L'objectif de notre travail est de réduire le temps de calcul des procédés multiphysiques incrémentaux, tout en conservant avec précision l'histoire du calcul et en prenant en compte l'aspect multiphysique. Notre choix est tombé sur la méthode MultiMaillages MultiPhysiques (MMMP). Le principe de la méthode consiste à utiliser pour chaque physique un Maillage de Calcul qui lui est optimal, et à considérer un Maillage Référence pour le stockage des résultats. Étant donné que l'application principale de notre travail de thèse est le procédé de martelage qui est un procédé couplé thermomécaniquement, on a appliqué la méthode MMMP à ce procédé en considérant 2 maillages : un maillage pour le calcul mécanique et un autre pour le calcul thermique que l'on a aussi utilisé comme Maillage Référence. La particularité du procédé de martelage est que la déformation plastique est localisée dans la zone de contact avec les outils, et à l'extérieure de cette zone la déformation est négligeable. Le maillage Mécanique est généré en se basant sur cette particularité : il est divisé en deux zones, une zone qui a une taille de mailles fine, c'est la zone de déformation (zone de contact avec les outils) et une autre, constituée par le reste du maillage c'est-à-dire là où il ne se passe presque rien ; dans cette zone on a considéré une taille déraffinée égale à deux fois la taille fine. Pour améliorer la qualité du transport qui est fait par la méthode d'interpolation inverse on a utilisé trois techniques : la première consiste à grader la zone de déformation dans le Maillage Mécanique telle qu'elle est dans le Maillage Référence, la deuxième consiste à déraffiner la zone de faible déformation par un déraffinement emboîté par nœuds, c'est à dire en éliminant des nœuds sons ajouter ou bouger les nœuds existants et la troisième concerne les variables élémentaires telles que la déformation généralisée et consiste à ne pas transporter cette variable mais à la recalculer sur le maillage d'arrivée à partir de la vitesse. Le coût élevé du transport est réduit à moins de 1 % du temps total par une technique de transport sans relocalisation qui consiste à faire la localisation du maillage d'arrivée dans le maillage de départ uniquement au premier incrément et utiliser cette localisation pour les autres incréments. Le partitionnement du Maillage Mécanique est fait indépendamment du Maillage Référence, ce qui améliore l'efficacité parallèle de la méthode. L'accélération MMMP est excellente, elle varie entre 4 et 18 en fonction du nombre de degrés de liberté, du nombre d'incréments et de la configuration de calcul. En parallèle elle chute un peu puisque le Maillage Mécanique du calcul Multimaillage a moins de degrés de liberté que le Maillage du calcul Monomaillage, cependant la méthode continue à nous offrir des accélérations même sur un très grand nombre de processeurs.

Tout matériau conducteur électrique exposé à un champ magnétique variable développe des courants de Foucault, donc s'échauffe par effet Joule. La répartition des courants de Foucault dépend de la forme de ce matériau, de celle de l'inducteur, de la fréquence et de l'amplitude du champ, ainsi que des propriétés physiques des matériaux. Le chauffage par induction est une technique bien adaptée aux traitements thermiques en métallurgie. Cependant il est nécessaire de bien dimensionner les inducteurs afin d'avoir un processus optimal. Vu le nombre de paramètres à prendre en compte pour cette étude, il semble adéquat et nécessaire d'avoir recours à des techniques numériques. Dans ce travail, après avoir décrit les phénomènes physiques et principes mathématiques, les méthodes d'analyse numériques adaptées aux problèmes magnétodynamiques et thermiques, on présente un modèle pour le couplage magnéto-thermique appliqué aux problèmes de chauffage par induction pour la trempe superficielle. Ce couplage fait appel aux méthodes intégrales de frontière associées aux impédances de surface, linéaire ou non linéaire, pour la partie électromagnétique, et aux méthodes d'éléments finis volumiques pour la partie thermique. Un problème industriel et 3D de chauffage par induction est résolu à titre d'illustration, en utilisant les logiciels PHI3D (magnétodynamique, modifié) et FLUX-EXPERT (thermique) pilotés par un superviseur qui automatise le processus.

