L’avènement du génotypage à haut débit permet aujourd’hui de mieux exploiter le phénomène d’association, appelé déséquilibre de liaison (LD), qui existe entre les allèles de différents loci sur le génome. Dans ce contexte, l’utilité de certains modèles utilisés en cartographie de locus à effets quantitatifs (QTL) est remise en question. Les objectifs de ce travail étaient de discriminer entre des modèles utilisés en routine en cartographie et d’apporter des éclaircissements sur la meilleure façon d’exploiter le LD, par l’utilisation d’haplotypes, afin d’optimiser les modèles basés sur ce concept. On montre que les modèles uni-marqueur de liaison, développés en génétique il y a vingtaine d’années, comportent peu d’intérêts aujourd’hui avec le génotypage à haut débit. Dans ce contexte, on montre que les modèles uni-marqueur d’association comportent plus d’avantages que les modèles uni-marqueur de liaison, surtout pour des QTL ayant un effet petit ou modéré sur le phénotype, à condition de bien maîtriser la structure génétique entre individus. Les puissances et les robustesses statistiques de ces modèles ont été étudiées, à la fois sur le plan théorique et par simulations, afin de valider les résultats obtenus pour la comparaison de l’association avec la liaison. Toutefois, les modèles uni-marqueur ne sont pas aussi efficaces que les modèles utilisant des haplotypes dans la prise en compte du LD pour une cartographie fine de QTL. Des propriétés mathématiques reliées à la cartographie de QTL par l’exploitation du LD multiallélique capté par les modèles haplotypiques ont été explicitées et étudiées à l’aide d’une distance matricielle définie entre deux positions sur le génome. Cette distance a été exprimée algébriquement comme une fonction des coefficients du LD multiallélique. Les propriétés mathématiques liées à cette fonction montrent qu’il est difficile de bien exploiter le LD multiallélique, pour un génotypage à haut débit, si l’on ne tient pas compte uniquement de la similarité totale entre des haplotypes. Des études sur données réelles et simulées ont illustré ces propriétés et montrent une corrélation supérieure à 0.9 entre une statistique basée sur la distance matricielle et des résultats de cartographie. Cette forte corrélation a donné lieu à la proposition d’une méthode, basée sur la distance matricielle, qui aide à discriminer entre les modèles utilisés en cartographie.

Lorqu'une étoile a des compagnons planétaires, elle décrit un mouvement quasi épicycloïdal autour du centre de masse du système. Si l'orientation du plan de l'orbite le permet, un observateur situé sur la Terre peut détecter la composante de ce mouvement sur la ligne de visée grâce à l'effet Doppler. Il mesure ainsi la ``vitesse radiale de l'étoile''. Si cette vitesse présente des variations périodiques suffisamment claires, la présence de planètes peut être inférée et leurs orbites contraintes. Une des difficultés de l'analyse de telles mesures est qu'une combinaison de signaux de plusieurs planètes et de divers bruits peut être confondue avec l'effet d'une planète en réalité inexistante. Après avoir présenté les effets à prendre en compte pour analyser des données de vitesses radiales, nous abordons ce problème. Pour limiter son occurrence, nous utilisons un algorithme de poursuite de base modifié, dont on démontre l'efficacité sur des signaux réels et simulés. Nous abordons ensuite le problème de l'estimation des paramètres orbitaux pour un système donné ainsi que leur distribution pour une population de planètes. On s'intéresse en particulier à l'excentricité, dont on montre qu'elle est d'autant plus surestimée que le modèle du signal est mauvais. Nous proposons des solutions pour une estimation robuste des paramètres orbitaux. / When a star is orbited by planetary companions, it describes a nearly epicyclic motion around the center of mass of the system. When the orientation of the orbital plane is appropriate, an observer on Earth can measure the velocity of the star along the line of sight by Doppler effect. If this ``radial velocity'' presents clear enough periodic variations, the presence of planets can be inferred and their orbit can be constrained. Detection and estimation of orbits is made difficult by the photon noise, the unpredictable variations of luminosity of the star as well as instrumental faults. In particular, signals from several planets can add coherently with the noises and mimic the effect of a planet absent from the system. After listing the relevant effects to make inference on exoplanets from radial velocity data, we tackle this problem. To limit its rate of occurrence, we use a modified basis pursuit algorithm, allowing to search for several signals simultaneously. The efficiency of the method is demonstrated on real and simulated signals. We then address the problem of orbital parameters estimation for a given system, as well as the estimation of their distribution on a planet population. We look in detail at the eccentricity, and show that its overestimation increases as the model moves away from the correct one. We suggest methods for robust inference of orbital parameters.

