The main focus of this work was to investigate substitution effects on the chemical bonding in compounds of AlB 2 -type and related structure types. Delocalization indices within the QTAIM approach and the topological analysis of the ELI functionals were used as tools to describe the bonding situation in digallides and diborides. Digallides of AlB 2 -type were found only within group I and II; for CaGa 2 (meta-stable phase), SrGa 2 , BaGa 2 , YGa 2 and LaGa 2 compounds. Within these compounds, QTAIM analysis showed similar trend as previously found in diborides. That is, along the period in the Periodic Table, metal-triel interactions increase at the expense of in-plane (triel-triel) ab interactions (Tr=triel). However, transition metal diborides adopt the AlB 2 -type up to group VI. To understand this difference, we simulated transition metal (TM) digallides and diborides up to group VI in the AlB 2 -type. Additionally, the puckered variants diborides ReB 2 and OsB 2 were also simulated in the AlB 2 -type. With filling of d shell, there is a delicate balance between increase of TM–Tr and decrease of in-plane (Tr–Tr) ab electron sharing. This balance is maintained as long as interlayer interactions in the c direction (Tr–Tr ) c and (TM–TM ) c are not relatively too high in comparison to in-plane electron sharing. In contrast to TM B 2 of AlB 2 -type, digallides in the same structure type build up strong interlayer interactions for early transition metal elements. Our results showed that within digallides, a relatively strong increase in interlayer electron sharing (Ga–Ga) c and (TM–TM ) c takes place. Such increase occurs already for ScGa 2 and TiGa 2 . On the other hand, diborides show a steady increase in electron sharing of TM –B and (TM–TM ) c , but not of (B–B) c . Therefore, it is reasonable to suggest that diborides will tend to adopt a 3D network composed of boron and transition metal atoms (ReB 2 and RuB 2 types). The additional high (Ga–Ga) c interlayer interactions indicate a tendency for digallides to form 3D networks composed only by gallium atoms, characteristic of CaGa 2 (CaIn 2 -type) and ScGa 2 (KHg 2 -type). The counterbalancing bonding effects of in-plane and out-of-plane interactions that give the chemical flexibility of the AlB 2 -type in diborides is thus disrupted in AlB 2 -type digallides by a further enhanced degree of interlayer interactions (Ga–Ga) c and (TM –TM ) c . This results in a smaller number of digallides than that of diborides in AlB 2 -type. The most conspicuous difference between diborides and digallides of AlB 2 -type is in the representation of the B – B and Ga – Ga bonds revealed by the ELI- D topology. Whereas AlB 2 -type diborides exhibit one ELI-D attractor at the B – B midpoint, AlB 2 -type digallides exhibit two ELI-D attractors symmetrically opposite around the Ga – Ga bond midpoint. We utilized the E 2 H 4 (E=triel, tetrel ) molecular series in the D 2h point group symmetry as model systems for solid state calculations. In particular, we addressed the appearance of ELI- D double maxima for Ga – Ga, by using orbital decomposition within the ELI framework. The ELI-D topology changes along the 13th group T r 2 H 4 series. Whereas B 2 H 4 and Al 2 H 4 exhibit one ELI-D attractor representing the Tr–Tr bond, Ga 2 H 4 and In 2 H 4 give rise to two ELI-D attractors. Partial ELI-D allows the orbital decomposition of the electron density. Partial ELI-q gives access to the decomposition of a two-particle property, which is given by the Fermi-hole curvature. We have found that the d-orbitals enable the formation of the two ELI-D attractors through pairing contributions. This has a net effect of lowering electron localizability at the Ga – Ga bond midpoint. Namely, the different ELI-D topology of Ga – Ga and B – B bonds stems from the contributions of d-orbitals to orbital pairing. We have also investigated the bonding situation in transition metal diborides of ReB 2 -type (MnB 2 , TcB 2 , ReB 2) and RuB 2 -type (OsB 2 , RuB 2). One can consider these two structure types as an extension of the trend found in TM B 2 of AlB 2 -type: an increase in TM –B interactions and an enhanced three-center bonding. The change in the structure type results in a puckered layer of boron atoms with electrons equally shared between B – B and TM –B. However, TM –B bonds exhibit a high three-center character. The ELI-D/QTAIM intersection technique also revealed a high participation of TM in the B – B bonding basin population. Moreover, ELI-D topology in the ReB 2 -type also discloses a seemingly important Re 3 three-center interaction along the flat layer of Re atoms. Such basin is absent in MnB 2 , which coincides with the fact that MnB 2 was only observed in the AlB 2 -type. In this regard, we concluded that the 3D network consists not only of covalent B – B bonds, but also of TM –B bonds.

