In this thesis, the Josephson effect in mercury telluride based superconducting quantum point contacts (SQPCs) is studied. Implementing such confined structures into topological superconductors has been proposed as a means to detect and braid Majorana fermions. For the successful realization of such experiments though, coherent transport across the constriction is essential. By demonstrating the Josephson effect in a confined topological system, the presented experiments lay the foundation for future quantum devices that can be used for quantum computation. In addition, the experiments also provide valuable insights into the behavior of the Josephson effect in the low-channel limit (N<20). Due to the confinement of the weak link, we can also study the Josephson effect in a topological insulator, where the edge modes interact. In conclusion, this thesis discusses the fabrication of, and low-temperature measurements on mercury telluride quantum point contacts embedded within Josephson junctions. We find that the merging of the currently used fabrication methods for mercury telluride quantum point contacts and Josephson junctions does not yield a good enough device quality to resolve subbands of the quantum point contact as quantization effects in the transport properties. As we attribute this to the long dry etching time that is necessary for a top-contact, the fabrication process was adapted to reduce the defect density at the superconductor-semiconductor interface. Employing a technique that involves side contacting the mercury telluride quantum well and reducing the size of the mercury telluride mesa to sub-micrometer dimensions yields a quantized supercurrent across the junction. The observed supercurrent per mode is in good agreement with theoretical predictions for ballistic, one-dimensional modes that are longer than the Josephson penetration depth. Moreover, we find that oscillatory features superimpose the plateaus of the supercurrent and the conductance. The strength of these oscillatory features are sample-dependent and complicate the identification of plateaus. We suggest that the oscillatory features originate mainly from local defects and the short gate electrode. Additionally, resonances are promoted within the weak link if the transparency of the superconductor-HgTe interface differs from one. Furthermore, the research explores the regimes of the quantum spin Hall effect and the 0.5 anomaly. Notably, a small yet finite supercurrent is detected in the QSH regime. In samples fabricated from thick mercury telluride quantum wells, the supercurrent appears to vanish when the quantum point contact is tuned into the regime of the 0.5 anomaly. For samples fabricated from thin mercury telluride quantum wells, the conductance as well as the supercurrent vanish for strong depopulation. In these samples though, the supercurrent remains detectable even for conductance values significantly below 2 e²/h. Numerical calculation reproduce the transport behavior of the superconducting quantum point contacts. Additionally, the topological nature of the weak link is thoroughly investigated using the supercurrent diffraction pattern and the absorption of radio frequency photons. The diffraction pattern reveals a gate independent, monotonous decay of $I_\text{sw}(B)$, which is associated with the quantum interference of Andreev bound states funneled through the quantum point contact. Interestingly, the current distribution in the weak link appears unaffected as the quantum point contact is depleted. In the RF measurements, indications of a 4π periodic supercurrent are observed as a suppression of odd Shapiro steps. The ratio of the 4π periodic current to the 2π periodic current appears to decrease for smaller supercurrents, as odd Shapiro steps are exclusively suppressed for large supercurrents. Additionally, considering the observation that the supercurrent is small when the bulk modes in the quantum point contact are fully depleted, we suggest that the re-emerging of odd Shapiro steps is a consequence of the group velocity of the edge modes being significantly suppressed when the bulk modes are absent. Consequently, the topological nature of the superconducting quantum point contact is only noticeable in the transport