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Titre de l'écran-titre (visionné le 29 février 2024) / La théorie quantique des champs (QFT), née de la combinaison entre la mécanique quantique et de la relativité restreinte, est aujourd'hui l'approche la plus fondamentale utilisée en physique théorique. Les théories conformes des champs (CFTs) sont des cas particuliers de QFTs qui possèdent des symétries conformes supplémentaires qui sont très intéressantes puisqu'elles nous permettent de résoudre des CFTs sans avoir recours à leur lagrangien. En effet, elles permettent de fixer complètement la forme des fonctions de corrélation à 2 et 3 points. Pour les fonctions de corrélations à 4 points et plus, le développement en produit d'opérateurs (OPE) est l'un des outils les plus importants, qui nous permet de réécrire le produit de deux champs en une somme d'un champ sur lequel s'applique un opérateur différentiel. L'OPE nous permet de réduire les fonctions de corrélation à plusieurs points en une somme de fonctions de corrélation plus petites dont nous connaissons la forme. Cependant, l'opérateur différentiel apparaissant dans l'OPE est plus facilement utilisable dans l'espace de plongement, qui est un espace à d+2 dimensions, dans lequel l'algèbre conforme vit naturellement et qui simplifie grandement les calculs impliquant l'OPE. Pourtant, il existe peu de résultats analytiques utilisant l'OPE directement dans l'espace de plongement pour calculer les fonctions de corrélations à 4 points non scalaires. Le but de mon projet est de calculer les fonctions de corrélation à 3 points en utilisant l'OPE directement dans l'espace de plongement, afin de mieux comprendre la base de l'OPE dans l'espace de plongement pour éventuellement calculer les fonctions de corrélations à 4 points. Nous avons alors trouvé que les fonctions de corrélations à 3 points s'écrivent comme une somme de fonctions de Gegenbauer, ce qui était effectivement ce à quoi on s'attendait. Cela est la première étape pour trouver la meilleure base de l'OPE pour les fonctions de corrélation à 3 points qui nous permettrait de diagonaliser un ensemble complet d'opérateurs qui commutent puis d'éventuellement obtenir une base d'OPE pour toutes les fonctions de corrélation de théories conformes des champs. / Quantum field theory (QFT), born from the combination of quantum mechanics and special relativity, is today the most fundamental approach used in theoretical physics. Conformal field theories (CFTs) are special cases of QFTs which have additional conformal symmetries which are very interesting since they allow us to solve CFTs without resorting to their Lagrangian. Indeed, they make it possible to completely fix the form of the correlation functions at 2 and 3 points. For correlation functions with 4 points and more, operator product expansion (OPE) is one of the most important tools, which allows us to rewrite the product of two fields into a sum of a field over which applies a differential operator. OPE allows us to reduce multipoint correlation functions to a sum of smaller correlation functions whose form we know. However, the differential operator appearing in the OPE is more easily usable in the embedding space, which is a (d + 2)-dimensional space, in which conformal algebra naturally lives and which greatly simplifies calculations involving the OPE. However, there are few analytical results using the OPE directly in the embedding space to compute nonscalar 4-point correlation functions. The goal of my project is to compute the 3-point correlation functions using the OPE directly in the embedding space, in order to better understand the basis of the OPE in the embedding space to eventually compute the 4-point correlation functions. We have found that the 3-point correlation functions are expressible as a sum of Gegenbauer functions, which was indeed what we expected. This is the first step in finding the best basis of the OPE for the 3-point correlation functions which would allow us to diagonalize a complete set of commuting operators and then eventually obtain a basis of the OPE for all the functions of correlation of conformal field theories.

L'objectif de cette thèse est l'étude des jeux différentiels stochastiques à information incomplète. Nous considérons un jeu à deux joueurs adverses qui contrôlent une diffusion afin de minimiser, respectivement de maximiser un paiement spécifique. Pour modéliser l'incomplétude des informations, nous suivrons la célèbre approche d'Aumann et Maschler. Nous supposons qu'il existe des états de la nature différents dans laquelle le jeu peut avoir lieu. Avant que le jeu commence, l'état est choisi au hasard. L'information est ensuite transmise à un joueur alors que le second ne connaît que les probabilités respectives pour chaque état.Dans cette thèse nous établissons une représentationduale pour les jeux différentiels stochastiques à information incomplète. Ici, nous utilisons largement la théorie des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs), qui se révèle être un outilindispensable dans cette étude. En outre, nous montrons comment, sous certaines restrictions, cette représentation permetde construire des stratégies optimales pour le joueur informé. Ensuite, nous donnons, en utilisant la représentation duale, une preuve particulièrement simple de la semiconvexité de la fonction valeur des jeux différentiels à information incomplète.Un autre partie de la thèse est consacré à des schémas numériques pour les jeux différentiels stochastiques à informationincomplète. Dans la dernière partie nous étudions des jeux d'arrêt optimal en temps continue, appelés jeux de Dynkin, à information incomplète. Nous établissons également une représentation duale, qui est utilisé pour déterminer des stratégies optimales pour le joueur informé dans ce cas.

