Giessen, Universiẗat, Diss., 1999.

Hannover, Universiẗat, Diss., 2002.

In dieser Arbeit untersuchen wir zwei Modelle, die das Laden und Entladen einer Lithium-Ionen Batterie beschreiben. Beide Modelle spiegeln eine Hysterese in dem Spannungs-Ladungs-Verlauf wider. Wir skizzieren den Modellierungsprozess von einem diskreten vielteilchen Modell sowie einem kontinuierlichen vielteilchen Modell. Das erste führt zu einer axiomatischen Beschreibung der Evolution makroskopischer Größen, während das zweite in eine nichtlineare Fokker-Planck Gleichung mündet. Wir zeigen die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der nichtlinearen Fokker-Planck Gleichung und untersuchen deren qualitative Eigenschaften. Wir benutzen Interpolationsräume und Halbgruppen sektorieller Operatoren um den semilinearen Charakter der partiellen Differentialgleichung auszunutzen. Um globale Existenz zu erhalten, schätzen wir die Dissipation einer mit dem Modell verknüpften Energie ab. Diese Energie ist verwandt mit der L-log-L Norm, welche wir mithilfe einer Gagliardo-Nirenberg Ungleichung zu der L^2 Norm in Verbindung setzen können. Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur globalen Existenz von Lösungen sind aus physikalischer Sicht plausibel. Der Ladezustand der Batterie muss innerhalb der Werte Voll und Leer sein. In numerischen Experimenten untersuchen wir das qualitative Verhalten von Lösungen. Wir zeigen die Konvergenz der numerischen Lösungen zu den exakten Lösungen. Dafür nutzen wir ähnliche Techniken wie bei der lokalen Existenztheorie. Wir beobachten die Tendenz von Lösungen sich um bestimmte Punkte zu konzentrieren. Unterstützt durch die formale Asymptotik zeigt dies für eine bestimmte Wahl von Parameter-Skalierungen, dass Lösungen gegen Dirac-Maße konvergieren. In diesem Grenzverhalten wird das System durch die Evolution von makroskopischen Größen beschrieben, welche wir auch in dem diskreten vielteilchen Modell wiederfinden. In diesen makroskopischen Größen lässt sich eine Hysterese beobachten. / We discuss two models which describe the charging and discharging of a lithium-ion battery and especially the hysteretical behaviour therein. We give an overview on the modelling process for a discrete many particle model and a continuous many particle model. The former results in an axiomatic description of macroscopic quantities while the latter gives a nonlinear Fokker-Planck equation. The nonlinear Fokker-Planck equation is analysed with respect to existence and uniqueness of solutions as well as qualitative behaviour of solutions. The nonlinearity in this partial differential equation stems from a coefficient which depends on the solution first non-local and second in a higher order. We use interpolation spaces and semigroups generated from sectorial operators to show the existence and uniqueness of solutions locally in time. The global existence in time relies on estimates for the dissipation of an energy. The suitable energy is related to the L-log-L norm and so a Gagliardo-Nirenberg inequality is needed to connect this back to L^2 estimates. It turns out that the conditions for global in time existence of solutions are physical reasonable. One needs that the loading state of the battery shall stay between totally empty and totally full. In numerical experiments we investigate the qualitative behaviour of solutions to the nonlinear Fokker-Planck equation. We are able to show convergence of the numerical solutions to the exact solution. We observe that solutions tend to concentrate at certain points. Supported by results from formal asymptotic expansions, we document the limiting behaviour in a certain scaling of the appearing parameters, which is the formation of Dirac measures. The evolution of the global quantities, which we observe in numerical simulations, is the same as what results from the discrete many particle model and one observes hysteretic behaviour in macroscopic quantities.

Es wird gezeigt, dass ein Satz über die Abbildung spektraler Lücken, welcher exponentielle Dichotomie charakterisiert, für eine allgemeine Klasse (SH) von semilinearen hyperbolischen Systemen von partiellen Differentialgleichungen in einem Banach-Raum X von stetigen Funktionen gilt. Dies beantwortet ein Schlüsselproblem für die Existenz und Glattheit invarianter Mannigfaltigkeiten semilinearer hyperbolischer Systeme. Unter natürlichen Annahmen an die Nichtlinearitäten wird gezeigt, dass schwache Lösungen von (SH) einen glatten Halbfluß im Raum X bilden. Für Linearisierungen werden hochfrequente Abschätzungen für Spektren sowie Resolventen unter Verwendung von reduzierten (block)diagonal Systemen hergestellt. Darauf aufbauend wird der Abbildungssatz für spektrale Lücken im kleinen Raum X bewiesen: Eine offene spektrale Lücke des Generators wird exponentiell auf eine offene spektrale Lücke der Halbruppe abgebildet und umgekehrt. Es folgt, dass ein Phänomen wie im Gegenbeispiel von Renardy nicht auftreten kann. Unter Verwendung der allgemeinen Theorie implizieren die Ergebnisse die Existenz von glatten Zentrumsmannigfaltigkeiten für (SH). Die Ergebnisse werden auf traveling wave Modelle für die Dynamik von Halbleiter Lasern angewandt. Für diese werden Moden Approximationen (Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen, welche die Dynamik auf gewissen Zentrumsmannigfaltigkeiten approximativ beschreiben) hergeleitet und gerechtfertigt, die generische Bifurkation von modulierten Wellen aus rotierenden Wellen wird gezeigt. Globale Existenz und glatte Abhängigkeit von nichtautonomen traveling wave Modellen werden betrachtet, außerdem werden Moden Approximationen für solche nichtautonomen Modelle rigoros hergeleitet. Insbesondere arbeitet die Theorie für die Stabilitäts- und Bifurkationsanalyse von Turing Modellen mit korellierter Zufallsbewegung. Ferner beinhaltet die Klasse (SH) neutrale und retardierte funktionale Differentialgleichungen. / A spectral gap mapping theorem, which characterizes exponential dichotomy, is proven for a general class of semilinear hyperbolic systems of PDEs in a Banach space X of continuous functions. This resolves a key problem on existence and smoothness of invariant manifolds for semilinear hyperbolic systems. It is shown that weak solutions to (SH) form a smooth semiflow in X under natural conditions on the nonlinearities. For linearizations high frequency estimates of spectra and resolvents in terms of reduced diagonal and blockdiagonal systems are given. Using these estimates a spectral gap mapping theorem in the small Banach space X is proven: An open spectral gap of the generator is mapped exponentially to an open spectral gap of the semigroup and vice versa. Hence, a phenomenon like in Renardy''s counterexample cannot appear for linearizations of (SH). By the general theory the results imply existence of smooth center manifolds for (SH). Moreoever, the results are applied to traveling wave models of semiconductor laser dynamics. For such models mode approximations (ODE systems which approximately describe the dynamics on center manifolds) are derived and justified, and generic bifurcations of modulated waves from rotating waves are shown. Global existence and smooth dependence of nonautonomous traveling wave models with more general solutions, which possess jumps, are considered, and mode approximations are derived for such nonautonomous models. In particular the theory applies to stability and bifurcation analysis for Turing models with correlated random walk. Moreover, the class (SH) includes neutral and retarded functional differential equations.