Swedish students are showing a continuous deterioration of knowledge about the concept of mathematical place-value and by looking at a closer analysis, made by the TIMSS, it was made even more visible that the concept of place-value, which is associated with our positional system, is very central to students' understanding of the number concept. The PISA - report further demonstrates that it is possible to discern the deteriorating knowledge of students' perceptions of digits’ place-values in calculations of standard algorithms. The study is carried out because I want to explore as well as contribute to the research on the opportunities students are given to understand the positional system. The study aims to create knowledge on students' opportunity to understand the positional system in the sixth grade. The questions the study seeks to answer are the following:  What are the different patterns of variation the students meet during the lesson about the positional system?  Which are the critical aspects that can be discerned when listening to the students' descriptions of the positional system? To get answers to these questions, and thus fulfill the purpose of the study, different teachings have been observed and students have been interviewed. The theory of this work is variation theory. This theory was chosen because it makes it possible to understand many different ways to treat a selected subject of matter as well as to relate it to students' opportunities to learn. Results of the study show that students encounter several different parts of the pattern of variation in the teaching about the positional system, including contrast, generalization and separation. By taking in the students' descriptions of the positional system, three critical aspects could be discerned. These were the place-value together with the significance of zero in multi-digit numbers, numbers properties and lastly number sence. The conclusion is that students have different opportunities to develop an understanding of the positional system in the sixth grade. The possibilities are different depending on which critical aspects that are distinguished by the students in the education of the positional system. / Svenska elever visar kontinuerligt försämrade kunskaper kring begreppet platsvärde och vid en noggrannare granskning av TIMSS (Skolverket, 2012) synliggjordes att begreppet platsvärde, som är förknippat med vårt positionssystem, är ett centralt begrepp för elevers förståelse av talbegrepp. PISA rapporten (Skolverket, 2013) påvisar ytterligare att det går att urskilja försämrade kunskaper om elevers uppfattningar om siffrors platsvärden vid beräkningar av standardalgoritmer. Studien genomfördes för att undersöka och bidra till forskningen om vilka möjligheter elever ges till att förstå positionssystemet. Studien syftar till att bilda kunskap om elevers möjligheter att förstå positionssystemet i årskurs 6. De frågeställningar studien syftar till att besvara är:  Vilka variationsmönster möter elever i undervisning om positionssystemet?  Vilka kritiska aspekter kan urskiljas vid elevers beskrivningar av positionssystemet? För att få svar på frågeställningarna och därmed uppfylla syftet med studien har undervisning observerats och elever intervjuats. I studien finns inslag av variationsteorin. Teorin valdes för att göra det möjligt att förstå hur olika sätt att behandla ett valt ämnesinnehåll relaterar till elevers möjligheter att lära. Studiens resultat visar att elever möter olika variationsmönster i undervisning om positionssystemet, däribland kontrast, generalisering och separation. Vid elevers beskrivningar av positionssystemet kunde det urskiljas tre kritiska aspekter, positionens värde och nollans betydelse i ett flersiffrigt tal, talens egenskaper och talsortsuppfattning. Slutsatsen är att elever har olika möjligheter att utveckla förståelse för positionssystemet i årskurs 6. Möjligheterna ser olika ut beroende på vilka kritiska aspekter eleverna urskilt i undervisning om positionssystemet.

Studiens syfte är att bilda kunskap om elevers förståelse av likhetstecknet och hur undervisning om likhetstecknet i årskurs 3 kan varieras för att bli så effektiv som möjligt. Syftet ska besvaras genom frågeställningarna: vilka variationsmönster som de studerade eleverna kan möta och vilka kritiska aspekter som elever kan identifiera. Kritiska aspekter är det som elever behöver identifiera för att förstå det som ska läras. Variationsmönster innebär att det som är kritiskt i undervisningen ska varieras för att synliggöras. Studien har sin ansats i variationsteorin, där variationsmönster och kritiska aspekter är centrala begrepp. En lektion observerades i årskurs 3 och sex elever valdes ut och intervjuades om likhetstecknet. Resultatet av studien visar att eleverna mötte sex kritiska aspekter i undervisningen. I varje kritisk aspekt mötte eleverna ett eller flera variationsmönster. Studien visar också att alla de intervjuade eleverna har en relationell och instrumentell förståelse av likhetstecknet. Eleverna har förståelse av en kritisk aspekt, som den observerade lektionen inte hade berört, nämligen att alla tal måste ingå i en uppgift för att lösningen ska vara korrekt. Fyra av sex elever har förståelse av den kritiska aspekten att det ska vara ekvivalens i en kedja av likheter. Resultatet visar också att elevernas förståelse av likhetstecknet inte är beroende av att de möter variationsmönster i undervisningen, men att de möter de kritiska aspekterna på något sätt. / The aim of the study is to explore the understanding of the equal sign and how the teaching about the equal sign among third grade students can be varied to be as effective as possible.  The aim will be answered trough the questions: what patterns of variation can the studied students meet and what critical aspects have the students identified. Patterns of variation means that what is critical in the teaching should be varied to become visible. Critical aspects is what students need to identify to understand what should be learned. The foundation of the study is the Variation Theory, where patterns of variation and critical aspects are central concepts. The observations were accomplished during a third grade lesson and six students were selected for interviews about the equal sign. The result of the study shows that the students met six critical aspects during the lesson. For every critical aspect there were one or several patterns of variation that was exposed to the students. The result also states that the students who were interviewed have a relational and instrumental understanding of the equal sign. The students also have understanding of a critical aspect that they did not meet in the observed lesson, namely that all numbers have to enter in a task. Four out of six students have understanding of the critical aspect that there should be equivalence in a chain of similarities. The result also show that the students understanding of the equal sign is not dependent of that they meet patterns of variation in the teaching, but that they meet the critical aspects somehow.