Autorizado por el autor, pero con restricción para ser publicada a texto completo hasta el año 2013 / El tema principal de esta memoria es estudiar características y propiedades de equilibrios, en el contexto de flujos dinámicos en redes. En el caso del modelo de flujo estático, se conocen varios resultados relacionados con equilibrios. El problema del modelo estático es que no contempla las fluctuaciones temporales, que es una característica importante de los problemas de flujos en redes que aparecen en varias aplicaciones, tales como modelos de control de tráfico, sistemas de producción y redes de comunicación. En tales aplicaciones, el flujo que atraviesa los arcos es una cantidad que varía en el tiempo. Más aún, el flujo no atraviesa de forma instantánea la red, sino que requiere una cierta cantidad de tiempo para atravesar cada arco. Los modelos que contemplan estos aspectos son los llamados flujos dinámicos, también denominados flujos a través del tiempo. En este trabajo estudiamos modelos de flujos dinámicos en tiempo continuo en redes con capacidades, donde se contempla congestión en los arcos, y definimos la noción de equilibrios para este tipo de flujos. Luego estudiamos algunas propiedades de los flujos dinámicos en equilibrio. Uno de los principales aportes de este trabajo son resultados de existencia de equilibrios. En el caso de determinados tipos de instancias, el resultado de existencia es de carácter algorítmico. El algoritmo encargado de hacer esto tiene que, de forma iterativa, extender a través del tiempo un flujo dinámico en equilibrio. Como parte de este trabajo, describimos algunos resultados en torno a la complejidad computacional de este algoritmo. Otro aporte importante es un resultado relacionado con la unicidad de flujos dinámicos en equilibrio, dentro de una cierta familia de flujos dinámicos.

En la actualidad, nuestro país se encuentra con la necesidad de responder a los requerimientos de educación de todos los chilenos, para dar igualdad de oportunidades sin importar su estrato social. Dentro de este marco nace el movimiento “Educación 2020”, presentando la primera propuesta país en la que se presentan cuatro pilares fundamentales; profesores de excelencia, directores de nivel internacional, condiciones adecuadas en aulas vulnerables y apoderados informados y participativos. Este trabajo se centra en el primero de estos puntos, creando una herramienta a través de un modelo de redes que permita evaluar el costo anual y total del sistema de capacitación, remuneración, evaluación y desvinculación (ya sea por motivos voluntarios, jubilación o desempeño), durante el período 2010 al 2020 para profesores del sector municipal, respondiendo a las exigencias de calidad establecidas. De esta forma no sólo es posible conocer los costos anuales requeridos, sino que a su vez la dinámica de transición de los profesores desde un nivel de desempeño a otro. Por su parte se desarrolló un modelo de programación lineal que permite determinar la cantidad de profesores necesarios año a año según la demografía proyectada del país, considerando una proporción de horas lectivas vs no lectivas de un 60% y 40% respectivamente, sumado a la reducción de niños vulnerables por sala. De esta forma se estimó que el valor de la propuesta con un sueldo máximo de $ 1,5 MM CLP es de $19,615 MM USD con una inversión incremental total en el periodo 2010-2020 de $ 10,841 MM USD, o alternativamente de $ 22,678 MMUSD (inversión incremental $13,903 MM USD) si sólo se considera la mejora en la proporción de horas lectivas/no lectivas y un sueldo máximo de $ 3 MM CLP. Ambos casos descritos serían factibles económicamente, considerando que Chile presenta un gasto público destinado a Educación de un 2,4% de su GPD, en comparación al 3,5% que presentan en promedio los países pertenecientes a la OECD, por lo que aún es posible crecer en ésta área. Es así como, el presente trabajo da pie a futuras investigaciones que permitan agregar incertidumbre al cumplimiento de metas y/o profundizar en la dinámica propuesta para la carrera docente, que ayudarán a sustentar importantes proyectos para mejorar la educación de nuestro país.

El modelo de maximización de utilidades de la red (NUM) caracteriza el régimen estacionario del flujo en una red de comunicaciones, mediante un problema de optimización convexa. Este modelo, propuesto por Kelly y estudiado posteriormente por Low y Mazumdar, muestra que la mayoría de los protocolos diseñados para el control de congestión en redes resuelven implícitamente una versión de NUM en régimen estacionario. En esta memoria se estudia una nueva versión de NUM (MNUM), que combina el control de flujo y elección multirrutas, basado en un modelo de elección discreta en cada router. Para definir el equilibrio se analizan las ecuaciones en valor esperado y se muestra que ellas son la solución de un problema de optimización convexa. El problema resultante es un análogo al problema dual de NUM, donde el límite de integración es reemplazado por el costo esperado de atravesar la red bajo la asignación estocástica. Se estudian propiedades de la función de costos, la relación implícita de las variables de equilibrio en función del precio en los arcos y se finaliza con la obtención del problema primal similar a NUM con un término adicional asociado al modelo de elección discreta utilizado. Junto con el análisis del modelo, se muestra cómo el equilibrio definido puede ser implementado modificando los actuales protocolos de internet. Para ello se define un nuevo mecanismo de notificación de la congestión, basado en el esquema de marcaje aditivo normalizado para estimar precios de las rutas. Finalmente se presenta un algoritmo de medias sucesivas que converge a la solución de MNUM, para una amplia familia de funciones de utilidad que incluye a la familia de funciones α-justas con α ≥ 1.

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