Les résultats présentés dans cette habilitation concernent les réseaux dans les représentations semi-stables, ainsi que les quotients de ceux-ci. Plus précisément, les plus manquants d'entre eux sont 1) une étude de certaines catégories de Breuil en torsion 2) une étude des variétés de Kisin, et plus exactement une estimation de la dimension de certaines d'entre elles 3) l'obtention de bornes (dépendant des " poids de Hodge-Tate ") sur l'action de l'inertie modérée et de l'inertie sauvage sur les représentations semi-stables de torsion 4) le développement de la théorie des (phi,tau)-modules, avec pour application une caractérisation et une classification des réseaux dans les représentations semi-stables

Dans cet article, on montre comment associer à toute représentation $p$-adique $V$, via la théorie des $(\varphi,\Gamma_K)$-modules de Fontaine, une équation différentielle $p$-adique $\mathbf(D)^(\dagger)_(\mathrm(rig))(V)$, c'est-à-dire un module à connexion sur l'anneau de Robba. Cette construction permet de faire le lien entre la théorie des $(\varphi,\Gamma_K)$-modules et la théorie de Hodge $p$-adique. On montre par exemple comment construire $\mathbf(D)_(\mathrm(cris))(V)$ et $\mathbf(D)_(\mathrm(st))(V)$ directement à partir de $\mathbf(D)^(\dagger)_(\mathrm(rig))(V)$, ce qui permet de reconna(\^\i)tre les représentations semi-stables ou cristallines; la connexion est alors unipotente ou triviale. Alliée à des techniques de la théorie des équations différentielles $p$-adiques, l'étude du module $\mathbf(D)^(\dagger)_(\mathrm(rig))(V)$ permet en outre de donner une nouvelle démon\-stration d'un théorème de Sen caractérisant les représen\-tations $\mathbf(C)_p$-admissibles. Finalement on peut utiliser les résultats précédents pour étendre au cas d'un corps résiduel parfait quelconque des résultats de Hyodo ($H^1_g=H^1_(st)$), de Perrin-Riou (sur la semi-stabilité des représentations ordinaires), de Colmez (les représentations absolument cristallines sont de hauteur finie), et de Bloch et Kato (si $r\gg 0$, alors l'exponentielle de Bloch-Kato $\exp_(V(r))$ est un isomorphisme) dont les démonstrations (dans le cas d'un corps résiduel fini) reposaient sur des considérations de dimensions de groupes de cohomologie galoisienne.

L'objet principal de cette thèse est de démontrer une inégalité d'Arakelov qui consiste à borner le degré d'un sous-faisceau inversible de l'image directe d'un faisceau relatif pluricanonique d'une famille semi-stable de courbes. Un problème naturel qui apparaît est la caractérisation des familles pour lesquelles sont satisfaites le cas d'égalité dans l'inégalité d'Arakelov, i.e. le cas d'égalité d'Arakelov. Peu d'exemples de telles familles sont connus. Dans cette thèse nous en proposons plusieurs en prouvant que le faisceau relatif bicanonique d'une famille semi-stable de courbes uniformisée par la boule unité et dont toutes les fibres singulières sont totalement géodésiques contient un sous-faisceau inversible qui satisfait l'égalité d'Arakelov. / The main object of study in this thesis is an Arakelov inequality which bounds the degree of an invertible subsheaf of the direct image of the pluricanonical relative sheaf of a semistable family of curves. A natural problem that arises is the characterization of those families for which the equality is satisfied in that Arakelov inequality, i.e. the case of Arakelov equality. Few examples of such families are known. In this thesis we provide some examples by proving that the direct image of the bicanonical relative sheaf of a semistable family of curves uniformized by the unit ball, all whose singular fibers are totally geodesic, contains an invertible subsheaf which satisfies Arakelov equality.