Η παρούσα εργασία ασχολείται με μεθόδους εύρεσης κυματικών λύσεων καθώς και λύσεων οδευόντων κυμάτων επί σειράς πολύ γνωστών μερικών διαφορικών εξισώσεων καθώς και με θεωρήματα μελέτης της ύπαρξης και της μοναδικότητας, ευστάθειας, ασυμπτωτικής συμπεριφοράς και μονοτονίας των ανωτέρω λύσεων. Θα περιοριστούμε σε μερικές ansatze μεθόδους εύρεσης κυματικών λύσεων, καθώς και στην ύπαρξη και μοναδικότητα ειδικών κατηγοριών κυματικών λύσεων. / --

This thesis discusses a novel method for modelling facial action units. It presents facial action units model based on boundary value problems for accurate representation of human facial expression in three-dimensions. In particular, a solution to a fourth order elliptic Partial Differential Equation (PDE) subject to suitable boundary conditions is utilized, where the chosen boundary curves are based on muscles movement defined by Facial Action Coding System (FACS). This study involved three stages: modelling faces, manipulating faces and application to simple facial animation. In the first stage, PDE method is used in modelling and generating a smooth 3D face. The PDE formulation using small sets of parameters contributes to the efficiency of human face representation. In the manipulation stage, a generic PDE face of neutral expression is manipulated to a face with expression using PDE descriptors that uniquely represents an action unit. A combination of the PDE descriptor results in a generic PDE face having an expression, which successfully modelled four basic expressions: happy, sad, fear and disgust. An example of application is given using simple animation technique called blendshapes. This technique uses generic PDE face in animating basic expressions.

This thesis discusses a novel method for modelling facial action units. It presents facial action units model based on boundary value problems for accurate representation of human facial expression in three-dimensions. In particular, a solution to a fourth order elliptic Partial Differential Equation (PDE) subject to suitable boundary conditions is utilized, where the chosen boundary curves are based on muscles movement defined by Facial Action Coding System (FACS). This study involved three stages: modelling faces, manipulating faces and application to simple facial animation. In the first stage, PDE method is used in modelling and generating a smooth 3D face. The PDE formulation using small sets of parameters contributes to the efficiency of human face representation. In the manipulation stage, a generic PDE face of neutral expression is manipulated to a face with expression using PDE descriptors that uniquely represents an action unit. A combination of the PDE descriptor results in a generic PDE face having an expression, which successfully modelled four basic expressions: happy, sad, fear and disgust. An example of application is given using simple animation technique called blendshapes. This technique uses generic PDE face in animating basic expressions. / Ministry of Higher Education, Malaysia and Universiti Malaysia Terengganu

Le fonctionnement d'un neurone, unité fondamentale du système nerveux, intéresse de nombreuses disciplines scientifiques. Il existe ainsi des modèles mathématiques qui décrivent leur comportement par des systèmes d'EDO ou d'EDP. Plusieurs de ces modèles peuvent ensuite être couplés afin de pouvoir étudier le comportement de réseaux, systèmes complexes au sein desquels émergent des propriétés. Ce travail présente, dans un premier temps, les principaux mécanismes régissant ce fonctionnement pour en comprendre la modélisation. Plusieurs modèles sont alors présentés, jusqu'à celui de FitzHugh-Nagumo (FHN), qui présente une dynamique très intéressante.C'est sur l'étude théorique mais également numérique de la dynamique asymptotique et transitoire du modèle de FHN en EDO, que se concentre la seconde partie de cette thèse. A partir de cette étude, des réseaux d'interactions d'EDO sont construits en couplant les systèmes dynamiques précédemment étudiés. L'étude du phénomène de synchronisation identique au sein de ces réseaux montre l'existence de propriétés émergentes pouvant être caractérisées par exemple par des lois de puissance. Dans une troisième partie, on se concentre sur l'étude du système de FHN dans sa version EDP. Comme la partie précédente, des réseaux d'interactions d'EDP sont étudiés. On entreprend dans cette partie une étude théorique et numérique. Dans la partie théorique, on montre l'existence de l'attracteur global dans l'espace L2(Ω)nd et on donne des conditions suffisantes de synchronisation. Dans la partie numérique, on illustre le phénomène de synchronisation ainsi que l'émergence de lois générales telles que les lois puissances ou encore la formation de patterns, et on étudie l'effet de l'ajout de la dimension spatiale sur la synchronisation. / The neuron, a fundamental unit in the nervous system, is a point of interest in many scientific disciplines. Thus, there are some mathematical models that describe their behavior by ODE or PDE systems. Many of these models can then be coupled in order to study the behavior of networks, complex systems in which the properties emerge. Firstly, this work presents the main mechanisms governing the neuron behaviour in order to understand the different models. Several models are then presented, including the FitzHugh-Nagumo one, which has a interesting dynamic. The theoretical and numerical study of the asymptotic and transitory dynamics of the aforementioned model is then proposed in the second part of this thesis. From this study, the interaction networks of ODE are built by coupling previously dynamic systems. The study of identical synchronization phenomenon in these networks shows the existence of emergent properties that can be characterized by power laws. In the third part, we focus on the study of the PDE system of FHN. As the previous part, the interaction networks of PDE are studied. We have in this section a theoretical and numerical study. In the theoretical part, we show the existence of the global attractor on the space L2(Ω)nd and give the sufficient conditions for identical synchronization. In the numerical part, we illustrate the synchronization phenomenon, also the general laws of emergence such as the power laws or the patterns formation. The diffusion effect on the synchronization is studied.