In this work, chemical bonding models are developed and extended by the aid of the quantum-chemical position-space analysis. The chemical bonding models are then utilized to rationalize and predict the structure and conducting properties of MgAgAs-type and other intermetallic compounds. Additionally, new position-space bonding indicators are developed.

Es besteht der Wunsch nach Indikatoren, deren Signaturen dem chemischen Verständnis entsprechen. Die Suche nach chemischen Signaturen im Realraum ist unter anderem deshalb ein so fruchtbares Arbeitsfeld, weil trotz der Fülle von Indikatoren (die alle einen unterschiedlichen Aspekt der Bindung beleuchten) die Frage nach dem Abbild der chemischen Bindung im Realraum immer noch auf Antwort wartet. Ein Teil von Indikatoren zerlegt den Raum in Bereiche, in denen sich Elektronenpopulationen berechnen lassen. Die Güte dieser Realrauminidkatoren wird daher in der Regel danach beurteilt, ob sie den Gesamtraum in genau solche Teile zerlegen, in denen sich die nach dem Aufbauprinzip erwartete Elektronenpopulation findet: das heißt bei Atomen in sphärische Schalen; bei Molekülen und Festkörpern in Rümpfe, Bindungen und freie Elektronenpaare mit jeweils ganzen, dem Aufbauprinzip entsprechenden Elektronenzahlen. Neben dem Wunsch nach chemischen Signaturen kann man bei der Arbeit mit Realraumindikatoren auch andere Ergebnisse erzielen, wenn man die Indikatoren auf derselben Basis entwickelt, das heißt, wenn man sie vergleichbar macht. Ein Satz vergleichbarer Indikatoren ermöglicht die Suche nach Gemeinsamkeiten und Unterschieden zwischen den einzelnen Indikatoren. Die gewonnenen Ergebnisse können dann auf die den Indikatoren zugrunde liegenden Eigenschaften übertragen werden und in anderen Bereichen der Theorie genutzt werden. Eine solche gemeinsame Basis bietet das Konzept der w-bestimmten Populationen. In der vorliegenden Arbeit wird am Beispiel der Realraumindikatoren Cp gezeigt, wie man anhand dieses Konzeptes eine ganze Schar von Funktionalen kreieren und deren Eigenschaften systematisch testen kann. Das Konzept der w-bestimmten Populationen besteht im Wesentlichen aus zwei Teilschritten. Im ersten Schritt, der w-bestimmten Partitionierung des Raumes (w-RSP), wird der Gesamtraum in kompakte, raumfüllende, nicht überlappende Zellen, sogenannte Mikrozellen, zerlegt, wobei die Summe der Volumina der Mikrozellen stets das Volumen des Gesamtraums ergibt. Die Forderung, dass die Mikrozellen kompakt sein müssen, gewährleistet eine lokale Beschreibung. Aus den möglichen Partitionierungen wählt man nun eine derjenigen aus, für die die Mikrozellen alle dieselbe Menge w einer bestimmten Kontrollgröße haben, das heißt, das Integral über die Kontrollfunktion soll in jeder Mikrozelle denselben Wert w haben. Dadurch erhält man Probenräume, die bezüglich der Kontrolleigenschaft gleich sind. Im zweiten Schritt wird dann in den so erhaltenen Mikrozellen der Wert einer zweiten Größe, der Probengröße, bestimmt. Die resultierende Verteilung der Pobengröße ist natürlich vom expliziten Wert der Kontrolleigenschaft abhängig. Um diese Abhängigkeit zu umgehen, wird die diskrete Verteilung der Probengröße durch eine geeignete Potenz von w geteilt. Nach diesem Reskalierungsprozess liegt eine quasi-kontinuierliche Verteilung vor. Sie ist diskret per Definition, kann jedoch an jedem beliebigen (endlichen) Set von Aufpunkten (und eventuell weiterer Aufpunkte) berechnet werden. Der Limes nach Reskalieren ergibt eine kontinuierliche Funktion. Je nach Wahl der Kontroll- und Probenfunktion können mit diesem Konzept ganze Klassen von Funktionalen erzeugt werden. Die Funktionale sind besonders dann leicht miteinander vergleichbar, wenn sie entweder die Kontroll- oder Probenfunktion gemeinsam haben. Dieser Weg wurde in der vorliegenden Doktorarbeit beschritten. Anhand des eben dargestellten Konzeptes wurden die Realraumindikatoren Cp hergeleitet. Wie auch bei ELI-D ist die Probenfunktion bei