Ce travail de recherche est une contribution au développement de la méthode Décomposition Propre Généralisée (PGD) à la résolution de problèmes de diffusion-réaction raides dédiés à la mécanique des matériaux. Ce type d’équations est notamment rencontré lors de l’oxydation des matériaux polymères et il est donc nécessaire de mettre en place un outil pour simuler ce phénomène afin de prédire numériquement le vieillissement de certains matériaux composites à matrice organique utilisés dans l’aéronautique. La méthode PGD a été choisie dans cette thèse car elle permet un gain en temps de calcul notable par rapport à la méthode des éléments finis. Néanmoins cette famille d’équations n’a jamais été traitée avec cette méthode. Cette dernière se résume à la recherche de solutions d’Équations aux Dérivées Partielles sous forme séparée. Dans le cas d’un problème 1D transitoire, cela revient à chercher la solution sous la forme d’une représentation séparée espace-temps. Dans le cadre de cette thèse, un outil numérique a été mis en place permettant une flexibilité telle que différents algorithmes peuvent être testés. La diffusion Fickienne 1D est tout d’abord évaluée avec en particulier une discussion sur l’utilisation d’un schéma de type Euler ou Runge-Kutta à pas adaptatif pour la détermination des fonctions temporelles. Le schéma de Runge-Kutta permet de réduire notablement le temps de calcul des simulations.Ensuite, la mise en place de l’outil pour les systèmes d’équation de type diffusion-réaction nécessite des algorithmes de résolution de systèmes non linéaires, couplés et raides. Pour cela, différents algorithmes ont été implémentés et discutés.Dans le cas d’un système non linéaire, l’utilisation de la méthode de Newton-Raphson dans les itérations pour la recherche du nouveau mode permet de réduire le temps de calcul en limitant le nombre de modes à considérer pour une erreur donnée. En ce qui concerne les couplages, deux stratégies de résolution ont été évaluées. Le couplage fort mène aux mêmes conclusions que dans le cas non linéaire. Les systèmes raides mais linéaires ont ensuite été traités en implémentant l’algorithme de Rosenbrock pour la détermination des fonctions temporelles. Cet algorithme permet contrairement à Euler et à Runge-Kutta de construire une solution avec un temps de calcul raisonnable liée à l’adaptation du maillage temporel sous-jacent à l’utilisation de cette méthode. La résolution d’un système d’équations de diffusion-réaction raides non linéaires utilisée pour la prédiction de l’oxydation d’un composite issu de la littérature a été testée en utilisant les différents algorithmes mis en place. Néanmoins, les non linéarités et la raideur du système génèrent des équations différentielles intermédiaires à coefficients variables pour lesquelles la méthode de Rosenbrock montre ses limites. Il sera donc nécessaire de tester ou développer d’autres algorithmes pour lever ce verrou.Mots / This work presents the development of the Proper Generalized Decomposition (PGD) method for solving stiff reaction-diffusion equations in the framework of mechanics of materials. These equations are particularly encountered in the oxidation of polymers and it is therefore necessary to develop a tool to simulate this phenomenon for example for the ageing of organic matrix composites in aircraft application. The PGD method has been chosen in this work since it allows a large time saving compared to the finite element method. However this family of equations has never been dealt with this method. The PGD method consists in approximating a solution of a Partial Differential Equation with a separated representation. The solution is sought under a space-time separated representation for a 1D transient equation.In this work, a numerical tool has been developed allowing a flexibility to test different algorithms. The 1D Fickian diffusion is first evaluated and two numerical schemes, Euler and Runge-Kutta adaptive methods, are discussed for the determination of the time modes. The Runge-Kutta method allows a large time saving. The implementation of the numerical tool for reaction-diffusion equations requires the use of specific algorithms dedicated to nonlinearity, couplingand stiffness. For this reason, different algorithms have been implemented and discussed. For nonlinear systems, the use of the Newton-Raphson algorithm at the level of the iterations to compute the new mode allows time saving by decreasing the number of modes required for a given precision. Concerning the couplings, two strategies have been evaluated. The strong coupling leads to the same conclusions as the nonlinear case. The linear stiff systems are then studied by considering a dedicated method, the Rosenbrock method, for the determination of the time modes. This algorithm allows time saving compared to the Runge-Kutta method. The solution of a realistic nonlinear stiff reaction-diffusionsystem used for the prediction of the oxidation of a composite obtained from the literature has been tested by using the various implemented algorithms. However, the nonlinearities and the stiffness of the system generate differential equations with variable coefficients for which the Rosenbrock method is limited. It will be necessary to test or develop other algorithms to overcome this barrier.