Définies il y a quelques décennies, les martingales dans les variétés sont maintenant des objets bien connus. Des questions très simples restent en suspens cependant. Par exemple,étant donnée une variable aléatoire à valeurs dans une variété complète, et une filtration continue(dont toute martingale réelle possède une version continue), existe-t-il une martingale continue dans cette variété qui a pour valeur terminale donnée cette variable aléatoire ? Que dire des semimartingales de valeur terminale et dérives données ? Le but principal de cette thèse est d’apporter des réponses à ces questions. Sous des hypothèses de géométrie convexe, des réponses sont données dans les articles de Kendall (1990), Picard (1991), Picard (1994), Darling (1995) ou encore Arnaudon (1997). Le cas des semimartingales a plus largement été traité par Blache (2004). Les martingales dans les variétés permettent de définir les barycentres associés à une filtration, qui sont parfois plus simples à calculer que les barycentres usuels ou les moyennes, et qui possèdent une propriété d’associativité. Ils sont fortement reliés à la théorie du contrôle, à l’optimisation stochastique, ainsi qu’aux équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs). La résolution du problème avec des arguments géométriques donne par ailleurs des outils pour résoudre des EDSRs quadratiques multidimensionnelles.Au cours de cette thèse deux principales méthodes ont été employées pour étudier le problème de l’existence de martingale de valeur terminale donnée. La première est basée sur un algorithme stochastique. La variable aléatoire que l’on cherchera à atteindre sera d’abord déformée en une famille x (a) de classe C 1, et on se posera la question suivante : existe-t-il une martingale X(a) de valeur terminale x (a) ? Une méthode de tir, selon un principe similaire au tir géodésique déterministe, sera employée relativement au paramètre a en direction de la variable aléatoire x (a). La seconde est basée sur la résolution générale d’une EDSR multidimensionnelle à croissance quadratique. La principale problématique de cette partie sera d’adapter au cadre multidimensionnel une stratégie récente développée par Briand et Elie (2013) permettant de traiter les EDSRs quadratiques multidimensionnelles. Cette approche nouvelle permet de retrouver la plupart des résultats partiels obtenus par des méthodes différentes. Au-delà de l’intérêt unifiant,cette nouvelle approche ouvre la voie à de potentiels futurs travaux. / Defined several decades ago, martingales in manifolds are very canonical objects. About these objects very simple questions are still unresolved. For instance, given a random variable with values in a complete manifold and a continuous filtration (one with respect to which all real-valued martingales admit a continuous version), does there exist a continuous martingale in the manifold with terminal value given by this random variable ? What about semimartingales with prescribed drift and terminal value ? The main aim of this thesis is to provide answers to these questions. Under convex geometry assumption, answers are given in the articles of Kendall (1990), Picard (1991), Picard (1994), Darling (1995) or Arnaudon (1997). The case of semimartingales was widely treated by Blache (2004). The martingales in the manifolds make it possible to define the barycenters associated to a filtration, which are sometimes simpler to compute than the usual barycenters or averages, and which have an associative property. They are strongly related to control theory, stochastic optimization, and backward stochastic differential equations (BSDEs). Solving the problem with geometric arguments also gives tools for solving multidimensional quadratic EDSRs.During the thesis, two methods have been used for studying the problem of existence of a martingale with prescribed terminal value. The first one is based on a stochastic algorithm. The random variable that we try to reach will be deformed into a $mcC^1$-family $xi(a)$, and we deal with the following newer problem: does there exist a martingale $X(a)$ with terminal value $xi(a)$ ? A shooting method, using the same kind of principle as the deterministic geodesic shooting, will be used with respect to a parameter $a$ towards $xi(a)$.The second one is the resolution of a multidimensional quadratic BSDE. The aim of this part will be to adapt to the multidimensional framework a recent strategy developed by Briand and Elie (2013) to treat multidimensional quadratic BSDEs. This new approach makes it possible to rediscover the results obtained by different methods. Beyond the unification, this new approach paves the way for potential future works.

