A popular way to reduce weight in industrial products without compromising the strength or stiffness is to replace components made of metal by plastics that have been reinforced by glass fibers. When fibers are introduced in a plastic, the resulting composite usually becomes anisotropic, which makes it much more complex to work with in simulation software. This thesis looks at modeling of such a composite using the multi-scale material modeling tool Digimat. An injection molding simulation of a brush cutter casing made of a short fiber reinforced plastic has been performed in order to obtain information about the glass fiber orientations, and thus the anisotropy, in each material point. That information has then been transferred over from the injection mesh to the structural mesh via a mapping routine. An elasto-viscoplastic material model with failure has been employed and calibrated against experimental data to find the corresponding material parameters. Lastly, a finite element analysis simulating a drop test has been performed. The results from the analysis have been compared with a physical drop test in order to evaluate the accuracy of the methodology used. The outcome has been discussed, conclusions have been drawn and suggestions for further studies have been presented.

Innerhalb dieser Arbeit wird ein Fertigungsverfahren entwickelt und erprobt, das den additiven Aufbau von großvolumigen faserverstärkten Kunststoffbauteilen in Skelettbauweise erlaubt. Dafür wird ein modifizierter Extruder zusammen mit einer speziellen Kinematik genutzt. Der Fokus liegt auf der Analyse des Einflusses der Steuergrößen auf geometrische und mechanische Eigenschaften, sowie Haftung im Bauteil. Hinsichtlich der geometrischen Eigenschaften wird ein Prozessmodell entwickelt, das die Abhängigkeit der Strangbreite und -höhe von den Steuergrößen darstellt. Durch experimentelle Untersuchungen werden die Prozessgrenzen und an diesen auftretende Effekte ermittelt. Das Verfahren weist hier große Freiräume auf. So können z.B. mit einer 1 mm Düse Strangbreiten von 1,2 bis 3,2mm erzielt werden. Die mechanischen Eigenschaften in Strangrichtung erreichen im 3D-Druck annähernd die Steifigkeit und Festigkeit der Spritzgießreferenz. Prozessbedingt ist eine Porosität im Material nicht ganz vermeidbar, allerdings sind die Fasern stark ausgerichtet und die Faserlänge im Granulat bleibt im Prozess weitestgehend erhalten. Mittels direktem 3D-Drucken auf endlosfaserverstärktes Tape kann mit Vorheizen des Tapes ein guter Haftverbund generiert werden. Ergänzend wurden zwei Komponenten entwickelt, die für eine Industrialisierung des Prozesses entscheidend sind: Zum einen wurde ein neues Düsenkonzept vorgestellt, das eine schnelle Anpassung des Massestroms während des 3D-Druckens ermöglicht. Zum anderen wurde eine Temperierdüse vorgestellt, mit der mittels Konvektion der abgelegte Strang gekühlt bzw. erhitzt werden kann.:1 Einleitung 2 Zielstellung 3 Literaturübersicht 4 Konzeption eines neuartigen 3D-Druck-Verfahrens 5 Analyse der kinematischen Eigenschaften 6 Betrachtung der Haftungsmechanismen 7 Untersuchung der mechanischen Eigenschaften 8 Weiterentwicklung von Anlagenkomponenten 9 Zusammenfassung und Ausblick / In this thesis, a manufacturing process is presented which enables the additive manufacturing of largevolume fibre-reinforced plastic components in skeleton construction by using an extruder together with special kinematics. The focus is on the analysis of the influence of the control variables on geometric and mechanical properties, as well as adhesion in the component. With regard to the geometric properties, a process model is being developed that shows the dependence of the strand width and height on the control variables. Experimental investigations are used to determine the process limits and the effects occurring at these limits. The procedure knows here large free spaces, so e.g. with a 1 mm nozzle strand widths of 1,2 bis 3,2mm can be obtained. The mechanical properties in the strand direction in 3D printing approximate the stiffness and strength of the injection molding reference. Due to the process, porosity in the material cannot be completely avoided, however, the fibers are strongly oriented and the fiber length in the granulate is