Dans ce travail, nous avons étudié deux problèmes fondamentaux de la vision : la restauration d'image dans la première partie, puis dans la deuxième partie l'agrandissement d' image. L'introduction de la première partie est une présentation des méthodes mathématiques de restauration d'image. En suite, nous présentons les différents travaux théoriques établis sur le modèle de Malik et Perona et son lien avec la doctrine de détection de bord. Ceci nous conduit au choix du modèle que nous étudions dans la suite. Pour ce modèle nous prouvons en petits temps et en toutes dimensions, existence et unicité d'une solution classique. Ensuite, en dimensions un et deux, nous construisons un schéma numérique dont nous prouvons la convergence vers une solution faible. Nous clôturons cette partie par illustrer quelques exemples d'application du modéle. Dans la deuxième partie nous abordons le problème de l'agrandissement des images. Après avoir exposé les méthodes qui existent dans la littérature, nous proposons une approche basée sur l'analyse géométrique de l'image. Nous utilisons ensuite la théorie des solutions de viscosité pour prouver que le modèle proposé est bien posé. Enfin nous discutons de la résolution numérique du modèle et nous présentons quelques exemples d'applications.

Cette thèse aborde le problème de la compensation des déformations cérébrales survenant au cours des opérations neurochirurgicales. Ces déformations des structures cérébrales dégradent la précision des systèmes de neuronavigation, ce qui limite leur utilisation tout au long de la procédure neurochirurgicale. La compensation de ces déformations est aujourd'hui l'un des enjeux majeurs de la neurochirurgie guidée par l'image. La méthode proposée repose sur le recalage non rigide d'images échographiques intraopératoires de type main libre et d'images préopératoires obtenues par résonance magnétique nucléaire (RMN). Afin de réaliser ce recalage non rigide multimodal, un processus incluant différents traitements est détaillé dans ce manuscrit. Tout d'abord, une nouvelle méthode de reconstruction tridimensionnelle des images échographiques de type main libre est présentée. Puis, un travail portant sur le filtre de débruitage des moyennes non locales est proposé. Ce travail aborde deux aspects: l'amélioration de la qualité du débruitage avec une réduction du temps de calcul d'une part, et l'adaptation de ce filtre aux caractéristiques du chatoiement présent dans les images ultrasonores d'autre part. Finalement, une nouvelle approche du problème de recalage des images ultrasonores et des images obtenues par RMN est décrite. Ces différents traitements sont integrés au sein d'une chaîne entièrement automatique de compensation des déformations cérébrales. Les premiers résultats obtenus sur les images de quatre patients sont présentés à la fin de ce document.

Cette thèse est consacrée à la résolution de trois types de problèmes fondamentaux qui apparaissent en analyse fonctionnelle hilbertienne non-linéaire et dans ses applications : les problèmes d'équilibre pour les bifonctions monotones, les problèmes de point fixe pour les contractions, et les problèmes d'inclusion pour les opérateurs monotones. Notre objectif est d'élaborer de nouvelles méthodes d'approximation et de construction de solutions pour ces problèmes et d'étudier leur comportement asymptotique. Dans un premier temps, nous proposons de nouvelles perturbations visqueuses et visco-pénalisées de ces problèmes, et étudions le comportement asymptotique des courbes d'approximation associées quand la perturbation devient évanescente. Nous étudions ensuite les propriétés de divers systèmes dynamiques discrets et continus associés à ces courbes. Cette étude débouche en particulier sur de nouveaux algorithmes, dont la convergence est établie. Des applications numériques à des problèmes de restauration en traitement de l'image sont fournies pour illustrer la mise en œuvre et les performances de certains des algorithmes proposés.