properties when bulk modes are transmitted through the superconducting quantum point contact. The shown experiments are the first demonstration of mercury telluride superconducting quantum point contacts that exhibit signatures of quantization effects in the conductance as well as the supercurrent. Moreover, the experiments suggest that the regime of interacting topological edge channels is also accessible in mercury telluride superconducting quantum point contacts. This is potentially relevant for the realization of Majorana fermions and their application in the field of quantum computation. / Gegenstand dieser Arbeit ist der Josephson-Effekt in supraleitenden Quantenpunktkontakten (SQPCs) aus Quecksilbertellurid. Grundsätzlich wurde postuliert, dass räumlich eingeschränkte topologische Supraleitung in Quantenpunktkontakten verwendet werden kann, um Majorana-Fermionen zu realisieren und zu manipulieren. Dafür ist allerdings kohärente Supraleitung durch die Verjüngung des Quantenpunktkontaktes unerlässlich. Dies wird durch die Beobachtung des Josephson-Effektes durch den Quecksilbertellurid-Quantenpunktkontakt demonstriert. Somit legen die präsentierten Experimente den Grundstein für zukünftige Quanten-Bauelemente mit Anwendung im Bereich des Quantencomputings. Darüber hinaus liefern die Experimente auch einen Einblick in das Verhalten eines Josephson-Kontaktes, wenn dessen Verbindungsstück nur eine kleinen Anzahl an Transportmoden befördern kann (N<20). Durch die räumliche Nähe der Randkanäle des zwei-dimensionalen topologischen Isolators in der Verjüngung wird außerdem untersucht, wie sich der Josephson-Effekt unter Interaktion der helikalen Randkanäle verhält. Grundsätzlich behandelt diese Arbeit die Herstellung und Vermessung von supraleitenden Quecksilbertellurid-Quantenpunktkontakten, welche in einen Josephson-Kontakt eingebettet sind. Zunächst wird gezeigt, dass bei dem Versuch einen supraleitenden Quecksilbertellurid-Quantenpunktkontakt durch Anwenden der bekannten Fabrikationsprozesse von Quecksilbertellurid-Quantenpunktkontakten und Josephson-Kontakten herzustellen, die Qualität der Probe nicht gut genug ist, um quantisierten Transport durch einzelne Subbänder des Quantenpunktkontaktes aufzuweisen. Dies wird auf das lange Trockenätzen zurückgeführt, welche für einen Kontakt von oben notwendig ist. Daher wurde der Strukturierungsprozess angepasst, um die Defektdichte an dem Supraleiter-Halbleiter-Kontakt zu verringern. Durch das seitliche Kontaktieren des Quecksilbertellurid-Quantentroges und die Verkleinerung der Mesa auf submikrometer Größe, wird ein quantisierter Suprastrom durch den Josepshon-Kontakt beobachtet. Hierbei stimmt der von den Transportmoden getragene Suptrastrom gut mit den theoretischen Vorhersagen für ballistische, eindimensionale Moden überein, wenn deren Modenlänge größer als die Josephson-Eindringtiefe ist. Darüber hinaus wird beobachtet, dass die Stufen im Suprastrom und im Leitwert von Oszillationen überlagert werden. Die Stärke der Oszillationen ist hierbei probenabhängig, was die Identifikation einzelner Stufen erschwert. Die Oszillationen sind auf lokale Defekte und die kurze Gateelektrode zurückzuführen. Zusätzlich entstehen Resonanzen im Verbindungsstück des Josephson-Kontaktes, wenn die Transparenz der Supraleiter-HgTe-Kontaktes von eins abweicht. Des Weiteren werden die Bereiche des Quanten-Spin-Hall-Effektes und der 0.5-Anomalie untersucht. Bemerkenswerterweise wird im Quanten-Spin-Hall-Regime ein kleiner, aber endlicher Suprastrom detektiert. In Proben aus dicken Quecksilbertellurid-Quantentrögen verschwindet der Suprastrom, wenn der Quantenpunktkontakt in das Regime der 0.5-Anomalie gebracht wird. Bei dünnen Quecksilbertellurid-Quantentrögen verschwinden sowohl Leitwert als auch Suprastrom, wenn die Ladungsträgerdichte über das Quanten-Spin-Hall-Regime hinaus verringert wird. In diesen Proben bleibt allerdings der Suprastrom selbst für Leitwerte, die deutlich unter G=2 e²/h liegen, eindeutig erhalten. Das Transportverhalten der supraleitenden Quantenpunktkontakte wird durch numerische Simulationen reproduziert. Letztendlich werden die topologischen Eigenschaften des Verbindungsstückes auch durch das Beugungsbild des Suprastromes und durch die Absorption von