largely retained in the process. Direct 3D printing on continuous fiber-reinforced tape can be used to generate a good adhesive bond by preheating the tape. In addition, two components were developed that are decisive for industrializing the process: On the one hand, a new nozzle concept was introduced that enables rapid adjustment of the mass flow during 3D printing. On the other hand, a nozzle was presented with which the deposited strand can be cooled or heated by convection.:1 Einleitung 2 Zielstellung 3 Literaturübersicht 4 Konzeption eines neuartigen 3D-Druck-Verfahrens 5 Analyse der kinematischen Eigenschaften 6 Betrachtung der Haftungsmechanismen 7 Untersuchung der mechanischen Eigenschaften 8 Weiterentwicklung von Anlagenkomponenten 9 Zusammenfassung und Ausblick

This thesis addresses issues related to the simulation and optimization of the injection molding of short fiber-reinforced plastics (SFRPs). The injection molding process is modeled by a two phase flow problem. The simulation of the two phase flow is accompanied by the solution of the Folgar-Tucker equation (FTE) for the simulation of the moments of fiber orientation densities. The FTE requires the solution of the so called 'closure problem'', i.e. the representation of the 4th order moments in terms of the 2nd order moments. In the absence of fiber-fiber interactions and isotropic initial fiber density, the FTE admits an analytical solution in terms of elliptic integrals. From these elliptic integrals, the closure problem can be solved by a simple numerical inversion. Part of this work derives approximate inverses and analytical inverses for special cases of fiber orientation densities. Furthermore a method is presented to generate rational functions for the computation of arbitrary moments in terms of the 2nd order closure parameters. Another part of this work treats the determination of effective material properties for SFRPs by the use of FFT-based homogenization methods. For these methods a novel discretization scheme, the 'staggered grid'' method, was developed and successfully tested. Furthermore the so called 'composite voxel'' approach was extended to nonlinear elasticity, which improves the approximation of material properties at the interfaces and allows the reduction of the model order by several magnitudes compared to classical approaches. Related the homogenization we investigate optimal experimental designs to robustly determine effective elastic properties of SFRPs with the least number of computer simulations. Finally we deal with the topology optimization of injection molded parts, by extending classical SIMP-based topology optimization with an approximate model for the fiber orientations. Along with the compliance minimization by topology optimization we also present a simple shape optimization method for compensation of part warpage for an black-box production process.:Acknowledgments v Abstract vii Chapter 1. Introduction 1 1.1 Motivation 1 1.2 Nomenclature 3 Chapter 2. Numerical simulation of SFRP injection molding 5 2.1 Introduction 5 2.2 Injection molding technology 5 2.3 Process simulation 6 2.4 Governing equations 8 2.5 Numerical implementation 18 2.6 Numerical examples 25 2.7 Conclusions and outlook 27 Chapter 3. Numerical and analytical methods for the exact closure of the Folgar-Tucker equation 35 3.1 Introduction 35 3.2 The ACG as solution of Jeffery's equation 35 3.3 The exact closure 36 3.4 Carlson-type elliptic integrals 37 3.5 Inversion of R_D-system 40 3.6 Moment tensors of the angular central Gaussian distribution on the n-sphere 49 3.7 Experimental evidence for ACG distribution hypothesis 54 3.8 Conclusions and outlook 60 Chapter 4. Homogenization of SFRP materials 63 4.1 Introduction 63 4.2 Microscopic and macroscopic model of SFRP materials 63 4.3 Effective linear elastic properties 65 4.4 The staggered grid method 68 4.5 Model order reduction by composite voxels 80 4.6 Optimal experimental design for parameter identification 93 Chapter 5. Optimization of parts produced by SFRP injection molding 103 5.1 Topology optimization 103 5.2 Warpage compensation 110 Chapter 6. Conclusions and perspectives 115 Appendix A. Appendix 117 A.1 Evaluation of R_D in Python 117 A.2 Approximate inverse for R_D in Python 117 A.3 