Dans cette thèse nous avons étudié, d'une part le théorème d'absorption limitepour des opérateurs de Schrödinger et de Dirac avec des potentiels oscillants. Lefait de considérer des potentiels oscillants est intéressant dans la mesure où ses opé-rateurs peuvent avoir des valeurs propres plongées dans le spectre continu (c'est lecas pour Schrödinger), ce qui est plutôt inhabituel et introduit de nouvelles di-cultés. L'étude du théorème d'absorption limite est très importante pour la théoriede la diffusion. Un intérêt particulier du sujet réside dans le fait que l'outil naturelpour procéder à l'étude en question, à savoir la théorie du commutateur de Mourre,ne s'applique pas. Une alternative récente a été développée par les co-directeurs dela thèse Thierry Jecko et Sylvain Golénia. Elle a été appliquée à un opérateur deSchrödinger avec potentiel oscillant. Il s'agit donc d'améliorer les résultats sur lesopérateurs de Schrödinger et de traiter le cas des opérateurs de Dirac. D'autre part,nous avons montré un résultat de type Helffer-Sjöstrand pour les opérateurs unitaires.Et pour finir, nous avons pu montrer l'existence des valeurs propre plongéespour l'opérateur de Dirac avec des potentiels relativement compact par rapport àl'opérateur de Dirac libre sur son spectre essentiel. / In this thesis, we have studied the limit absorption theorem for Schrödinger andDirac operators with oscillating potentials. Considering oscillating potentials is interestinginsofar as its operators can have of the eigenvalues plunged into the continuousspectrum (this is the case for Schrödinger), which is rather unusual and introducesnew dificulties. The study of the limit absorption theorem is very important for thetheory of diffusion. A particular interest of the subject lies in the fact that the naturaltool for the study in question, namely the Mourre switch theory, does not apply. Arecent alternative has been developed by the co-directors Thierry Jecko and SylvainGolénia. It has been applied to a Schrödinger operator with oscillating potential. Itis therefore a question of improving the results on the Schrödinger operators and oftreating the case of Dirac operators. Secondly, we have shown a Helffer-Sjöstrandformula for the unit operators and finally we have been able to show the existenceof the eigenvalues plunged for the Dirac operator with relatively compact potentialsrelative to the operator of free Dirac on its essential spectrum.

Cette thèse montre en quoi la quantification de Berezin--Toeplitz peut être incorporée dans le cadre de la géométrie non commutative.Tout d'abord, nous présentons les principales notions abordées : les opérateurs de Toeplitz (classiques et généralisés), les quantifications géométrique et par déformation, ainsi que quelques outils de la géométrie non commutative.La première étape de ces travaux a été de construire des triplets spectraux (A,H,D) utilisant des algèbres d'opérateurs de Toeplitz sur les espaces de Hardy et Bergman pondérés relatifs à des ouverts Omega de Cn à bord régulier et strictement pseudoconvexes, ainsi que sur l'espace de Fock sur Cn. Nous montrons que les espaces non commutatifs induits sont réguliers et possèdent la même dimension que le domaine complexe sous-jacent. Différents opérateurs D sont aussi présentés. Le premier est l'opérateur de Dirac usuel sur L2(Rn) ramené sur le domaine par transport unitaire, d'autres sont formés à partir de l'opérateur d'extension harmonique de Poisson ou de la dérivée normale complexe sur le bord de Omega.Dans un deuxième temps, nous présentons un triplet spectral naturel de dimension n+1 construit à partir du produit star de la quantification de Berezin--Toeplitz. Les éléments de l'algèbre correspondent à des suites d'opérateurs de Toeplitz dont chacun des termes agit sur un espace de Bergman pondéré. Plus généralement, nous posons des conditions pour lesquelles une somme infinie de triplets spectraux forme de nouveau un triplet spectral, et nous en donnons un exemple. / The results of this thesis show links between the Berezin--Toeplitz quantization and noncommutative geometry.We first give an overview of the three different domains we handle: the theory of Toeplitz operators (classical and generalized), the geometric and deformation quantizations and the principal tools we use in noncommutative geometry.The first step of the study consists in giving examples of spectral triples (A,H,D) involving algebras of Toeplitz operators acting on the Hardy and weighted Bergman spaces over a smoothly bounded strictly pseudoconvex domain Omega of Cn, and also on the Fock space over Cn. It is shown that resulting noncommutative spaces are regular and of the same dimension as the complex domain. We also give and compare different classes of operator D, first by transporting the usual Dirac operator on L2(Rn) via unitaries, and then by considering the Poisson extension operator or the complex normal derivative on the boundary.Secondly, we show how the Berezin--Toeplitz star product over Omega naturally induces a spectral triple of dimension n+1 whose construction involves sequences of Toeplitz operators over weighted Bergman spaces. This result led us to study more generally to what extent a family of spectral triples can be integrated to form another spectral triple. We also provide an example of such triple.