RF-Photonen untersucht. Das Beugungsbild des Suprastromes zeigt einen monotonen Abfall von ebendiesem bei ansteigendem Magnetfeld, welcher unabhängig von der angelegten Gatespannung ist. Dieses Verhalten basiert auf Interferenzeffekten von gebundenen Andreev-Zuständen, welche die Verjüngung passieren. Interessanterweise scheint die Stromverteilung in dem Verbindungsstück unverändert zu bleiben, wenn der Quantenpunktkontakt entleert wird. In den RF-Messungen wird mit der Unterdrückung von ungeraden Shapiro-Stufen ein Anzeichen für einen 4\π-periodischen Suprastroms beobachtet. Das Verhältnis des 4π-periodischen Anteils des Suprastroms zum 2π-periodischen Anteil des Suprastroms wird kleiner, wenn der gesamte Suprastrom verringert wird. Demnach sind ungerade Shapiro-Stufen nur für große Supraströme unterdrückt. Wenn man darüber hinaus berücksichtigt, dass der Suprastrom klein ist, wenn die Volumenzustände im Quantenpunktkontakt entleert sind, liegt es nahe, dass das Wiederauftreten der ungeraden Shapiro-Stufen eine Konsequenz daraus ist, dass die Gruppengeschwindigkeit der helikalen Randkanäle unter Abwesenheit von Volumenzuständen deutlich verringert ist. Demzufolge sind die topologischen Eigenschaften des Verbindungsstückes nur bemerkbar, wenn auch Volumenzustände die Verjüngung passieren. Die gezeigten Experimente sind der erste Nachweis von supraleitenden Quantenpunktkontakten im zwei-dimensionalen topologischen Isolator Quecksilbertellurid, welche Kennzeichen von Quantisierungseffekte sowohl im Leitwert als auch im Suprastrom aufzeigen. Darüber hinaus implizieren die Experimente, dass der Bereich von interagierenden topologischen Randkanälen auch in supraleitenden Quecksilbertellurid-Quantenpunktkontakten zugänglich ist. Dies hat potenziell Relevanz für die Realisierung von Majorana-Fermionen in vergleichbaren Systemen und deren Anwendung im Bereich des Quantencomputing.

We bring together aspects of magnetism and superconductivity to gain new insights in their coexistence. We have investigated molecular beam epitaxy grown topological insulator doped with magnetic atoms (hosting electrons in two dimensions) when brought in proximity to a superconductor, e.g Josephson junction (JJ), measured at 20 mK. We establish that a supercurrent can be induced in this class of material system. Magneto-transport of such devices at finite magnetic fields revealed curious “anti-hysteretic” behaviour which is understood as resulting from flux-focusing due to Meissner-like and screening current effects stemming from the superconducting leads. The influence of in-plane magnetic field on the junction supercurrent shows reentrance behaviour, tunable with in-plane field as well as temperature. We interpret these results as the first unambiguous observation of proximity-Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov state in the weak-link of the JJ driven by Zeeman field. The state is analogous to spatially inhomogeneous superconducting FFLO state but occurs in an intrinsically non superconducting material and is rather proximitized by superconductors into a supercurrent carrying state. The influence of rf-irradiation on the JJ dynamics near the reentrance regime is presented thereafter. Later, to understand the microscopic transport in these devices, we replace one of the superconducting leads of the JJ with a normal metal like Au. Bias-voltage dependent study has established phase coherent Andreev transport in our wide cavity-type device in the ballistic regime visible through interference effects. The zero-bias conductance shows a crossover from localization type effect in the many modes regime to anti-localization type effect in the few mode regime. Finally, conductance near the bandgap, where transport is dominated by the helical edge modes, a striking 2e^{2}/h conductance is observed instead of 4e^{2}/h contradictory to existing predictions. / Wir bringen Aspekte des Magnetismus und der Supraleitung zusammen, um neue Erkenntnisse über ihre Koexistenz zu gewinnen. Wir haben mittels Molekularstrahl-epitaxie gewachsene topologische Isolatoren untersucht, die mit magnetischen Atomen (die Elektronen in zwei Dimensionen beherbergen) dotiert sind, wenn sie in die Nähe eines Supraleiters gebracht werden, z. B. eines