the desired regularizing feedback of minimum norm and show that this approach leads to useful results in the sense of robustness only if the rank of E is decreased. Numerical procedures are derived to construct the desired feedbacks gains. These numerical procedures are based on orthogonal matrix transformations which can be implemented in a numerically stable way.

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