L'objet de ce travail est l’étude des propriétés de stabilité et de robustesse des systèmes non-linéaires via des méthodes basées sur l'homogénéité. Dans un premier temps, nous rappelons le contexte usuel des systèmes homogènes ainsi que leurs caractéristiques principales. La suite du travail porte sur l'extension de l'homogénéisation des systèmes non-linéaires, déjà proposée dans le cadre de l'homogénéité à poids, au cadre plus général de l'homogénéité géométrique. Les principaux résultats d'approximation sont étendus. Nous développons ensuite un cadre théorique pour définir l'homogénéité de systèmes discontinus et/ou donnés par des inclusions différentielles. Nous montrons que les propriétés bien connues des systèmes homogènes restent vérifiées dans ce contexte. Ce travail se poursuit par l'étude de la robustesse des systèmes homogènes ou homogénéisables. Nous montrons que sous des hypothèses peu restrictives, ces systèmes sont input-to-state stable. Enfin, la dernière partie de ce travail consiste en l'étude du cas particulier du double intégrateur. Nous développons pour ce système un retour de sortie qui le stabilise en temps fini, et pour lequel nous prouvons des propriétés de robustesse par rapport à des perturbations ou à la discrétisation en exploitant les résultats développés précédemment. Des simulations viennent compléter l'étude théorique de ce système et illustrer son comportement / The purpose of this work is the study of stability and robustness properties of nonlinear systems using homogeneity-based methods. Firstly, we recall the usual context of homogeneous systems as well as their main features. The sequel of this work extends the homogenization of nonlinear systems, which was already defined in the framework of weighted homogeneity, to the more general setting of the geometric homogeneity. The main approximation results are extended. Then we develop a theoretical framework for defining homogeneity of discontinuous systems and/or systems given by a differential inclusion. We show that the well-known properties of homogeneous systems persist in this context. This work is continued by a study of the robustness properties of homogeneous or homogenizable systems. We show that under mild assumptions, these systems are input-to-state stable. Finally, the last part of this work consists in the study of the example of the double integrator system. We synthesize a finite-time stabilizing output feedback, which is shown to be robust with respect to perturbations or discretization by using techniques developed before. Simulations conclude the theoretical study of this system and illustrate its behavior

La programmation par contraintes est une approche régulièrement utilisée pour traiter des problèmes d’ordonnancement variés. Les problèmes d’ordonnancement cumulatifs représentent une classe de problèmes dans laquelle des tâches non morcelable peuvent être effectuées en parallèle. Ces problèmes apparaissent dans de nombreux contextes réels, tels que par exemple l’allocation de machines virtuelles ou l’ordonnancement de processus dans le "cloud", la gestion de personnel ou encore d’un port. De nombreux mécanismes ont été adaptés et proposés en programmation par contraintes pour résoudre les problèmes d’ordonnancement. Les différentes adaptations ont abouti à des raisonnements qui semblent à priori significativement distincts. Dans cette thèse nous avons effectué une analyse détaillée des différents raisonnements, proposant à la fois une notation unifiée purement théorique mais aussi des règles de dominance, permettant une amélioration significative du temps d’exécution d’algorithmes issus de l’état de l’art, pouvant aller jusqu’à un facteur sept. Nous proposons aussi un nouveau cadre de travail pour l’ordonnancement cumulatif robuste, permettant de trouver des solutions supportant qu’à tout moment une ou plusieurs tâches soit retardées, sans remise en cause de l’ordonnancement généré et en gardant une date de fin de projet satisfaisante. Dans ce cadre, nous proposons une adaptation d’un algorithme de l’état de l’art, Dynamic Sweep. / Constraint programming is an approach regularly used to treat a variety of scheduling problems. Cumulative scheduling problems represent a class of problems in which non-preemptive tasks can be performed in parallel. These problems appear in many contexts, such as for example the allocation of virtual machines, the ordering process in the "cloud", personnel management or a port. Many mechanisms have been adapted and offered in constraint programming to solve scheduling problems. The various adaptations have resulted in reasoning that appear a priori significantly different. In this thesis we performed a detailed analysis of the various arguments, offering both a theoretical unified caracterization but also dominance rules, allowing a significant improvement in execution time of algorithms from the state of the art, up to a factor of seven. we also propose a new framework for robust cumulative scheduling, to find solutions that support at any time one or more tasks to be delayed while keeping a satisfactory end date of the project and without calling into question the generated scheduling. In this context, we propose an adaptation of an algorithm of the state of the art, Dynamic Sweep.