On s'intéresse dans cette thèse à la couverture des produits dérivés dans des marchés incomplets. L'approche choisie peut se voir comme une extension des travaux de M. Schweizer sur la minimisation locale du risque quadratique. En effet, tout en restant dans le cadre de la modélisation des actifs par des semimartingales, notre méthode consiste à remplacer le critère de risque quadratique par un critère de risque plus général, sous la forme d'une fonctionnelle convexe du coût local. Nous obtenons d'abord des résultats d'existence, d'unicité et de caractérisation des stratégies optimales dans un marché sans friction, en temps discret et en temps continu. Puis nous explicitons ces stratégies dans le cadre de modèles de diffusion avec et sans sauts. Nous étendons également notre méthode au cas où la liquidité n'est plus infinie. Enfin nous montrons par le biais de simulations numériques les effets du choix de la fonctionnelle de risque sur la constitution du portefeuille optimal. / This thesis deals with the issue of hedging contingent claims in incomplete markets. The way we tackle this issue may be seen as an extension of M. Schweizer's work on quadratic local risk-minimization. Indeed, while still modelling assets as semimartingales, our method relies on the introduction of a convex function of the local costs to assess risk, thus relaxing the quadratic assumption. The results we obtain are existence and uniqueness results first and characterizations of optimal strategies in a frictionless market, both in discrete and continuous time settings. We then make those strategies explicit by using diffusion models with and without jumps. We further extend our approach in the case when liquidity is given through a stochastic supply curve. Finally we show the effect of the choice of different risk functions on the optimal portfolio by numerically solving the optimality equations.

Les percées du professeur Manjul Bhargava constituent non seulement une nouvelle approche des formes quadratiques binaires, mais également un prolongement original et contemporain des travaux de Gauss de 1801 qui furent à cette époque, et qui le sont toujours aujourd'hui, une pierre angulaire de la théorie algébrique des nombres. Par le biais d'une bijection astucieuse, les formes quadratiques sont mises en relation avec l'espace des cubes 2 ¿ 2 ¿ 2 ce qui permettra d'engendrer quatorze lois de composition dont en particulier celle de Gauss qui devient un embranchement spécifique à une théorie encore plus générale. Ces lois, que Bhagarva nomme Higher composition laws, seront traitées dans les deux premiers chapitres de ce mémoire. Nous verrons par la suite comment les classes d'anneaux quadratiques peuvent être repensées à la lumière de ces nouvelles lois en plus d'apporter une interprétation naturelle en ce qui a trait aux classes d'idéaux de ces mêmes anneaux quadratiques. Sera ensuite introduite la notion de résolvante pour les anneaux cubiques et quartiques pour ainsi faciliter une paramétrisation avec les formes quadratiques binaires et ternaires. Cette correspondance sera d'une grande utilité lorsque le temps sera venu de déterminer la structure inhérente à ces deux types d'anneaux. Un travail de paramétrisation analogue sera fait en ce qui concerne les anneaux cubiques. Cette paramétrisation a pour origine les recherches des deux mathématiciens B. N. Delone et D. K. Faddeev et, comme nous le verrons, s'imbriquera naturellement dans celles de Bhargava.