den Cp-Indikatoren die Elektronendichte, das heißt die in den Mikrozellen geprobte Größe ist die Elektronenpopulation. Während für ELI-D die Raumpartitionierung durch die Anzahl der Paare in den Mikrozellen bestimmt wird, wird bei den Cp-Indikatoren die Inhomogenität der Elektronendichte als Kontrollgröße gewählt. Die Inhomogenität der Elektronendichte wird anhand des Abstandes der Elektronendichte zu ihrem Mittelwert in der jeweiligen Mikrozelle definiert: Ip(i) = pvuutZmi |r (~r)−r¯i|p dV . (1) Die Inhomogenität ist für jeden positiven Parameter p definiert. Je nach Wahl des Inhomogenitätsparameters p kommen kleinen beziehungsweise großen Abständen mehr Bedeutung zu. Die anhand des Konzeptes der w-bestimmten Populierung hergeleitete Funktionalschar Cp berechnet sich näherungsweise aus der Dichte und dem Dichtegradienten an den Aufpunkten ~ai der Mikrozellen: Cp(~ai) r (~ai) \"[2p(p+1)] |~Ñr (~ai)|p #3/(p+3) r (~ai) VIp , (2) wobei die Volumenfunktion VIp proportional zum Volumen einer festen Größe an Elektronendichteinhomogenität ist. Cp beruht ausschließlich auf Einelektroneneigenschaften, die sich aus der Elektronendichte ableiten lassen. Daher ist es prinzipiell möglich, Cp direkt aus dem Experiment zu bestimmen. ELI-D hingegen beruht sowohl auf der Elektronendichte, als auch auf der Paardichte, einer Zweiteilcheneigenschaft: ¡D(~ai) r (~ai) 12 g(~ai)| 3/8 r (~ai) VD . (3) Zur Berechnung der Paarvolumenfunktion VD ist die Kenntnis der Krümmung des Fermiloches g an der Elektronenkoaleszenz von Nöten. Die freie Wahl des Inhomogenitätsparameters p erlaubt es, die Volumenfunktion VIp zu justieren. Gelänge es, für ein bestimmtes Inhomogenitätsmaß die Proportionalität von VD und VIp zu erzeugen, so hätte man mit der entsprechenden Inhomogenität den Raumanspruch eines Paares abgebildet. Letztlich hätte dies zu einem Ausdruck für die Fermilochkrümmung als Funktion der Dichte geführt. (Dieser Ausdruck wiederum wäre in vielen Bereichen der Theorie von großem Nutzen.) Im Rahmen dieser Doktorarabeit konnte gezeigt werden, dass eine direkte Anpassung der Volumenfunktionen jedoch nicht in befriedigendem Maße gelingt. Daher wurde die Forderung der Proportionalität beider Indikatoren ein wenig abgeschwächt und lediglich verlangt, dass die Kurvenverläufe von Cp und ELI-D ähnlich sind. Besonderer Fokus wurde hier auf die Lage der Extrema gelegt. Die Forderung der ähnlichen Verläufe kann man durch die Anpassung der logarithmischen Gradienten der Volumenfunktionen gewährleisten. Die Anpassung erfolgte durch die Methode der kleinsten Fehlerquadrate und wurde für die Atome Li bis Xe durchgeführt. Die nach diesen Gesichtspunkten idealen Inhomgenitätsparameter konzentrieren sich alle unabhängig vom berechneten System bei Werten um p = 0.6. Das erhaltene Funktional C0.6 ist somit unabhängig vom Atomtyp und kann daher auch bei Molekülen und Festkörpern angewandt werden. C0.6 zeigt bei Atomen eine ähnliche Schalenstruktur wie ELI-D. Insbesondere die Elektronenpopulationen in den inneren Schalen spiegeln recht gut das Aufbauprinzip wieder. Bei den Übergangselementen und den direkt nachfolgenden Elementen fehlt allerdings der erwartete Separator zwischen der Valenz- und der letzten Rumpfschale. Bei Molekülen verlaufen die Bassingrenzen der Rumpfregionen sehr ähnlich, sodass die Elektronenpopulationen bis auf eine Differenz von 0.1 Elektron gleich sind. Im Bereich der freien Elektronenpaare zeigen beide Indikatoren dieselbe Anzahl von Attraktoren, wobei die C0.6-Attraktoren im Vergleich zu denen der ELI-D etwas näher am Kernort liegen. In den Regionen der freien Elektronenpaare können die Bassinpopulationen beider Indikatoren durchaus voneinander abweichen. Hierbei liegen die Elektronenpopulation von C0.6 im Mittel näher an den nach dem Lewisbild erwarteten Elektronenzahlen. Im Bereich der Bindung können große Unterschiede zwischen den Indikatoren auftreten, da C0.6 hier hauptsächlich durch den Gradiententerm dominiert