Dans l’industrie, l’automaticien doit concevoir une loi de commande unique qu’il valide sur un prototype unique, ayant un degré de robustesse suffisant pour satisfaire un cahier des charges complexe sur un grand nombre de systèmes. Pour cela, la méthodologie de développement qu’il emploie consiste en un processus itératif expérimental (phase d’essai-erreur), qui fait grandement appel à l’expérience de l’ingénieur. Dans cette thèse, on tente de rendre la méthodologie de synthèse des correcteurs des asservissements plus efficace car plus directe et donc moins couteuse en temps de développement en calculant un correcteur final (structuré) par une attaque directe de la spécification système haut niveau. La complexité des spécifications systèmes haut-niveau nous pousse à l’emploi des métaheuristiques : ces techniques d’optimisation ne nécessitent pas la formulation du gradient, la seule contrainte étant la possibilité d’évaluer la spécification. Ainsi avons-nous proposé dans ce travail de reformuler les problèmes de commande robuste pour l’optimisation stochastique : on montre dans ce travail comment on peut synthétiser des correcteurs structurés à partir de problématiques de type H ou -synthèse et on montre que l’intérêt de l’approche formulée réside dans sa flexibilité et la prise en compte de contraintes « exotiques » complexes ; les algorithmes évolutionnaires s’avérant très performants et compétitifs, nous avons finalement développé sur cette base une méthode originale de synthèse de correcteurs structurés et robustes vis-à-vis de critères d’optimisation de forme quelconque. La validation de ces travaux a été réalisée sur des exemples industriels de viseurs. / In the industrial framework, the control engineer must design a unique control law that valid on a single prototype, with a sufficient degree of robustness to satisfy a complex specification on many systems. For that purpose, his development methodology consists of an experimental iterative process (trial and error phase), which relies heavily on the experience of the engineer. In this thesis, we try to make the methodology for computing controllers more efficient and more direct with a less costly development time by calculating a final structured controller by a direct optimization on the high level specification.The complexity of high-level specifications pushes us to the use of metaheuristics: these optimization techniques do not require the formulation of the gradient, the only constraint being the possibility of evaluating the specification. Thus we proposed in this work to reformulate robust control problems for stochastic optimization: we show in this work how to synthesize structured controllers for control problems such H synthesis or -synthesis and show that the interest of the formulated approach lies in its flexibility and the consideration of exotic complex constraints. Evolutionary algorithms proving very effective and competitive, we finally developed on this basis a new method for synthesizing robust and structured controllers with respect to any form of optimization criteria. The validation of this work was carried out on the industrial example of the line of sight stabilization problem.