Les calculs numériques ont été effectués à l'aide du logiciel SAGE. / En 1993, Conway et Schneeberger fournirent un critère simple permettant de déterminer si une forme quadratique donnée représente tous les entiers positifs ; le théorème des 15. Dans ce mémoire, nous nous intéressons à un problème analogue, soit la recherche d’un critère similaire permettant de détecter si une forme quadratique en trois variables représente tous les entiers impairs. On débute donc par une introduction générale à la théorie des formes quadratiques, notamment en deux variables, puis on expose différents points de vue sous lesquels on peut les considérer. On décrit ensuite le théorème des 15 et ses généralisations, en soulignant les techniques utilisées dans la preuve de Bhargava. Enfin, on démontre deux théorèmes qui fournissent des critères permettant de déterminer si une forme quadratique ternaire représente tous les entiers impairs. / In 1993, Conway and Schneeberger gave a simple criterion allowing one to determine whether a given quadratic form represents all positive integers ; the 15-theorem. In this thesis, we investigate an analogous problem, that is the search for a similar criterion allowing one to detect if a quadratic form in three variables represents all odd integers. We start with a general introduction to the theory of quadratic forms, namely in two variables, then, we expose different points of view under which quadratic forms can be considered. We then describe the 15-theorem and its generalizations, with a particular emphasis on the techniques used in Bhargava’s proof of the theorem. Finally, we give a proof of two theorems which provide a criteria to determine whether a ternary quadratic form represents all odd integers.

Les travaux effectués dans le cadre de cette thèse « Analyse de robustesse par contraintes intégrales quadratiques - Application aux lanceurs spatiaux » ont été menés en collaboration entre le Département Automatique de Supélec, EADS Astrium ST, l’Agence Spatiale Européenne (ESA) et l’université de Stuttgart. Le but était d’adapter et d’utiliser des méthodes analytiques de validation de loi de commande d'un lanceur en phase balistique pour améliorer les résultats obtenus par l’approche probabiliste fondée sur des simulations, technique actuellement majoritaire dans l’industrie. Dans ce cadre, l’utilisation des contraintes intégrales quadratiques (IQC) a permis de caractériser la stabilité et la performance robuste de la loi de commande d’un modèle représentatif du lanceur. Nous avons étudié l’influence de la dynamique non-linéaire des lanceurs sur la stabilité et la performance robuste. Dans ce cadre, nous avons factorisé les équations du mouvement en prenant en compte les incertitudes de la matrice d’inertie ainsi que les couplages gyroscopiques. Le second axe traita de l’influence des actionneurs de type modulateur de largeur impulsions (PWM) sur la stabilité du système par deux études IQC. La conclusion de ces travaux de thèse met l’accent sur l’importance de l’utilisation de méthodes analytiques dans le domaine spatial. Ces méthodes permettent l’obtention de garanties rigoureuses de stabilité et de performance des systèmes. De plus, toutes les méthodes d’analyse possèdent leur extension pour la synthèse de correcteurs robustes. Ainsi on imagine aisément l’immense gain que pourrait produire l’utilisation de ces méthodes pour la synthèse de correcteurs robustes. / The introduction of analytical techniques along the steps of the development of a space launcher will allow significant reductions in terms of costs and manpower, and will enable, by a more systematical way of tuning and assessing control laws, to get flyable designs much faster. In this scope, IQC based tools already present promising result and show that they may be the most appropriate ones for the robustness analysis of large complex systems. They account for the system structure and allow dealing specifically with each subsystems, it means that we can improve the representation contained in the multipliers easily and reuse the set up to assess the improvements. The flexibility of the method is a huge advantage. We experienced it during two phases. The first was dedicated to the analysis of the three-degree-of-freedom uncertain nonlinear equation of motion of a rigid body. Secondly, we studied the influence of the pulse-width modulator behavior of the attitude control system on the launcher stability. IQC-based stability analysis allowed defining estimations of the stability domain with respect to uncertainties and system parameters. Moreover, the results obtained with IQC can go way beyond stability analysis with performance analysis with description of the particular performance criteria of the field with appropriate multipliers. Later on controller synthesis and merging of IQC method with worst-case search algorithms could extend greatly the frame of use of this analytical tool and give it the influence it deserves.