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Dans ce travail de recherche, nous sommes intéresses par la modélisation de l'hématopoïèse. Les cellules souches hématopoïétiques (CSH) sont des cellules indifférenciées de la moelle osseuse, possédant la capacité de se renouveler et de se différencier (pour la production des globules rouges, globules blancs et les plaquettes). Le processus de l'hématopoïèse souvent révèle des irrégularités qui causent les maladies hématologiques. En modélisant la leucémie myéloide chronique (LMC), une maladie hématologique fréquente, nous représentons l'hématopoïèse des cellules normales et cancéreuses par un système d'équations différentielles ordinaires (EDO). L'homéostasie des cellules normales et différente de l'homéostasie des cellules cancéreuses, et dépend de quelques lignées des cellules normales et cancéreuses. Nous analysons la dynamique globale du modèle pour obtenir les conditions de régénération de l'hématopoïèse ou bien la persistance de la LMC. Nous démontrons aussi que la coexistence des cellules normales et cancéreuses ne peut avoir lieu pour longtemps. Imatinib est un traitement de base de la LMC, avec un dosage variant de 400 à 1000 mg par jour. Certains patients présentent des réponses différentes à la thérapie, pouvant être hématologique, cytogénétique et moléculaire. La thérapie échoue dans deux cas: le patient demande un temps plus long pour réagir, alors il s'agit d'une réponse suboptimale; ou bien le patient résiste après une bonne réponse initiale. Pour déterminer le dosage optimal, nécessaire à la réduction des cellules cancéreuses, nous représentons les effets de la thérapie par un problème de contrôle optimal. Notre but est de minimiser le cout du traitement et le nombre des cellules cancéreuses. La réponse suboptimale, la résistance et le rétablissement sont alors obtenus suivant l'influence de l'imatinib sur les taux de division et de mortalité des cellules cancéreuses. Nous étudions par ailleurs l'hématopoïèse selon un modèle structuré en age, décrivant l'évolution des CSH normales et cancéreuses. Nous démontrons que le taux de division des CSH cancéreuses joue un rôle important dans la détermination du contrôle optimal. En contrôlant la croissance des cellules normales et cancéreuses avec compétition inter spécifique, nous démontrons que le dosage optimal dépend de l'homéostasie des CSH cancéreuses. / Modelling hematopoiesis represents a feature of our research. Hematopoietic stem cells (HSC) are undifferentiated cells, located in bone marrow, with unique abilities of self-renewal and differentiation (production of white cells, red blood cells and platelets).The process of hematopoiesis often exhibits abnormalities causing hematological diseases. In modelling Chronic Myeloid Leukemia (CML), a frequent hematological disease, we represent hematopoiesis of normal and leukemic cells by means of ordinary differential equations (ODE). Homeostasis of normal and leukemic cells are supposed to be different and depend on some lines of normal and leukemic HSC. We analyze the global dynamics of the model to obtain the conditions for regeneration of hematopoiesis and persistence of CML. We prove as well that normal and leukemic cells can not coexist for a long time. Imatinib is the main treatment of CML, with posology varying from 400 to 1000 mg per day. Some affected individuals respond to therapy with various levels being hematologic, cytogenetic and molecular. Therapy fails in two cases: the patient takes a long time to react, then suboptimal response occurs; or the patient resists after an initial response. Determining the optimal dosage required to reduce leukemic cells is another challenge. We approach therapy effects as an optimal control problem to minimize the cost of treatment and the level of leukemic cells. Suboptimal response, resistance and recovery forms are obtained through the influence of imatinib onto the division and mortality rates of leukemic cells. Hematopoiesis can be investigated according to age of cells. An age-structured system, describing the evolution of normal and leukemic HSC shows that the division rate of leukemic HSC plays a crucial role when determining the optimal control. When controlling the growth of cells under interspecific competition within normal and leukemic HSC, we prove that optimal dosage is related to homeostasis of leukemic HSC.

<p dir="ltr">In Chapter 1, we introduce geometric motions from the general perspective of gradient flows. Here we develop the basic framework in which to pose the two main results of this thesis.</p><p dir="ltr">In Chapter 2, we examine the pinch-off phenomenon for a tubular surface moving by surface diffusion. We prove the existence of a one parameter family of pinching profiles obeying a long wavelength approximation of the dynamics.</p><p dir="ltr">In Chapter 3, we study a diffusion-based numerical scheme for curve shortening flow. We prove that the scheme is one time-step consistent.</p>