Josephson-Kontakten (engl. JJ), gemessen bei 20 mK. Wir stellen fest, dass in dieser Klasse von Materialsystemen ein Suprastrom induziert werden kann. Der Magnettransport solcher Bauelemente bei endlichen Magnetfeldern ergab ein interessantes “antihysteretisches” Verhalten, das als Folge der Fokussierung des Flusses aufgrund von Meissner-ähnlichen und abschirmenden Stromeffekten der supraleitenden Leitungen verstanden wird. Der Einfluss des Magnetfeldes in der Ebene auf den Superstrom zeigt ein Wiedereintrittsverhalten, das sowohl mit dem Feld in der Ebene als auch mit der Temperatur einstellbar ist. Wir interpretieren diese Ergebnisse als die erste eindeutige Beobachtung des Proximity-Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov-Zustands in der schwachen Verbindung des JJ, die durch ein Zeeman-Feld angetrieben wird. Der Zustand ist analog zum räumlich inhomogenen supraleitenden FFLO-Zustand, tritt aber in einem intrinsisch nicht supraleitenden Material auf und wird von Supraleitern eher in einen suprastromführenden Zustand umgewandelt. Anschließend wird der Einfluss der rf-Bestrahlung auf die JJ-Dynamik in der Nähe des Wiedereintrittsregimes dargestellt. Um den mikroskopischen Transport in diesen Bauelementen zu verstehen, haben wir später eine der supraleitenden Leitungen des JJ durch ein normales Metall wie Au ersetzt. Ein vorspannungsabhängiges Experiment hat den phasenkohärenten Andreev-Transport in unserem breiten Hohlraum-Bauelement im ballistischen Bereich durch Interferenzeffekte sichtbar gemacht. Der Nullvorspannungsleitwert zeigt einen Übergang vom Lokalisierungseffekt im Bereich vieler Moden zum Antilokalisierungseffekt im Bereich weniger Moden. Schließlich wird in der Nähe der Bandlücke, wo der Transport durch die helikalen Randmoden dominiert wird, ein auffallender Leitwert von 2e^{2}/h anstelle von 4e^{2}/h beobachtet, was im Widerspruch zu bestehenden Vorhersagen steht.

Accessing Topological Phases of Mercury Cadmium Telluride Heterostructure Devices presents a broad study on quantum transport effects in the major topological transport phases of devices fabricated from mercury cadmium telluride quantum wells. The initial Chapter 1 introduces the material system and its band structure, focusing of the versatile phases accessible by changing confinement (layer thickness), strain, material composition and magnetic field. In Chapter 2, the experimental requirements for conducting low-temperature magnetotransport studies are addressed. Following the introduction of standard low-frequency AC lock-in techniques, the standard electric circuit is modified by employing DC test equipment for rapid single-parameter (e.g. gate voltage) sweeps, which are completed in less than a millisecond. This technique requires a precise understanding of parasitic effects in the circuit, mainly stemming from the interplay of wire and device capacitance with the typically high impedance of mercury telluride devices (order 10 kW), which are identified and eliminated through precise circuit modeling. Fast pulsing of the gate voltage is employed to perform common time-consuming measurement protocols like Landau level fancharts or temperature-dependent gating at least an order of magnitude faster than the established AC technique while revealing results of similar high quality. Subsequently, the technique is successfully applied to measure the quantum Hall effect in pulsed magnetic fields as high as 65 T, which is inaccessible with the AC configuration due to the limited pulse lifetime of less than 100 ms per pulse. Chapter 3 delves into the fabrication of transport devices from mercury cadmium telluride heterostructures, featuring two reports on lithographic advancements. Firstly, the Ohmic contact to mercury telluride quantum wells is comprehensively measured using the transfer-length model, and optimized regarding the depth of ion-milling into the top barrier. Compared to previously reported results, the contact resistance of (2.2 ± 1.6) · 10^(−4) Ωcm^2 is reduced by a factor of ten. Secondly, a novel gate geometry, called overlapping top gates, is introduced. The technique employs multiple lithographically defined top gates to minimize the ungated area between neighboring gate electrodes by overlapping them. The