ist und an jedem bindungskritischen Punkt einen Attraktor aufweisen muss. Atomare Verbindunglinien werden durch C0.6 entweder einfach zweifach oder dreifach markiert, wobei einfach markierte Linien bei unpolaren Bindungen und zweifach markierte bei polaren Bindungen zu finden sind. Dreifach markierte Linien entsprechen ungebundenen Zuständen. ELI-D hingegen zeigt keine Mehrfachmarkierung bei Einfachbindungen. Die an Molekülen abgeleiteten Aussagen über die Bindungsmarkierung lassen sich bei Festkörpern auf die nächsten Nachbarn übertragen. Durch die Zweifachmarkierung bei polaren Bindungen kann man auf einfache Weise die Gesamtelektronenpopulation eines Elementes im Verbund bestimmen (es gibt in der Regel keine geteilten Bassins). Dadurch lassen sich Ladungen berechnen und eine Skala der topologischen Kenngröße (vergleichbar mit einer Elektronegativitätsskala) aufstellen. Letzlich ist zu konstatieren, dass C0.6 nicht in der Lage ist, ELI-D hinreichend gut abzubilden. In Molekülen und Festkörpern erreicht der Gradient der Elektronendichte den Wert Null. An diesen Stellen ist C0.6 nicht an ELI-D anpassbar, da C0.6 hier einen Attraktor ausbilden muss. Dennoch hat diese Arbeit gezeigt, wie man anhand des Konzeptes der w-bestimmten Populationen Funktionale generieren und systematisch vergleichen, sowie gegebenenfalls aneinander anpassen kann. Die so gewonnenen Ergebnisse lassen sich auch in anderen Bereichen der Theorie anwenden. So mag C0.6 nicht nur in der Bindungsanalyse - wo es im Gegensatz zu ELI-D direkt aus dem Experiment bestimmt werden kann - Verwendung finden, sondern kann möglicherweise auch hilfreich bei der Entwicklung von Funktionalen in der Dichtefunktionaltheorie sein, da hier Funktionaltypen Anwendung finden, deren ortsabhängige Mischung der Austauschanteile durch Funktionen des Typs ˜Cp geregelt werden.

Modern solid state chemistry is inconceivable without theoretical treatment of solids thanks to the availability of efficient and accurate computational methods. Being developed mainly by physicist's community and deeply rooted in the formalism of reciprocal space, they often lack connections to familiar chemical concepts, indispensable for the chemical understanding of matter. Quantum chemical topology approach is a powerful theory able to efficiently recover chemical entities from the abstract description of a system given by its density matrices. It can be used to partition any many-electron system into the atoms, using the topology of electron density or for instance into atomic shells, using the topology of ELI-D field. Various characteristics of interactions between these chemical building blocks can be obtained applying bonding indicators, e.g. from the analysis of domain-averaged properties. Quantum chemical topology methods have been extended in the current work for the applications on the diversity of theoretical methods widely used for the description of solids nowadays – from the mean field Kohn-Sham density functional theory to the reduced one-electron density matrices functional theory or from the scalar-relativistic methods to the many-component formalisms employing spinor wavefunctions. It has been shown, that they provide chemically meaningful description of the bonding which is universally applicable to any class of extended systems, be it ionic insulator, covalent solid or metal. It has been shown, that the relativistic effects on the chemical bonding can be easily revealed using extensions of bonding indicators developed in the current work. Classical chemical concepts like Zintl-Klemm concept can be easily recovered with these descriptions. Intimate connection between the class of the material and the degree of chemical bonding delocalization has been also established. All these methods have been successfully applied to the various classes of solids and delivered novel insights on their crystal structure, properties, solid state transitions and reactivity.

