Diese Arbeit befasst sich mit störungstheoretischen Rechnungen zur renormierten Quarkmasse im Schrödinger-Funktional mit nicht verschwindendemHintergrundfeld. Als Grundlage der Rechnungen werden das Schroedinger-Funktional und seinegrundlegenden Eigenschaften erläutert. Auch die O(a)-Verbesserung, die zu einem schnelleren Erreichen des Kontinuumslimes fuehren soll, wird in diesem Zusammenhang dargestellt.Des weiteren wird erklärt, aufwelche Weise das Schrödinger-Funktional dazu dient, das Skalenverhaltenrenormierter Größen ueber einen grossen Energiebereich zuuntersuchen. Das Skalenverhalten sowohl der renormierten Kopplung als auchder renormierten Quarkmassen wird in diesem Schema durch Step-Scaling-Funktionenbeschrieben. Die Definition der renormierten Kopplung wird dargestellt,ebenso die Definition der renormierten Masse, die mit Hilfe derPCAC-Relation ueber den Axialvektorstrom und die Pseudoskalardichte erfolgt. Die Skalenabhängigkeit der renormierten Massewird auf die Skalenabhängigkeit der Renormierungskonstanten derPseudoskalardichte zurueckgefuehrt. Breiten Raum nimmt die Berechnung verschiedenerKorrelationsfunktionen bis zur Ein-Loop-Ordnung in Stoerungstheorie ein. Mit Hilfe der soermittelten Koeffizienten wird die kritische Quarkmasse, bei der die renormierte Masse verschwindet, in Ein-Loop-Naeherung berechnet,ebenso der Ein-Loop-Koeffizent der Renormierungskonstanten der Pseudoskalardichte. Mit Hilfe dieses Koeffizienten wird aus der bekanntenanomalen Dimension in Zwei-Loop-Ordnung im MS-bar-Schemadie anomale Dimension im Schrödinger-Funktional berechnet. Als weitere Anwendung der Störungstheorie werden verschiedene Diskretisierungsfehler bestimmt. Die kritische Quarkmasse in Ein-Loop-Ordnunggeht in den Zwei-Loop-Koeffizienten des Diskretisierungfehlers der Step-Scaling-Funktion der renormierten Kopplung ein, der durchdie Abweichung dieser Funktion von ihrem Kontinuumslimes definiert ist.Verschiedene Diskretisierungsfehler der Strommasse, die durch die PCAC-Relationmit unrenormiertem Axialvektorstrom und Pseudoskalardichte definiert ist, werdenin Ein-Loop-Ordnung berechnet. Ein wichtiger Diskretisierungsfehler derrenormierten Quarkmasse ist die Abweichung ihrer Step-Scaling-Funktion vomKontinuumslimes. Dieser Fehler ist in Ein-Loop-Ordnung bislang nur mitverschwindendem Hintergrundfeld bekannt und wird in dieser Arbeit mitnicht verschwindendem Hintergrundfeld berechnet. / The renormalised quark mass in the Schroedinger functional is studied perturbatively with a non-vanishing background field. The framework in which the calculations are done is the Schroedinger functional. Its definition and basic properties are reviewed and it is shown how to make the theory converge faster towards its continuum limit by O(a) improvement. It is explained how the Schroedinger functional scheme avoids the implications of treating a large energy range on a single lattice in order to determine the scale dependence of renormalised quantities. The description of the scale dependence by the step scaling function is introduced both for the renormalised coupling and the renormalised quark masses. The definition of the renormalised coupling in the Schroedinger functional is reviewed, and the concept of the renormalised mass being defined by the axial current and density via the PCAC-relation is explained. The running of the renormalised mass described by its step scaling function is presented as a consequence of the fact that the renormalisation constant of the axial density is scale dependent. The central part of the thesis is the expansion of several correlation functions up to 1-loop order. The expansion coefficients are used to compute the critical quark mass at which the renormalised mass vanishes, as well as the 1-loop coefficient of the renormalisation constant of the axial density. Using the result for this renormalisation constant, the 2-loop anomalous dimension is obtained by conversion from the MS-bar-scheme. Another important application of perturbation theory carried out in this thesis is the determination of discretisation errors. The critical quark mass at 1-loop order is used to compute the deviation of the coupling's step scaling function from its continuum limit at 2-loop order. Several lattice artefacts of the current quark mass, defined by the PCAC relation with the unrenormalised axial current and density, are computed at 1-loop order. An essential property of the renormalised quark mass being computed in this thesis at 1-loop order is the deviation of its step scaling function from the continuum limit, which was so far only known for the zero background field case.