approach overcomes the necessity of a back gate-top gate combination to fabricate gate-defined reconfigurable junctions (nn′, np, pn, pp′), while featuring sharp density gradients at the junction that are unattainable with standard split gates. The advantages are demonstrated by calculating the electrostatic gate potentials. Transport measurements on gatedefined reconfigurable ambipolar junctions reveal a small rectification at zero magnetic field. In the quantum Hall regime, contacting through a gate-defined junction demonstrates that contacting from a high-density to a low-density region forms robust quasi-Ohmic contacts. This is applied in a so-called ring gate device to ensure the clear differentiation between the breakdown of contacts and actual physics when studying metal-insulator transitions at high magnetic fields. Quantum transport in thin, strongly confined quantum wells is studied in various topological transport phases in Chapter 4. Firstly, the trivial phase is investigated, focusing on the quantum Hall effect in it. The insulating ν = 0 state, a quantum Hall phase not observed in gallium arsenide, is discussed and unambiguously related to the occupation of edge states when broadened Landau levels are probed. The insulating state, observed for any filling factor |ν| < 1/2, aligns with the pattern of all other integer quantum Hall plateau and is inherently observed in any materials exhibiting negligible electron-electron interactions (single-particle limit). The same arguments explain why the fractional quantum Hall effect is not observed in mercury telluride quantum wells despite their very high mobility. The transmission and equilibration of quantum Hall edge channels at a lateral junction reveals an unprecedented match with Landauer-Büttiker theory, reemphasizing the role of mercury telluride as a prototype material to explore single particle quantum Hall physics. Secondly, the two-dimensional topological insulator phase and particularly the quantum spin Hall effect are probed. The breakdown of helical edge transport in a perpendicular magnetic field is resolved, aligning precisely with a magnetic field-induced lifting of the band inversion. Additionally, a study of decoherence in helical quantum spin Hall edge channels unravels that scattering off charge puddles via an isotropic Kondo interaction is one of the leading sources of backscattering at very low temperatures (Kondo temperature < 100 mK). Thirdly, the topologically inverted semimetallic state is covered. It is demonstrated that applying a back gate potential has a significant impact to the band structure of mercury telluride quantum wells via (actively tunable) structural inversion asymmetry. This suggests a plausible path towards a future quantum spin Hall transistor device. Subsequently, the emergence of topological phases when a mercury telluride quantum well is alloyed with cadmium or manganese is explored. For example, alloying an inverted mercury telluride quantum well with cadmium drives it back to the trivial phase, as unambiguously demonstrated for a series of 10 nm thick quantum wells. Remarkably, the match between band structure calculations, transport measurements and infrared-optical methods is striking. Quantum wells alloyed with manganese experience a similar evolution of their topological phases, but in the narrow window of a direct band gap inverted quantum well a special transport effect is observed, as a p-type quantum Hall plateau appears as early as 100 mT. This early onset quantum Hall effect is shown to emerge within a variation of the quantum well thickness of 1 nm. Additionally, the early onset plateau is demonstrated to transition into the insulator regime like any undoped quantum well at the filling factor |ν| = 1/2 (referring to the geometrically induced carrier density). In Chapter 5, the influence of reducing confinement in strained mercury telluride layers is studied, which accesses the phase of the three-dimensional topological insulator. An analysis scheme based on multi-carrier transport features in low magnetic fields is presented, revealing that pure surface state transport only occurs in a narrow thickness-dependent charge carrier density window. For all other carrier densities, bulk sub-bands (conduction sub-band and valence sub-band) contribute to the transport signatures significantly. A phase diagram of surface state transport is established for thicknesses between 22 and 110 nm, indicating that a guaranteed surface state transport can be anticipated within a carrier density range of 2.1 − 2.5 · 10^11 cm^(−2). This regime is identified as the necessary host of any future studies on the transport properties of topological surface states in strained mercury telluride. Furthermore, measurements conducted at high magnetic fields indicate that the surface character (even in the surface state transport window) rapidly diminishes with increasing magnetic field. The overall findings motivate a reevaluation of the conventional interpretation of transport in a mercury telluride three-dimensional topological insulator – past experimental claims and predictions derived from ideal theoretical models will need to be readdressed for their validity in any future experiments. Overall, this work provides a comprehensive exploration of topological phases in mercury cadmium telluride heterostructures, offering valuable insights into a variety of characteristic quantum transport phenomena in diverse device configurations. / „Messungen an topologischen Phasen von Quecksilber-Cadmium-Tellurid-Heterostruktur-Bauelementen“ (engl. Accessing Topological Phases of Mercury Cadmium Telluride Heterostructure Devices) ist eine Arbeit über charakteristische Quantentransportphänomene von Quecksilber-Cadmium-Tellurid-Quantentrögen. Im ersten Kapitel werden das Materialsystem und seine Bandstruktur vorgestellt, wobei schwerpunktmäßig die topologischen Phasen diskutiert werden, die durch Änderung der Schichtdicke, der Kristallverspannung, der Materialzusammensetzung und des Magnetfelds zugänglich sind. In Kapitel 2 werden die technischen Grundlagen einer Tieftemperatur-Transportmessung erläutert (Kryotechnik und Beschaltung). Auf eine Einführung in Transportmessungen mittels niederfrequenter AC-Lock-In Verfahren folgt die Vorstellung eines schnellen DC-Messprotokolls, welches Messungen über einen eindimensionalen Parameterraum (z.B. Gate-Spannung) in weniger als einer Millisekunde erlaubt. Da das schnelle Verfahren eine hohe Anfälligkeit gegenüber parasitärer Kapazitäten hat, welche zusammen mit der Bauteilimpedanz im Rahmen einer zeitaufgelösten Transportmessung RC-Effekte hervorrufen, werden letztere mittels Schaltungssimulation präzise nachgebildet und anschließend korrigiert. Gewöhnlich zeitaufwendige Messaufgaben, wie beispielsweise sogenannte Landau-Niveau-Fächerkarten, können unter Verwendung des neuartigen Messprotokolls bei gleichbleibender Datenqualität mehr als zehnfach schneller durchgeführt werden. Darüber hinaus ermöglicht das Verfahren Messungen in gepulsten Hochmagnetfeldern von bis zu 65 T (< 100 ms). Die Grundlagen der lithographischen Herstellung von Bauelementen werden in Kapitel 3 eingeführt und durch zwei Neuentwicklungen zur Bauteilherstellung ergänzt. In ersterer der beiden werden die Ohm’schen Kontakte von Standardbauteilen hinlänglich charakterisiert (Transferlängenmodell) und anschließend auf einen niedrigen Kontaktwiderstand hin optimiert. Letzter kann durch ein vollständiges Abtragen der Top-Barriere der Quantentrog-Heterostrukturen mittels präzisen Trockenätzens um eine Größenordnung auf (2.2 ± 1.6)·10^(−4) Ωcm^2 reduziert werden. Die zweite Neuentwicklung präsentiert eine neue Bauteilgeometrie, welche auf einander überlappenden Top-Gate-Elektroden beruht. Dieses Elektrodendesign kann in Bauteilen für pn-Übergänge eingesetzt werden, deren Polarität ausschließlich durch das Anlegen verschiedener Gate-Spannungen gesteuert werden kann (nn′, np, pn, pp′). Das neue Design sticht dabei durch die reine lithographische Herstellung (einsetzbar auf jedem Material) bei gleichzeitig sehr scharfem Ladungsträgergradienten am pn-Übergang (nicht zu erreichen mit nicht-überlappenden Top-Gate-Elektroden) hervor. Letzteres wird durch Berechnungen der Gate-Elektrostatik belegt. Anschließend wird gezeigt, dass in Gate-basierten pn-Übergängen leichte pannungsgleichrichtung beobachtet werden kann. Darüber hinaus wird nachgewiesen, dass ein solcher pn-Übergang im Quanten-Hall-Regime eine robuste quasi-Ohm’sche Kontaktierung