Cette thèse articule plusieurs questions importantes dans les opérations durables et la gestion de la chaîne d'approvisionnement, non seulement afin de fournir des idées pour améliorer la performance des entreprises, mais aussi pour inciter ces dernières à adopter les moyens appropriés pour un meilleur environnement de notre société. Le lien entre le niveau de l'entreprise et le niveau de la société est que l'amélioration de la performance écologique par une meilleure gestion des opérations dans les entreprises et les chaînes d'approvisionnement est un élément indispensable pour améliorer l'environnement dans notre société. Prenons la Chine comme exemple. Depuis quelques années, le gouvernement a commencé à favoriser toutes les initiatives pour résoudre les problèmes de pollution de l'air. Un moyen important et utile est de mettre en place une réglementation stricte et de surveiller les efforts des entreprises qui seront passibles d'amendes sérieuses si certaines normes ne sont pas respectées par des inspections aléatoires. Par conséquent, les entreprises doivent coopérer pour améliorer leur rentabilité et, plus important encore, leurs impacts environnementaux. Grâce à cet effort prolongé, malgré le fait que la situation future est incertaine, la qualité de l'air s'est progressivement améliorée en Chine. Cette thèse, dans un cadre plus général, vise à fournir aux entreprises des informations importantes afin qu'elles soient non seulement en mesure de respecter la réglementation, mais aussi en mesure d'apporter véritablement leur contribution à la construction d'un environnement meilleur pour les générations futures. Notre objectif fondamental est d'obtenir une compréhension approfondie des compromis auxquels les entreprises sont confrontées, de modéliser les problèmes de recherche de solutions possibles et d'aider les entreprises/chaînes d'approvisionnement à améliorer leur performance d'un point de vue théorique. Ensuite, la thèse aidera indirectement les entreprises à réaliser l'importance du développement de moyens de gestion durable des opérations et de la chaîne d'approvisionnement sur notre société. La thèse est organisée comme la structure suivante. Le chapitre 3 est le premier essai, Environmental Collaboration and Process Innovation in Supply Chain Management with Coordination. Le chapitre 4 comprend le contenu du deuxième essai, Remanufacturing of Multi-Component Systems with Product Substitution, et le troisième essai, Joint Dynamic Pricing and Return Quality Strategies Under Demand Cannibalization , est présenté au chapitre 5. Le chapitre 6 donne les remarques finales générales des trois essais, suivies de la liste de référence, et les annexes. / This thesis articulates several important issues in sustainable operations and supply chain management not only to provide insights for enhancing the performance of firms but also to appeal to the enterprises to adopt appropriate means for a better environment of our society. The link from firm level to society level is that, to improve the green performance through better operations management efficiency in firms and supply chains, is an indispensable element to ameliorate the environment in our society. Taking China as an example. Since a few years ago (The Straitstimes, 2017; Stanway & Perry, 2018), the government started to spare no effort in resolving the air pollution problems. An important and useful means is to put strict regulations and monitoring the efforts of firms which will face serious fine if certain standards are not met by random inspection. Therefore, firms have to cooperate for the betterment of its profitability and, more importantly, the environmental impacts. Throughout the endeavor, despite the uncertain future situation, the air quality has gradually improved in China (Zheng, 2018). This thesis, in a more general setting, aims to provide important insights to firms so that they are not only able to meet the regulations but genuinely to make contributions to building a better environment for our future generations. Basically, our goal is to obtain deep understanding of the trade-offs with which companies are faced, and to model the problems for seeking possible solutions and helping firms/supply chains to enhance their performance from a theoretical point of view. Then, indirectly, the work will help firms to realize the importance of developing sustainable operations and supply chain management means on our society. The structure of the thesis is organized as follows. Chapter 2 introduces the thesis in French. Chapter 3 is the first essay, Environmental Collaboration and Process Innovation in Supply Chain Management with Coordination. Chapter 4 includes the contents of the second essay, Remanufacturing of Multi-Component Systems with Product Substitution , and the third essay, Joint Dynamic Pricing and Return Quality Strategies Under Demand Cannibalization, is introduced in Chapter 5. Chapter 6 gives the general concluding remarks of the three essays which is followed by the reference list and the appendices.

