Analisamos o comportamento assintótico de uma família de equilíbrios de uma equação de reação-difusão com a condição de Neumann homegênea definido num domínio fino bidimensional com termos de reação concentradas em uma vizinhança oscilante da fronteira. Assumimos que o domínio e portanto a vizinhança oscilante se degeneram em um intervalo quando o parâmetro positivo tende a zero. O objetivo principal foi mostrar que essa família de soluções, converge para uma equação limite unidimensional, que captura a geometria e o comportamento assintótico dos conjuntos abertos onde o problema é estabelecido. De fato mostramos a continuidade da família de equilíbrios / In this work we analyze the behavior of a family of stead state solutions of a semilinear reaction-diffusion equation with homogeneous Neumann boundary condition, posed in a two-dimensional thin domain with reaction term concentrated in an narrow oscillating neighborhood. Indeed, we assume that the domain of definition of the solutions degenerates into an interval as a small parameter $\\epsilon$ goes to zero. Our main result is that this family of solutions converge to the solution of a one-dimensional limit equation capturing the geometry and oscillatory behaviour of the open sets where the problem is estabilished.

Analisamos o comportamento assintótico de uma família de equilíbrios de uma equação de reação-difusão com a condição de Neumann homegênea definido num domínio fino bidimensional com termos de reação concentradas em uma vizinhança oscilante da fronteira. Assumimos que o domínio e portanto a vizinhança oscilante se degeneram em um intervalo quando o parâmetro positivo tende a zero. O objetivo principal foi mostrar que essa família de soluções, converge para uma equação limite unidimensional, que captura a geometria e o comportamento assintótico dos conjuntos abertos onde o problema é estabelecido. De fato mostramos a continuidade da família de equilíbrios / In this work we analyze the behavior of a family of stead state solutions of a semilinear reaction-diffusion equation with homogeneous Neumann boundary condition, posed in a two-dimensional thin domain with reaction term concentrated in an narrow oscillating neighborhood. Indeed, we assume that the domain of definition of the solutions degenerates into an interval as a small parameter $\\epsilon$ goes to zero. Our main result is that this family of solutions converge to the solution of a one-dimensional limit equation capturing the geometry and oscillatory behaviour of the open sets where the problem is estabilished.

Neste trabalho estudamos comportamento assintótico de problemas parabólicos semilineares do tipo ut ¡div(p(x)Nu)+l u = h(u) em um domí?nio limitado e suave W ½ Rn, com condições de Neumann na fronteira, quando o coeficiente de difusão p se torna grande em uma sub-região W0 que é interior ao domí?nio físico W. Provamos que, sob determinadas hipóteses, a família de atratores se comporta semicontinuamente inferior e superiormente quando a difusão explode em W0 / In this work we study the asymptotic behavior of semilinear parabolic problems of the form ut ¡div(p(x)Ñu)+l u = h(u) in a bounded smooth domain W ½ Rn and Neumann boundary conditions when the diffusion coefficient p becomes large in a subregion W0 which is interior to the physical domain W. We prove, under suitable assumptions, that the family of attractors behave upper and lowersemicontinuously as the diffusion blows up in W0.

O propósito deste trabalho é estudar a dinâmica assintótica de problemas parabólicos em domínios tipo dumbbell. Para isto primeiro estudaremos a semi-continuidade superior de atratores para problemas parabólicos com condição de fronteira do tipo Neumann homogênea e depois estudaremos a existência de equilíbrios estáveis não-constantes para problemas de reação-difusão com condições de fronteira tipo Neumann não-lineares. / The aim of this work is to study the asymptotic dynamics of parabolic problems in dumbbell type domains. To that end firstly, we study upper semicontinuity of attractors for parabolic problems with homogeneous Neumann boundary conditions and afterwards we study the existence of stable nonconstant equilibria for reaction-diffusion problems with nonlinear Neumann boundary conditions.

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Neste trabalho estudamos comportamento assintótico de problemas parabólicos semilineares do tipo ut ¡div(p(x)Nu)+l u = h(u) em um domí?nio limitado e suave W ½ Rn, com condições de Neumann na fronteira, quando o coeficiente de difusão p se torna grande em uma sub-região W0 que é interior ao domí?nio físico W. Provamos que, sob determinadas hipóteses, a família de atratores se comporta semicontinuamente inferior e superiormente quando a difusão explode em W0 / In this work we study the asymptotic behavior of semilinear parabolic problems of the form ut ¡div(p(x)Ñu)+l u = h(u) in a bounded smooth domain W ½ Rn and Neumann boundary conditions when the diffusion coefficient p becomes large in a subregion W0 which is interior to the physical domain W. We prove, under suitable assumptions, that the family of attractors behave upper and lowersemicontinuously as the diffusion blows up in W0.

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O propósito deste trabalho é estudar a dinâmica assintótica de problemas parabólicos em domínios tipo dumbbell. Para isto primeiro estudaremos a semi-continuidade superior de atratores para problemas parabólicos com condição de fronteira do tipo Neumann homogênea e depois estudaremos a existência de equilíbrios estáveis não-constantes para problemas de reação-difusão com condições de fronteira tipo Neumann não-lineares. / The aim of this work is to study the asymptotic dynamics of parabolic problems in dumbbell type domains. To that end firstly, we study upper semicontinuity of attractors for parabolic problems with homogeneous Neumann boundary conditions and afterwards we study the existence of stable nonconstant equilibria for reaction-diffusion problems with nonlinear Neumann boundary conditions.

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Neste trabalho estudamos problemas de reação-difusão semilineares do tipo \'u IND..t(x, t) = \'DELTA\'u(x, t)+ f (u(x, t)), x \'PERTENCE A\' \'OMEGA\' \'PARTIAL\' U/\'PARTIAL\'V (x, t) = 0, x \'PERTENCE A\' \'PARTIAL\'\' OMEGA\'. Desenvolvemos uma teoria abstrata para a obtenção da continuidade da dinâmica assintótica de (P) sob perturbações singulares do domínio espacial W e aplicamos a uma série de exemplos dos assim chamados domínios finos / In this work we study semilinear reaction-diffusion problems of the type \'u IND.t(x, t) = \'DELTA\'u(x, t)+ f (u(x, t)), x \' PERTENCE A\' \'OMEGA\' \'PARTIAL\'u/\'ARTIAL\' v (x, t) = 0, x \"PERTENCE A\' \'PARTIAL\' \' OMEGA\' We develop a abstract theory to obtain the continuity of the asymptotic dynamics of (P) under singular perturbations of the spatial domain W and we apply that to many examples in thin domains