In this thesis, a series of computational studies based on density functional theory (DFT) and density functional tight-binding (DFTB) is presented to deeply understand experimental results on the synthesis of endohedral fullerenes and graphene/iron hybrids at atomic level. In the first part, a simple and efficient model is proposed to evaluate the strain experienced by clusters encapsulated in endohedral metallofullerenes (EMFs). Calculations for the sole cluster, either in the neutral or the charged state, cannot be used for this goal. However, when the effect of the carbon cage is mimicked by small organic π-systems (such as pentalene and sumanene), the cluster has sufficient freedom to adopt the optimal configuration, and therefore the energetic characteristics of the EMF-induced distortion of the cluster can be evaluated. Both nitride and sulfide clusters were found to be rather flexible. Hence, they can be encapsulated in carbon cages of different size and shape. For carbide M2C2 cluster the situation is more complex. The optimized cluster can adopt either butterfly or linear shapes, and these configurations have substantially different metal-metal distance. Whereas for Sc2C2 both structures are isoenergetic, linear form of the Y2C2 cluster is substantially less stable than the butterfly-shaped configuration. These results show that phenomenon of the “nanoscale fullerene compression” once proposed by Zhang et al. (J. AM. CHEM. SOC. (2012),134(20)) should be “nanoscale fullerene stretching”. Finally, the results also reveal that both Ti2S and Ti2C2 cluster are strained in corresponding EMF molecules, but the origin of the strain is opposite: C78-D3h(5) cage imposes too long Ti···Ti distance for the sulfide cluster and too short distance for the carbide cluster. In the second part of the thesis, possible fullerene geometries and electronic structures have been explored theoretically for the species detected in mass spectra of the Sc-EMF extract synthesized using CH4 as a reactive gas. Two most promising candidates, namely Sc4C@C80-Ih(7) and Sc4C3@C80-Ih(7), have been identified and further studied at the DFT level. For Sc4C@C80, the tetrahedral Sc4 cluster with the central μ4-C atom was found to be 10 kJ/mol more stable than the square cluster. For Sc4C3@C80, the calculation showed that the most stable is the Sc4C3 cluster in which the triangular C3 moiety is η3- and η2-coordinated to Sc atoms. Whereas Sc4C@C80 has rather small HOMO-LUMO gap and low ionization potential, the HOMO-LUMO gap of Sc4C3@C80 is substantially higher and exceeds that of Sc4C2@C80. In the third part, computational studies of structures and reactivity are described for a new type of EMFs with a heptagon that has been produced in the arc-discharge synthesis. DFT computations predict that LaSc2N@Cs(hept)-C80 is more stable than LaSc2N@D5h-C80, so the former should be synthesized in much higher yield than observed. This disagreement may be ascribed to the kinetic factors rather than thermodynamic stability. Because of prospective applications of this EMFs by introducing functional groups, the influence of the heptagon on the chemical properties have been further evaluated. Thermodynamically and kinetically preferred reaction sites are studied computationally for Prato and Bingel-Hirsch cycloaddition reactions. In both types of reactions the heptagon is not affected, and chemical reactivity is determined by the adjacent pentalene units. Thermodynamically controlled Prato addition is predicted to proceed regioselectively across the pentagon/pentagon edges, whereas the most reactive sites in kinetically-controlled Bingel-Hirsch reaction are the carbon atoms next to the pentagon/pentagon edge. Fourth, although various EMFs have been successfully synthesized and characterized, the formation mechanism is still not known in details, and hence control of the synthesis products is rather poor. Therefore, EMF self-assembly process in Sc/carbon vapor in the presence and absence of cooling gas (helium) and reactive gas (NH3 and CH4) is systematically investigated using quantum chemical molecular dynamics (QM/MD) simulations based on the DFTB potentials. The cooling gas effect is that the presence of He atoms accelerates formation of pentagons and hexagons and reduces the size of formed carbon cages in comparison to the analogous He-free simulations. As a result, the Sc/C/He system yields a large number of successful trajectories (i.e. leading to the Sc-EMFs) with more realistic cage-size distribution than the Sc/C system. Encapsulation of Sc atoms within the carbon cage was found to proceed via two parallel mechanisms. The main mechanism involves nucleation of the several hexagons and pentagons with Sc atoms already at the early stages of the carbon vapor condensation. In such proto-cages, both Sc–C σ-bonds and coordination bonds between Sc atoms and the π-system of the carbon