La recherche de cycles limites pour des sytèmes polynômiaux du plan est historiquement motivée par le 16e problème de Hilbert. Les résultats obtenus dans cette thèse concernent des systèmes différentiels quadratiques intégrables perturbés pour lesquels on met en oeuvre une adaptation d'un algorithme théorique proposé par Jean-Pierre Françoise permettant le calcul des dérivées successives de l'application de premier retour, encore appelées fonctions de Melnikov. Le premier exemple étudié est de type Liénard et présente un centre en l'origine. Le calcul par deux méthodes différentes de la première fonction de Melnikov assure l'existence d'un cycle limite pour le système perturbé. Dans certains cas, on calcule les fonctions de Melnikov d'ordre supérieur et on donne des conditions pour lesquelles le système reste à centre. Le second exemple est issu d'une équation d'Abel remarquée par Liouville, dont l'étude des singularités à l'infini fait apparaître une singularité non hyperbolique avec domaine elliptique. On perturbe quadratiquement une forme normale quadratique présentant cette singularité. Le calcul des trois premières fonctions de Melnikov assure l'existence de perturbations faisant apparaître deux cycles limites. D'autre part, on est en mesure de donner certains cas intégrables ainsi que la nature algébrique des fonctions de Melnikov d'ordre supérieur. Dans le troisième exemple, on étudie une famille de systèmes présentant soit une singularité avec deux secteurs elliptiques, soit un centre et une singularité avec un domaine elliptique. On espère trouver une perturbation quadratique générant quatre cycles limites imbriqués deux à deux. L'étude des fonctions de Melnikov jusqu'à l'ordre deux ne révèle cependant que l'existence de perturbations pour lesquelles on a deux cycles autour de l'un des centres et un seul autour de l'autre.

Dans un premier temps, on considère un hamiltonien complètement intégrable régulier sur une variété symplectique et on cherche à caractériser les perturbations de ce hamiltonien qui sont des déformations, i.e qui restent complètement intégrables après l'ajout de la perturbation. Après avoir explicité la classe d'hamiltoniens non-dégénérés considérée et conjecturé la forme générale des déformations régulières, on donne les conditions formelles dans le paramètre de perturbation pour que le hamiltonien reste complètement intégrable régulier ou singulier. Dans un deuxième temps, on considère un système complètement intégrable semi-classique décrit par un opérateur pseudo-différentiel sur le tore et on étudie le spectre d'une perturbation de cet opérateur. On utilise pour cela une méthode de forme normale qui met l'opérateur sous une forme simple près de chaque résonance. Cette forme normale est ensuite utilisée pour construire des quasimodes de l'opérateur perturbé

La théorie des codes géométriques s'est développée au début des années 80 sur l'impulsion d'un article de V.D. Goppa publié en 1981. Etant donnée une courbe algébrique projective lisse X sur un corps fini, on dispose de deux constructions de codes correcteurs d'erreurs. Une construction dite fonctionnelle qui fait intervenir certaines fonctions rationnelles sur X et une construction différentielle qui fait appel à certaines 1-formes différentielles rationnelles sur X . L'étude de ces codes construits sur des courbes a donné lieu à la publication de plusieurs centaines d'articles. Parallèlement à ces travaux, une généralisation de la construction fonctionnelle à des variétés algébriques de dimension quelconque est proposée par Y. Manin dans un article publié en 1984. On dénombre quelques dizaines de travaux publiés portant sur l'étude de tels codes. Cependant, aucun développement n'a été effectué dans le sens d'une généralisation de la construction différentielle. Dans cette thèse nous proposons une construction différentielle de codes sur des surfaces algébriques. Nous étudions ensuite les propriétés de ces codes et plus particulièrement leurs relations avec les codes fonctionnels. De façon un peu surprenante, on observe l'apparition d'une différence majeure avec le cas des courbes. En effet, si sur une courbe l'orthogonal d'un code fonctionnel est différentiel, ce fait est en général faux sur une surface. Ce résultat motive l'étude des orthogonaux de codes fonctionnels. Des formules pour l'estimation de la distance minimale de tels codes sont données en utilisant des propriétés de systèmes linéaires sur une variété. On montre également que, sous certaines conditions sur la surface, ces codes sont somme de codes différentiels et que des réponses à certains problèmes ouverts de géométrie algébrique "à la Bertini" fourniraient des informations supplémentaires sur les paramètres de ces codes.