Les contributions théoriques de ce travail comportent : 1) la définition d'une représentation exacte et normale des nombres constructibles (expressions arithmétiques avec racines carrées imbriquées), 2) un algorithme pour tester l'égalité, la différence et l'inégalité entre ces nombres et 3) une méthode pour la vérification de contraintes redondantes vis a vis d'un systême de contraintes quadratiques. L'ensemble de ce travail est intégré dans un environnement CLP(géométrie) reprenant l'approche de la programmation logique avec contraintes. La principale contribution expérimentale porte sur un ensemble de 512 théorèmes de géométrie proposés par Chou. Elle consiste en la réduction du nombre d'extensions quadratiques nécessaires pour représenter ces situations géométriques grâce à un choix soigneux des constructions employées. Cette réduction s'accompagne du résultat suivant : la grande majorité des 512 théorèmes proposés par Chou peuvent être prise en compte de manière exacte avec un surcoût limité, en pratique les nombres rationnels sont suffisants. Le lien étroit de ce travail avec les préoccupations liées à la réalisation de tuteurs homme-machine font de cette approche un outils intéressant pour l'enseignement de la géométrie. Trois applications sont données dans ce domaine. La principale concerne une approche déclarative pour la définition et la manipulation de figures géométriques.

Dans le but de concevoir un implant personnalisé du genou, nous présentons une approche originale permettant la reconstruction d'images de précision en tomographie hélicoïdale. La méthodologie standard à base d'interpolation et de rétroprojection convoluée est remplacée par une approche pénalisée ; dans ce cadre, l'image tomographique 3D correspond au minimiseur d'un problème des moindres carrés pnalisés de très grande taille. Une régularisation pertinente du problème tomographique est en particulier permise par une pénalisation convexe : celle-ci permet de localiser précisment les interfaces dans le volume sans hypothéquer les aspects de coût d'implantation. Testée sur données synthtiques, cette démarche permet un gain significatif de précision sur l'image 3D obtenue. Le problème de reconstruction étant de très grande taille, l'implantation de cette méthode reste néanmoins délicate. Afin de garder la maîtrise du coût informatique, nous proposons d'adopter une invariance du modèle d'observation et de minimiser le critère des moindres carrés pénalisés par un algorithme de type successive over relaxation. Une seconde démarche basée sur une approximation du modèle d'observation a également été proposée : elle rend le problème séparable et permet d'aborder la reconstruction du volume en une succession de problèmes 2D d'une taille sensiblement réduite. Enfin, ces travaux ont donné lieu une étude approfondie des algorithmes semi quadratiques (SQ) dont l'emploi est répandu en traitement d'image ou de donnes. Ces algorithmes SQ ont été rattachs à des formes préexistantes, des conditions de convergence globale moins restrictives ont été obtenues et des variantes plus rapides ont été déduites.

Les multiferroïques sont des matériaux dans lesquels plusieurs propriétés ferroïques peuvent coexister, e. g. ferromagnétisme et ferroélectricité. La recherche de tels matériaux fait l'objet d'une activité croissante en raison de l'enjeu majeur qu'ils représentent dans de nombreux domaines (mémoires, spintronique...). Les matériaux qui possèdent les propriétés nécessaires pour des applications futures sont cependant peu nombreux. Des niobates de formule Ba2LnFeNb4O15 (Ln = lanthanide), de structure bronze quadratique (TTB) susceptibles de présenter un ordre ferroélectrique et un ordre magnétique ont été synthétisés. Les propriétés magnétiques des céramiques proviennent d'une phase secondaire, faisant d'eux des composites multiferroïques. Leur souplesse cristallochimique permet de contrôler les propriétés composites par substitutions cationiques dans la matrice TTB. Afin de compléter l'étude cristallochimique, la croissance de monocristaux de TTB a été entreprise avec succès.