network are present. Sc atoms are thus rather labile and can move along the carbon network, but the overall bonding is sufficiently strong to prevent dissociation even at high temperatures. Further growth of the carbon cage results in encapsulation of one or two Sc atoms within the forming fullerene. Another encapsulation mechanism is observed in rare cases. In this process, the closed cage is formed with Sc being a part of the carbon network, i.e. being bonded by three or four Sc–C σ-bonds. However, such intermediates are found to be unstable, and transform into the endohedral fullerenes within few picoseconds of annealing. In perfect agreement with experimental studies, extension of the simulation to Fe and Ti showed that Fe-EMFs are not formed at all, whereas Ti is prone to form Ti-EMFs with small cage sizes, including Ti@C28-Td and Ti@C30-C2v(3). The role of “reactive gas” in the EMF synthesis is revealed in dedicated simulations of the fullerene formation in the presence of several molecules of CH4 or NH3. When concentration of reactive gas is high, carbon vapor tends to form graphene flakes or other carbon species terminated by hydrogen atoms, whereas the yield of empty fullerenes is very low. Conversely, with additional metal atoms (Sc) and the same number of NH3 molecules, the yield of fullerenes constantly increase from 5 to 65% which is ascribed to the catalytic activity of metal atoms in the nucleation of carbon cages already at early stage. Moreover, due to the presence of hydrogen atoms from the reactive gas, the carbon cage formation requires much longer time, which provides sufficient reaction time to encapsulate 3 or 4 Sc atoms within one cage. It explains preferential formation of clusterfullerenes in experiments with reactive gas. At the same time, monometallofullerenes and dimetallofullerenes are the main products in absence of reactive gas. We also provide possible growth mechanisms of carbide and cyano-clusterfullerenes in details to elucidate how the intracluster goes into the cage. A possible growth mechanism of nitride clusterfullerenes has been proposed based on DFT results. In the last part, a free-standing crystalline single-atom thick layer of Fe has been studied theoretically. By investigating the energy difference, ΔE, between a suspended Fe monolayer and a nanoparticle using the equivalent number of Fe atoms, one can estimate that the largest stable membrane should be ca. 12 atoms wide or 3 × 3 nm2 which is in excellent agreement with the experimental observation. Otherwise, the possibility of C, O, N atoms embedded into the Fe membrane can been fully excluded by DFTB and DFT simulations, which agrees with electron energy loss spectroscopy (EELS) measurement. A significantly enhanced magnetic moment for single atom thick Fe membranes (3.08 μB) is predicted by DFT as compared to the bulk BCC Fe (2.1 μB), which originates from the 2D nature of the Fe membrane since the dz2 orbital is out-of-plane while the dxy orbital is in-plane.

Quantum mechanics became a foundation for incessant development of versatile computational methods for analysis of chemical and physical properties of molecules and crystals. A huge progress has been made in the fifield of density functional theory, since nowadays this theory offers the best compromise between precision of results and efficiency fiof computation. The chemical bonding analysis can be easily performed with real space methods based on chemical concepts introduced via partitioning of real space into chemically meaningful domains, since the orbital based approach is not well applicable due to the delocalized nature of plane waves. However the practical usage of those methods often requires a signifificant amount of computational resources. Some methods require the evaluation of so called domain overlap matrices, that is a formidable task for complex and low-symmetry systems. In the present research the author enables the investigation of complex solid compounds with real space chemical bonding indicators by introducing the derivation of the expression for the evaluation of the domain overlap matrix elements from the projected-augmented wave method. The corresponding program module was developed, which is capable to perform the real space chemical bonding analysis with a number of methods, like electron localizability indicators, electron localization function, localization/delocalization indices and domain averaged Fermi hole orbitals. The efficiency and the accuracy of the developed implementation is demonstrated by the comparison with the domain overlap matrix elements evaluation from the full-potential linearized augmented plane wave method on a set of simple compounds with three atoms per primitive cell at most. A set of complex periodic structures is analyzed and the capability of the present implementation to unravel intricate chemical bonding patterns is demonstrated.