Inversion of R_D using Newton's/Halley's method in Python 117 A.4 Inversion of R_D using fixed point method in Python 119 A.5 Moment computation using SymPy 120 A.6 Fiber collision test 122 A.7 OED calculation of the weighting matrix 123 A.8 OED Jacobian of objective and constraints 123 Appendix B. Theses 125 Bibliography 127 / Diese Arbeit befasst sich mit Fragen der Simulation und Optimierung des Spritzgießens von kurzfaserverstärkten Kunststoffen (SFRPs). Der Spritzgussprozess wird durch ein Zweiphasen-Fließproblem modelliert. Die Simulation des Zweiphasenflusses wird von der Lösung der Folgar-Tucker-Gleichung (FTE) zur Simulation der Momente der Faserorientierungsdichten begleitet. Die FTE erfordert die Lösung des sogenannten 'Abschlussproblems'', d. h. die Darstellung der Momente 4. Ordnung in Form der Momente 2. Ordnung. In Abwesenheit von Faser-Faser-Wechselwirkungen und anfänglich isotroper Faserdichte lässt die FTE eine analytische Lösung durch elliptische Integrale zu. Aus diesen elliptischen Integralen kann das Abschlussproblem durch eine einfache numerische Inversion gelöst werden. Ein Teil dieser Arbeit leitet approximative Inverse und analytische Inverse für spezielle Fälle von Faserorientierungsdichten her. Weiterhin wird eine Methode vorgestellt, um rationale Funktionen für die Berechnung beliebiger Momente in Bezug auf die Abschlussparameter 2. Ordnung zu generieren. Ein weiterer Teil dieser Arbeit befasst sich mit der Bestimmung effektiver Materialeigenschaften für SFRPs durch FFT-basierte Homogenisierungsmethoden. Für diese Methoden wurde ein neuartiges Diskretisierungsschema 'staggerd grid'' entwickelt und erfolgreich getestet. Darüber hinaus wurde der sogenannte 'composite voxel''-Ansatz auf die nichtlineare Elastizität ausgedehnt, was die Approximation der Materialeigenschaften an den Grenzflächen verbessert und die Reduzierung der Modellordnung um mehrere Größenordnungen im Vergleich zu klassischen Ansätzen ermöglicht. Im Zusammenhang mit der Homogenisierung untersuchen wir optimale experimentelle Designs, um die effektiven elastischen Eigenschaften von SFRPs mit der geringsten Anzahl von Computersimulationen zuverlässig zu bestimmen. Schließlich beschäftigen wir uns mit der Topologieoptimierung von Spritzgussteilen, indem wir die klassische SIMP-basierte Topologieoptimierung um ein Näherungsmodell für die Faserorientierungen erweitern. Neben der Compliance-Minimierung durch Topologieoptimierung stellen wir eine einfache Formoptimierungsmethode zur Kompensation von Teileverzug für einen Black-Box-Produktionsprozess vor.:Acknowledgments v Abstract vii Chapter 1. Introduction 1 1.1 Motivation 1 1.2 Nomenclature 3 Chapter 2. Numerical simulation of SFRP injection molding 5 2.1 Introduction 5 2.2 Injection molding technology 5 2.3 Process simulation 6 2.4 Governing equations 8 2.5 Numerical implementation 18 2.6 Numerical examples 25 2.7 Conclusions and outlook 27 Chapter 3. Numerical and analytical methods for the exact closure of the Folgar-Tucker equation 35 3.1 Introduction 35 3.2 The ACG as solution of Jeffery's equation 35 3.3 The exact closure 36 3.4 Carlson-type elliptic integrals 37 3.5 Inversion of R_D-system 40 3.6 Moment tensors of the angular central Gaussian distribution on the n-sphere 49 3.7 Experimental evidence for ACG distribution hypothesis 54 3.8 Conclusions and outlook 60 Chapter 4. Homogenization of SFRP materials 63 4.1 Introduction 63 4.2 Microscopic and macroscopic model of SFRP materials 63 4.3 Effective linear elastic properties 65 4.4 The staggered grid method 68 4.5 Model order reduction by composite voxels 80 4.6 Optimal experimental design for parameter identification 93 Chapter 5. Optimization of parts produced by SFRP injection molding 103 5.1 Topology optimization 103 5.2 Warpage compensation 110 Chapter 6. Conclusions and perspectives 115 Appendix A. Appendix 117 A.1 Evaluation of R_D in Python 117 A.2 Approximate inverse for R_D in Python 117 A.3 Inversion of R_D using Newton's/Halley's method in Python 117 A.4 Inversion of R_D using fixed point method in Python 119 A.5 Moment computation using SymPy 120 A.6 Fiber collision test 122 A.7 OED calculation of the weighting matrix 123 A.8 OED Jacobian of objective and constraints 123 Appendix B. Theses 125 Bibliography 127