Le travail présenté s'attache à analyser les caractéristiques des grandeurs énergétiques issues de la solution de l'équation d'onde classique, sans faire d'hypothèse réductrice a priori, afin de développer une formulation moyenne en temps et en espace permettant de traduire les transferts d'énergie dans les structures pour le domaine des moyennes fréquences.<br /><br />Dans un premier temps, le concept de superposition quadratique est présenté : si les variables linéaires telles que le déplacement associé à l'onde sont la somme de n composantes différentes, toute variable quadratique telle que l'intensité ou les densités d'énergie peut être présentée sous la forme de n² termes différents.<br />Ceci est illustré notamment dans le cas bidimensionnel de la superposition de deux ondes planes.<br /><br />Dans un second temps, le cas unidimensionnel de deux ondes planes contre-propagatives est étudié car il fournit les variations des champs énergétiques à deux échelles bien distinctes.<br />A petite échelle, les variations des champs énergétiques représentent la<br />structure locale des interférences définies par un nombre d'onde purement réel.<br />A grande échelle, les variations des champs énergétiques représentent les transferts énergétiques globaux dus à la dissipation et définies par un nombre d'onde purement imaginaire.<br /><br />La partie suivante est quant à elle consacrée aux vibrations de plaques.<br />Différents types d'ondes sont considérés: ondes quasi-longitudinales, ondes de cisaillement et ondes de flexion.<br />Dans les cas unidimensionnels (plaques semi-infinies), l'analyse pour les ondes quasi-longitudinales et les ondes de cisaillement s'avère similaire à celle présentée précédemment. En revanche le cas des ondes de flexion s'avère plus compliqué en raison de la présence de composantes évanescentes dans le champ de déplacement, lesquelles multiplient d'autant le nombre de composantes des variables énergétiques.<br />Une formulation quadratique équivalente à celle en déplacement a néanmoins pu être obtenue pour les ondes de flexion unidimensionnelles.<br /><br />Enfin la dernière partie montre tout d'abord comment une formulation quadratique moyenne peut être développée dans le cas d'ondes planes unidimensionnelles, l'opération de moyennage permettant de s'affranchir des composantes à petite échelle spatiale des variables quadratiques pseudo-périodiques.<br />Une équation différentielle est obtenue pour l'intensité complexe, les densités d'énergie pouvant être tirées de cette variable.<br />Les conditions limites énergétiques tenant compte des composantes active et réactive de l'intensité sont ensuite calculées, pour des jonctions passives ou actives. Les cas de jonctions passives font intervenir des conditions mixtes analogues aux conditions d'impédance d'une formulation en déplacement.<br />Le cas des jonctions actives fait quant à lui intervenir non seulement des impédances mais également la densité de puissance injectée dans la discontinuité d'intensité moyennée. Cette formulation quadratique moyenne peut alors être appliquée au domaine des moyennes fréquences.

En 1993, Conway et Schneeberger fournirent un critère simple permettant de déterminer si une forme quadratique donnée représente tous les entiers positifs ; le théorème des 15. Dans ce mémoire, nous nous intéressons à un problème analogue, soit la recherche d’un critère similaire permettant de détecter si une forme quadratique en trois variables représente tous les entiers impairs. On débute donc par une introduction générale à la théorie des formes quadratiques, notamment en deux variables, puis on expose différents points de vue sous lesquels on peut les considérer. On décrit ensuite le théorème des 15 et ses généralisations, en soulignant les techniques utilisées dans la preuve de Bhargava. Enfin, on démontre deux théorèmes qui fournissent des critères permettant de déterminer si une forme quadratique ternaire représente tous les entiers impairs. / In 1993, Conway and Schneeberger gave a simple criterion allowing one to determine whether a given quadratic form represents all positive integers ; the 15-theorem. In this thesis, we investigate an analogous problem, that is the search for a similar criterion allowing one to detect if a quadratic form in three variables represents all odd integers. We start with a general introduction to the theory of quadratic forms, namely in two variables, then, we expose different points of view under which quadratic forms can be considered. We then describe the 15-theorem and its generalizations, with a particular emphasis on the techniques used in Bhargava’s proof of the theorem. Finally, we give a proof of two theorems which provide a criteria to determine whether a ternary quadratic form represents all odd integers. / Les calculs numériques ont été effectués à l'aide du logiciel SAGE.