Dans ce travail, nous nous intéressons à l’analyse spectrale des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels semi-classiques. Dans la première partie, nous étudions la généralisation du théorème d’Egorov en temps longs dans le cas où l’Hamiltonien quantique qui génère l’évolution en temps et l’observable quantique initiale sont deux opérateurs pseudodifférentiels semiclassiques associés à des symboles à valeurs matricielles. Sous une condition d’hyperbolicité sur le symbole principal de l’Hamiltonien qui assure l’existence des projecteurs semi-classiques, et pour une classe d’observables "semi-classiquement" diagonales par blocs par rapport à ces projecteurs, nous démontrons un théorème de type Egorov valable pour un temps long d’ordre log(h-1) connu comme le temps d’Ehrenfest. Ici h 0 est le paramètre semi-classique. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la théorie spectrale et la théorie de la diffusion pour des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels auto-adjoints. Nous développons une approche stationnaire pour l’étude de la fonction de décalage spectral associée à une paire d’opérateurs de Schrödinger semi-classiques à potentiels matriciels. Une asymptotique de type Weyl avec reste optimal sur la fonction de décalage spectral est établie, et sous l’hypothèse d’existence d’une fonction fuite scalaire, un développement asymptotique complet en puissancesde h au sens fort sur sa dérivée est obtenu. Ce dernier résultat est une généralisation au cas matriciel d’un résultat de Robert et Tamura établi dans le cas scalaire près des énergies non-captives. Notre méthode indépendante du temps nous permet de traiter certains potentiels avec des croisements des valeurs propres. / In this work, we are interested in the spectral analysis of systems of semiclassical pseudodifferentialoperators. In the first part, we study the extension of the long time semiclassical Egorovtheorem in the case where the quantum Hamiltonian which generates the time evolution andthe initial quantum observable are two semiclassical pseudodifferential operators with matrixvaluedsymbols. Under an hyperbolicity condition on the principal symbol of the Hamiltonianwhich ensures the existence of the semiclassical projections, and for a class of observable thatare "semi-classically" block-diagonal with respect to these projections, we prove an Egorov theoremvalid in a large time interval of order log(h-1) known as the Ehrenfest time. Here h & 0is the semiclassical parameter.In the second part, we are interested in the spectral and scattering theories for self-adjointsystems of pseudodifferential operators. We develop a stationary approach for the study of thespectral shift function (SSF) associated to a pair of self-adjoint semiclassical Schrödinger operatorswith matrix-valued potentials. We prove a Weyl-type asymptotics with sharp remainderestimate on the SSF, and under the existence of a scalar escape function, a pointwise completeasymptotic expansion on its derivative. This last result is a generalisation in the matrix-valuedcase of a result of Robert and Tamura established in the scalar case near non-trapping energies.Our time-independent method allows us to treat certain potentials with energy-level crossings