Jean-Marc Fontaine a montré que la catégorie tannakienne des représentations cristallines du groupe de Galois d'un corps local K est équivalente à celle des Phi-modules filtrés sur K admissibles. De plus, la théorie de Fontaine-Laffaille, sous certaines restrictions, précise ceci à l'aide d'un foncteur V_cris qui induit une équivalence abélienne entre les réseaux fortement divisibles des Phi-modules filtrés admissibles et les réseaux galoisiens des représentations galoisiennes correspondantes. <br /><br />Le but de cette thèse est d'étudier plus en détail le foncteur V_cris. A cause des restrictions liées à la théorie de Fontaine-Laffaille, les catégories considérées pour les réseaux ne sont pas stables par produit tensoriel. Mais nous montrons que malgré ce problème, V_cris a de bonnes propriétés tannakiennes, qui conduisent à des applications intéressantes pour les représentations cristallines à valeurs dans les points sur Zp d'un groupe algébrique lisse sur Zp.<br /><br />Le point clé est la construction d'un foncteur, qui à un Phi-module filtré M (vérifiant les conditions de Fontaine-Laffaille) associe un (Phi,Gamma)-module dont la représentation galoisienne associée s'identifie fonctoriellement à V_cris(M), et qui préserve le produit tensoriel (sous certaines conditions). Ce foncteur a un lien très fort avec la théorie des modules de Wach, et c'est cela qui permet d'utiliser toute la force de l'équivalence de catégories entre les représentations galoisiennes sur Zp et les (Phi,Gamma)-modules.

Nous nous intéressons aux aspects algorithmiques de la théorie des représentations modulo p de groupes de Galois p-adiques. À cet effet, l'un des outils introduits par Fontaine est la théorie de ϕ-modules : un ϕ-module sur un corps K de caractéristique p est la donnée d'un espace vectoriel de dimension finie sur K muni d'un endomorphisme ϕ, semi-linéaire par rapport au morphisme de Frobenius sur K. Les représentations à coefficients dans un corps fini du groupe de Galois absolu de K forment une catégorie équivalente à la catégorie des ϕ-modules dits " étales " sur K. Le but des travaux rassemblés ici est donner des algorithmes pour décrire le plus complètement possible la représentation associée à un ϕ-module donné. Nous étudions en préambule les ϕ-modules sur les corps finis, ce qui nous permet d'obtenir de nouveaux résultats décrivant les polynômes tordus sur un corps fini, qui sont des ob jets utilisés notamment en théorie des codes correcteurs. Cela nous permet d'améliorer en partie l'algorithme dû à Giesbrecht pour la factorisation de ces polynômes. Nous nous intéressons ensuite à la catégorie des ϕ-modules sur un corps de séries formelles de caractéristique p. Nous donnons une classification des ob jets simples de cette catégorie lorsque le corps résiduel est algébrique- ment clos, et décrivons un algorithme efficace pour décomposer un ϕ-module en ϕ-modules " isoclines ". Nous donnons des applications à l'étude algorithmique des représentations de p-torsion de groupes de Galois p-adiques.