La stéganographie numérique est une technique récente qui a émergé comme une source importante pour la sécurité des données. Elle consiste à envoyer secrètement et de manière fiable des informations dissimulées et non pas seulement à masquer leur présence. Elle exploite les caractéristiques des fichiers médias numériques anodins, tels que l’image, le son et la vidéo,et les utilise comme support pour véhiculer des informations secrète d’une façon inaperçue. Les techniques de cryptage et de tatouage sont déjà utilisées pour résoudre les problèmes liés à la sécurité des données. Toutefois,l’évolution des tentatives d’interception et de déchiffrement des données numériques nécessitent de nouvelles techniques pour enrayer les tentatives malveillantes et d’élargir le champ des applications y associées. L’objectif principal des systèmes stéganographiques consiste à fournir de nouveaux moyens sécurisés, indétectables et imperceptibles pour dissimuler des données.La stéganographie est utilisée sous l’hypothèse qu’elle ne sera pas détectée si personne n’essaye de la découvrir. Les techniques récentes destéganographie ont déjà été employées dans diverses applications. La majorité de ces applications ont pour objectif d’assurer la confidentialité des données.D’autres par contre sont utilisées malicieusement. L’utilisation de la stéganographie à des fins criminelles, de terrorisme, d’espionnage ou de piraterie constitue une menace réelle. Ces tentatives malveillantes de communiquer secrètement ont récemment conduit les chercheurs à inclure une nouvelle branche de recherche: la stéganalyse, pour contrer les techniques stéganographique. L’objectif principal de la stéganalyse est de détecter la résence potentielle d’un message dissimulé dans un support numérique et ne considère pas nécessairement son extraction. La parole numérique constitue un terrain de prédilection pour dissimuler des données numériques. En effet, elle est présente en abondance grâce aux technologies de télécommunications fixes ou mobiles et aussi à travers divers moyens de stockage de l’audio numérique. Cette thèse étudie la stéganographie et la stéganalyse utilisant la voix numérisée comme support et vise à (1) présenter un algorithme qui répond aux exigences des systèmes stéganographiques reliées à la capacité élevée, l’indétectabilité et l’imperceptibilité des données dissimulées, (2) le contrôle de la distorsion induite par le processus de dissimulation des données (3) définir un nouveau concept de zones spectrales dans le domaine de Fourier utilisant et l’amplitude et la phase (4) introduire un nouveau algorithme de stéganalyse basé sur les techniques de compression sans pertes d’information à la fois simple et efficace. La performance de l’algorithme stéganographique est mesurée par des méthodes d’évaluation perceptuelles et statistiques. D’autre part, la performance de l’algorithme de stéganalyse est mesurée par la capacité du système à distinguer entre un signal audio pur et un signal audio stéganographié. Les résultats sont très prometteurs et montrent des compromis de performance intéressants par rapport aux méthodes connexes. Les travaux futurs incluent essentiellement le renforcement de l’algorithme de stéganalyse pour qu’il soit en mesure de détecter une faible quantité de données dissimulées. Nous planifions également l’intégration de notre algorithme de stéganographie dans certaines plateformes émergentes telles que l’iPhone. D’autres perspectives consistent à améliorer l’algorithme stéganographique pour que les données dissimulées soit résistantes au codage de la parole, au bruit et à la distorsion induits parles canaux de transmission. / Digital steganography is a young flourishing science emerged as a prominent source of data security. The primary goal of steganography is to reliably send hidden information secretly, not merely to obscure its presence. It exploits the characteristics of digital media files such as: image, audio, video, text by utilizing them as carriers to secretly communicate data. Encryption and watermarking techniques are already used to address concerns related to datasecurity. However, constantly-changing attacks on the integrity of digital data require new techniques to break the cycle of malicious attempts and expand the scope of involved applications. The main objective of steganographic systems is to provide secure, undetectable and imperceptible ways to conceal high-rate of data into digital medium. Steganography is used under the assumption that it will not be detected if no one is attempting to uncover it. Steganography techniques have found their way into various and versatile applications. Some of these applications are used for the benefit of people others are used maliciously. The threat posed by criminals, hackers, terrorists and spies using steganography is indeed real. To defeat malicious attempts when communicating secretly, researchers’ work has been lately extended toinclude a new and parallel research branch to countermeasure steganagraphy techniques called steganalysis. The main purpose of steganalysis technique is to detect the presence or not of hidden message and does not consider necessarily its successful extraction. Digital speech, in particular, constitutes a prominent source of data-hiding across novel telecommunication technologies such as covered voice-over-IP, audio conferencing, etc. This thesis investigatesdigital speech steganography and steganalysis and aims at: (1) presenting an algorithm that meets high data capacity, undetectability and imperceptibility requirements of steganographic systems, (2) controlling the distortion induced by the embedding process (3) presenting new concepts of spectral embedding areas in the Fourier domain which is applicable to magnitude and phase spectrums and (4) introducing a simple yet effective speech steganalysis algorithm based on lossless data compression techniques. The steganographic algorithm’s performance is measured by perceptual and statistical evaluation methods. On the other hand, the steganalysis algorithm’s performance is measured by how well the system can distinguish between stego- and cover-audio signals. The results are very promising and show interesting performance tradeoffs compared to related methods. Future work is based mainly on strengthening the proposed steganalysis algorithm to be able to detect small hiding capacity. As for our steganographic algorithm, we aim at integrating our steganographic in some emerging devices such as iPhone and further enhancing the capabilities of our steganographic algorithm to ensure hidden-data integrity under severe compression, noise and channel distortion.