L'objectif de cette thèse est l'étude des jeux différentiels stochastiques à information incomplète. Nous considérons un jeu à deux joueurs adverses qui contrôlent une diffusion afin de minimiser, respectivement de maximiser un paiement spécifique. Pour modéliser l'incomplétude des informations, nous suivrons la célèbre approche d'Aumann et Maschler. Nous supposons qu'il existe des états de la nature différents dans laquelle le jeu peut avoir lieu. Avant que le jeu commence, l'état est choisi au hasard. L'information est ensuite transmise à un joueur alors que le second ne connaît que les probabilités respectives pour chaque état.Dans cette thèse nous établissons une représentationduale pour les jeux différentiels stochastiques à information incomplète. Ici, nous utilisons largement la théorie des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs), qui se révèle être un outilindispensable dans cette étude. En outre, nous montrons comment, sous certaines restrictions, cette représentation permetde construire des stratégies optimales pour le joueur informé. Ensuite, nous donnons, en utilisant la représentation duale, une preuve particulièrement simple de la semiconvexité de la fonction valeur des jeux différentiels à information incomplète.Un autre partie de la thèse est consacré à des schémas numériques pour les jeux différentiels stochastiques à informationincomplète. Dans la dernière partie nous étudions des jeux d'arrêt optimal en temps continue, appelés jeux de Dynkin, à information incomplète. Nous établissons également une représentation duale, qui est utilisé pour déterminer des stratégies optimales pour le joueur informé dans ce cas. / The objective of this thesis is the study of stochastic differential games with incomplete information. We consider a game with two opponent players who control a diffusion in order to minimize, respectively maximize a certain payoff. To model the information incompleteness we will follow the famous ansatz of Aumann and Maschler. We assume that there are different states of nature in which the game can take place. Before the game starts the state is chosen randomly. The information is then transmitted to one player while the second one only knows the respective probabilities for each state. In this thesis we establish a dual representation for stochastic differential games with incomplete information. Therein we make a vast use of the theory of backward stochastic differential equations (BSDEs), which turns out to be an indispensable tool in this study. Moreover we show how under some restrictions that this representation allows to construct optimal strategies for the informed player.Morover we give - using the dual representation - a strikingly simple proof for semiconvexity of the value function of differential games with incomplete information. Another part of this thesis is devoted to numerical schemes for stochastic differential games with incomplete information. In the last part we investigate continuous time optimal stopping games, so called Dynkin games, with information incompleteness. We show that these games have a value and a unique characterization by a fully non-linear variational PDE for which we provide a comparison principle. Also we establish a dual representation for Dynkin games with incomplete information.

Ce travail se propose d'étudier deux problèmes complémentaires concernant des systèmes différentiels à coefficients aléatoires étudiés au moyen de simulations de Monte Carlo. Le premier problème consiste à calculer la loi à un instant t* de la solution d'une équation différentielle à coefficients aléatoires. Comme on ne peut pas, en général, exprimer cette loi de probabilité au moyen d'une fonction connue, il est nécessaire d'avoir recours à une approche par simulation pour se faire une idée de cette loi. Mais cette approche ne peut pas toujours être utilisée à cause du phénomène d'explosion des solutions en temps fini. Ce problème peut être surmonté grâce à une compactification de l'ensemble des solutions. Une approximation de la loi au moyen d'un développement de chaos polynomial fournit un outil d'étude alternatif. La deuxième partie considère le problème d'estimer les coefficients d'un système différentiel quand une trajectoire du système est connue en un petit nombre d'instants. On utilise pour cela une méthode de Monté Carlo très simple, la méthode de rejet, qui ne fournit pas directement une estimation ponctuelle des coefficients mais plutôt un ensemble de valeurs compatibles avec les données. L'examen des propriétés de cette méthode permet de comprendre non seulement comment choisir les différents paramètres de la méthode mais aussi d'introduire quelques options plus efficaces. Celles-ci incluent une nouvelle méthode, que nous appelons la méthode de rejet séquentiel, ainsi que deux méthodes classiques, la méthode de Monte-Carlo par chaînes de Markov et la méthode de Monte-Carlo séquentielle dont nous examinons les performances sur différents exemples. / This work addresses two complementary problems when studying differential systems with random coefficients using a simulation approach. In the first part, we look at the problem of computing the law of the solution at time t* of a differential equation with random coefficients. It is shown that even in simplest cases, one will usually obtain a random variable where the pdf cannot be computed explicitly, and for which we need to rely on Monte Carlo simulation. As this simulation may not always be possible due to the explosion of the solution, several workarounds are presented. This includes displaying the histogram on a compact manifold using two charts and approximating the distribution using a polynomial chaos expansion. The second part considers the problem of estimating the coefficients in a system of differential equations when a trajectory of the system is known at a set of times. To do this, we use a simple Monte Carlo sampling method, known as the rejection sampling algorithm. Unlike deterministic methods, it does not provide a point estimate of the coefficients directly, but rather a collection of values that “fits” the known data well. An examination of the properties of the method allows us not only to better understand how to choose the different parameters when implementing the method, but also to introduce more efficient methods. This includes a new approach which we call sequential rejection sampling and methods based on the Markov Chain Monte Carlo and Sequential Monte Carlo algorithms. Several examples are presented to illustrate the performance of all these methods.