erlaubt. Letztere wird eingesetzt, um in der neuartigen Ring-Gate-Geometrie klar zwischen einem Kontaktversagen und einem Bandstruktur-induzierten Isolatorübergang im Quantentrog unterscheiden zu können. Kapitel 4 beleuchtet charakteristische Quantentransportphänomene in den bedeutendsten topologischen Phasen dünner Quecksilber-Tellurid-Quantentrögen. Zuerst wird die triviale Phase mithilfe des Quanten-Hall-Effekts untersucht: Es wird gezeigt, dass in den Quantentrögen ein Metall-Isolatorübergang bei großen Magnetfeldern stattfindet. Dieser Quanten-Hall-Isolator-Zustand kann durch ein einfaches Besetzungsmodell von Landau-Niveaus erklärt werden und impliziert, dass Quecksilber-Tellurid, anders als Gallium-Arsenid, nur vernachlässigbare Elektron-Elektron-Wechselwirkungen in solch großen Magnetfeldern zeigt. Dies erklärt darüber hinaus, warum der fraktionale Quanten-Hall-Effekt nicht beobachtet werden kann. Andererseits kann gezeigt werden, dass die Transmission und Co-Propagation von Quanten-Hall-Randkanälen an pn-Übergängen präzise durch das Landauer-Büttiker-Modell gestützt werden, was den Einteilchencharakter im Quanten-Hall-Regime unterstreicht. Als nächstes liegt der Fokus auf der Phase des zweidimensionalen topologischen Isolators. Der für diese Phase charakteristische Quanten-Spin-Hall-Effekt liegt dabei im Zentrum der Untersuchungen. Es wird nachgewiesen, dass der helikale Randkanaltransport genau dann zusammenbricht, wenn die Bandstrukturinversion durch ein orthogonales Magnetfeld aufgehoben wird. Darüber hinaus werden Kondo-Wechselwirkungen zwischen Randkanälen und „Ladungsträgerseen“ (engl. charge puddles) als eine der Hauptursachen für Dekohärenz im Quanten-Spin-Hall-Regime identifiziert. Als nächstes wird die Phase des invertierten Halbmetalls untersucht. In dieser wird gezeigt, dass ein Potentialabfall durch den Quantentrog die Bandstruktur signifikant verändern kann. Der Effekt wird der gebrochenen strukturellen Umkehrinvarianz zugeschrieben, welche durch eine Back-Gate-Elektrode aktiv gesteuert werden kann. Abschließend wird untersucht, wie das Legieren des Quantentrogs mit Cadmium oder Mangan die topologischen Phasen beeinflusst. Im Fall der Cadmium-Legierung wird anhand einer Serie von 10 nm dicken Trögen mit zunehmendem Cadmium-Gehalt gezeigt, dass die Bandstruktur von einer invertierten auf eine triviale Bandordnung übergeht. Der Übergang wird dabei durch eine beeindruckende Übereinstimmung von Bandstrukturrechnung, Transportmessung und Infrarot-Absoptionspektroskopie nachgewiesen. Wird Cadmium durch Mangan ersetzt, ergibt sich eine vergleichbare Änderung der topologischen Phasen. Darüber hinaus wird ein extrem früh einsetzender (< 100 mT) lochartiger Quanten-Hall-Effekt beobachtet, wenn sowohl eine Bandinversion als auch eine direkte Bandlücke vorliegt. Es wird gezeigt, dass dieser Effekt am Phasenübergang von indirekter zu direkter Bandlücker innerhalb einer Dickenvariation von 1 nm auftritt, und dass das früh einsetzende Quanten-Hall-Plateau, genauso wie in einem unlegierten Quantentrog, beim Füllfaktor |ν| = 1/2 in den Isolatorzustand übergeht. Die Betrachtungen in Kapitel 5 beziehen sich auf dicke, verspannte Quantentröge, welche dreidimensionale topologische Isolatoren darstellen. Anhand der Co-Existenz von Elektronen- und Lochleitung kann gezeigt werden, dass reiner Oberflächentransport nur in einem schmalen Ladungsträgerdichtefenster auftritt. Außerhalb dieses Fensters tragen neben (topologischen) Oberflächenzuständen auch Volumenzustände zum Quantentransport bei. Aus den Erkenntnissen an zwischen 22 und 110 nm dicken Quantentrögen wird ein Phasendiagramm des Oberflächentransports konstruiert, aus welchem das Ladungsträgerdichtefenster 2.1 − 2.5 · 10^11 cm^(−2) für gesicherten reinen Oberflächentransport hervorgeht. In diesem Fenster sollten alle zukünftigen Studien von Oberflächenzuständen angesiedelt werden. Darüber hinaus wird gezeigt, dass der Oberflächencharakter der Wellenfunktion schnell mit steigendem Magnetfeld verschwindet. Die Standard-Interpretation von dicken Quecksilber-Tellurid-Schichten als dreidimensionaler topologische Isolator gilt es zu reevaluieren, genauso wie die Schlussfolgerungen vergangener Arbeiten bezüglich ihrer Übertragbarkeit auf zukünftige Messvorhaben.