L'objectif de cette thèse est de concevoir des méthodes de décomposition de domaine qui sont robustes même pour les problèmes difficiles auxquels on est confronté lorsqu'on simule des objets industriels ou qui existent dans la nature. Par exemple une difficulté à laquelle est confronté Michelin et que les pneus sont constitués de matériaux avec des lois de comportement très différentes (caoutchouc et acier). Ceci induit un ralentissement de la convergence des méthodes de décomposition de domaine classiques dès que la partition en sous domaines ne tient pas compte des hétérogénéités. Pour trois méthodes de décomposition de domaine (Schwarz Additif, BDD et FETI) nous avons prouvé qu¿en résolvant des problèmes aux valeurs propres généralisés dans chacun des sous domaines on peut identifier automatiquement quels sont les modes responsables de la convergence lente. En d¿autres termes on divise le problème de départ en deux : une partie où on peut montrer que la méthode de décomposition de domaine va converger et une seconde où on ne peut pas. L¿idée finale est d¿appliquer des projections pour résoudre ces deux problèmes indépendemment (c¿est la déflation) : au premier on applique la méthode de décomposition de domaine et sur le second (qu¿on appelle le problème grossier) on utilise un solveur direct qu¿on sait être robuste. Nous garantissons théorétiquement que le solveur à deux niveaux qui résulte de ces choix est robuste. Un autre atout de nos algorithmes est qu¿il peuvent être implémentés en boite noire ce qui veut dire que les matériaux hétérogènes ne sont qu¿un exemple des difficultés qu¿ils peuvent contourner / The objective of this thesis is to design domain decomposition methods which are robust even for hard problems that arise when simulating industrial or real life objects. For instance one particular challenge which the company Michelin is faced with is the fact that tires are made of rubber and steel which are two materials with very different behavior laws. With classical domain decomposition methods, as soon as the partition into subdomains does not accommodate the discontinuities between the different materials convergence deteriorates. For three popular domain decomposition methods (Ad- ditive Schwarz, FETI and BDD) we have proved that by solving a generalized eigenvalue problem in each of the subdomains we can identify automatically which are the modes responsible for slow convergence. In other words we can divide the original problem into two problems : the first one where we can guarantee that the domain decomposition method will converge quickly and the second where we cannot. The final idea is to apply projections to solve these two problems independently (this is also known as deflation) : on the first we apply the domain decomposition method and on the second (we call it the coarse space) we use a direct solver which we know will be robust. We guarantee theoretically that the resulting two level solver is robust. The other main feature of our algorithms is that they can be implemented as black box solvers meaning that heterogeneous materials is only one type of difficulty that they can identify and circumvent.

Le démélange de sources pour la pollution de l'air peut être formulé comme un problème de NMF en décomposant la matrice d'observation X en le produit de deux matrices non négatives G et F, respectivement la matrice de contributions et de profils. Généralement, les données chimiques sont entâchées d'une part de données aberrantes. En dépit de l'intérêt de la communauté pour les méthodes de NMF, elles souffrent d'un manque de robustesse à un faible nombre de données aberrantes et aux conditions initiales et elles fournissent habituellement de multiples minimas. En conséquence, cette thèse est orientée d'une part vers les méthodes de NMF robustes et d'autre part vers les NMF informées qui utilisent une connaissance experte particulière. Deux types de connaissances sont introduites dans la matrice de profil F. La première hypothèse est la connaissance exacte de certaines composantes de la matrice F tandis que la deuxième information utilise la propriété de somme-à-1 de chaque ligne de la matrice F. Une paramétrisation qui tient compte de ces deux informations est développée et des règles de mise à jour dans le sous-espace des contraintes sont proposées. L'application cible qui consiste à identifier les sources de particules dans l'air dans la région côtière du nord de la France montre la pertinence des méthodes proposées. Dans la série d'expériences menées sur des données synthétiques et réelles, l'effet et la pertinence des différentes informations sont mises en évidence et rendent les résultats de factorisation plus fiables. / Source apportionment for air pollution may be formulated as a NMF problem by decomposing the data matrix X into a matrix product of two factors G and F, respectively the contribution matrix and the profile matrix. Usually, chemical data are corrupted with a significant proportion of abnormal data. Despite the interest for the community for NMF methods, they suffer from a lack of robustness to a few abnormal data and to initial conditions and they generally provide multiple minima. To this end, this thesis is oriented on one hand towards robust NMF methods and on the other hand on informed NMF by using some specific prior knowledge. Two types of knowlodge are introduced on the profile matrix F. The first assumption is the exact knowledge on some of flexible components of matrix F and the second hypothesis is the sum-to-1 constraint on each row of the matrix F. A parametrization able to deal with both information is developed and update rules are proposed in the space of constraints at each iteration. These formulations have been appliede to two kind of robust cost functions, namely, the weighted Huber cost function and the weighted αβ divergence. The target application-namely, identify the sources of particulate matter in the air in the coastal area of northern France - shows relevance of the proposed methods. In the numerous experiments conducted on both synthetic and real data, the effect and the relevance of the different information is highlighted to make the factorization results more reliable.

