Les anneaux de polynômes sont l'un des outils privilégiés pour construire et étudier des familles de codes correcteurs. Nous nous proposons, dans cette thèse, d'utiliser des anneaux de Öre, qui sont des anneaux de polynômes non-commutatifs, afin de créer des codes correcteurs. Cette approche nous permet d'obtenir des familles de codes correcteurs plus larges que si l'on se restreint au cas commutatif mais qui conservent de nombreuses propriétés communes. Nous obtenons notamment un algorithme qui permet de fabriquer des codes correcteurs dont la distance de Hamming ou la distance rang est prescrite. C'est ainsi que nous avons exhibé deux codes qui améliorent la meilleure distance minimale connue pour un code de même longueur et de même dimension. L'un est de paramètres $[42,14,21]$ sur le corps $\mathbb{F}_8$ et l'autre de paramètres $[40,23,10]$ sur $\mathbb{F}_4$. La généralisation de cette étude au cas d'anneaux polynomiaux multivariés est également présentée; l'outil principal est alors la théorie des bases de Gröbner qui s'adapte dans ce cadre non-commutatif et permet de manipuler des idéaux pour créer de nouvelles familles de codes correcteurs.

Les codes espace-temps sont des codes correcteurs dédiés aux transmissions MIMO. Mathématiquement, un code espace-temps est un ensemble fini de matrices complexes. Ses performances dépendent de plusieurs critères, dont la distance minimale en métrique rang. Les codes de Gabidulin sont des codes dans cette métrique, connus pour leur optimalité et pour l'existence d'algorithmes de décodage efficaces. C'est pourquoi ils sont utilisés pour concevoir des codes espace-temps. La principale difficulté est alors de construire des matrices complexes à partir de matrices binaires. Les travaux présentés dans ce documents consistent à généraliser les codes de Gabidulin à des corps de nombres, en particulier des extensions cyclique. Nous verrons qu'ils ont les mêmes propriétés que leurs analogues sur les corps finis. Nous étudierons plusieurs modèles d'erreurs et d'effacements et présenterons un algorithme qui permettra de retrouver l'information transmise avec une complexité quadratique. En calculant dans des corps infinis, nous serons confrontés au problème de la taille des éléments, qui augmente exponentiellement au gré des calculs. Pour éviter ce désagrément, nous verrons qu'il est possible de réduire le code afin de calculer dans un corps fini. Enfin, nous proposerons une famille de codes espace-temps dont la construction est basée sur les codes de Gabidulin généralisés. Nous verrons que leurs performances sont similaires à celles des codes existants, et qu'ils disposent d'une structure supplémentaire. / Space-time codes are error correcting codes dedicated to MIMO transmissions. Mathematically, a space-time code is a finite family of complex matrices. Its preformances rely on several parameters, including its minimal rank distance. Gabidulin codes are codes in this metric, famous for their optimality and thanks to efficient decoding algorithms. That's why they are used to design space-time codes. The main difficulty is to design complex matrices from binary matrices. The aim of the works collected here is to generalize Gabidulin codes to number fields, especially cyclique extesnions. We see that they have the same properties than Gabidulin codes over finite fields. We study several errors and erasures models and introduce a quadratic algorithm to recover transmitted information. When computing in finite fields, we are faced with the growing size problem. Indeed, the size of the coefficients grows exponentielly along the algorithm. To avoid this problem, it is possible to reduce the code, in order to compute in a finite field. Finally, we design a family of space-time codes, based on generalised Gabidulin codes. We see that our codes have performances similar to those of existing codes, and that they have additional structure.

Nous nous intéressons aux aspects algorithmiques de la théorie des représentations modulo p de groupes de Galois p-adiques. À cet effet, l'un des outils introduits par Fontaine est la théorie de ϕ-modules : un ϕ-module sur un corps K de caractéristique p est la donnée d'un espace vectoriel de dimension finie sur K muni d'un endomorphisme ϕ, semi-linéaire par rapport au morphisme de Frobenius sur K. Les représentations à coefficients dans un corps fini du groupe de Galois absolu de K forment une catégorie équivalente à la catégorie des ϕ-modules dits " étales " sur K. Le but des travaux rassemblés ici est donner des algorithmes pour décrire le plus complètement possible la représentation associée à un ϕ-module donné. Nous étudions en préambule les ϕ-modules sur les corps finis, ce qui nous permet d'obtenir de nouveaux résultats décrivant les polynômes tordus sur un corps fini, qui sont des ob jets utilisés notamment en théorie des codes correcteurs. Cela nous permet d'améliorer en partie l'algorithme dû à Giesbrecht pour la factorisation de ces polynômes. Nous nous intéressons ensuite à la catégorie des ϕ-modules sur un corps de séries formelles de caractéristique p. Nous donnons une classification des ob jets simples de cette catégorie lorsque le corps résiduel est algébrique- ment clos, et décrivons un algorithme efficace pour décomposer un ϕ-module en ϕ-modules " isoclines ". Nous donnons des applications à l'étude algorithmique des représentations de p-torsion de groupes de Galois p-adiques.