Cette thèse comprend deux parties indépendantes.Dans la première partie nous contribuons une nouvelle méthode qui, étant donnée un volume de tolérance, génère un maillage triangulaire surfacique garanti d’être dans le volume de tolérance, sans auto-intersection et topologiquement correct. Un algorithme flexible est conçu pour capturer la topologie et découvrir l’anisotropie dans le volume de tolérance dans le but de générer un maillage de faible complexité.Dans la seconde partie nous contribuons une nouvelle approche pour calculer une fonction de correspondance entre deux surfaces. Tandis que la plupart des approches précédentes procède par composition de correspondance avec un domaine simple planaire, nous calculons une fonction de correspondance en optimisant directement une fonction de sorte à minimiser la variance d’un plan de transport entre les surfaces / This thesis is divided into two independent parts.In the first part, we introduce a method that, given an input tolerance volume, generates a surface triangle mesh guaranteed to be within the tolerance, intersection free and topologically correct. A pliant meshing algorithm is used to capture the topology and discover the anisotropy in the input tolerance volume in order to generate a concise output. We first refine a 3D Delaunay triangulation over the tolerance volume while maintaining a piecewise-linear function on this triangulation, until an isosurface of this function matches the topology sought after. We then embed the isosurface into the 3D triangulation via mutual tessellation, and simplify it while preserving the topology. Our approach extends toDépôt de thèseDonnées complémentairessurfaces with boundaries and to non-manifold surfaces. We demonstrate the versatility and efficacy of our approach on a variety of data sets and tolerance volumes.In the second part we introduce a new approach for creating a homeomorphic map between two discrete surfaces. While most previous approaches compose maps over intermediate domains which result in suboptimal inter-surface mapping, we directly optimize a map by computing a variance-minimizing mass transport plan between two surfaces. This non-linear problem, which amounts to minimizing the Dirichlet energy of both the map and its inverse, is solved using two alternating convex optimization problems in a coarse-to-fine fashion. Computational efficiency is further improved through the use of Sinkhorn iterations (modified to handle minimal regularization and unbalanced transport plans) and diffusion distances. The resulting inter-surface mapping algorithm applies to arbitrary shapes robustly and efficiently, with little to no user interaction.

Cette thèse s’intéresse à la faisabilité des implémentations en boîte blanche de permutations pseudo-aléatoires sûres. Concrètement nous montrons comment un schéma de chiffrement fonctionnel à plusieurs entrées, qui satisfait une notion naturelle d’être à sens unique, est fondamental à la construction d’implémentations protégées contre les attaques d’extraction de clés. Comme contribution indépendante possédant son intérêt propre, nous étendons la notion de robustesse cryptographique. Sommairement, le chiffrement robuste garantit qu’un chiffré ne peut être lu au moyen de plusieurs clés. Décrite tout d’abord dans le contexte de la cryptographie à clé publique, nous étendons les définitions aux contextes du chiffrement fonctionnel et à l’authentification. / This thesis investigates the realizability of white-box implementations for secure pseudorandom permutations. Concretely, we show that multi-input functional encryption achieving a natural definition of one-wayness is instrumental in building implementations that are secure against key-extraction attacks. As a contribution of independent interest, we extend the notion of robustness to a larger set of primitives. Roughly speaking, robust encryption guarantees that a ciphertext cannot be decrypted under different keys. Initially formalized in a public-key context, we introduce compelling definitions for authentication and functional encryption schemes.