Ce document traite le problème de l’élasticité en grandes déformations avec contact frottant. Dans le premier chapitre, nous présentons un rappel des lois auxquelles nous ferons référence : lois de comportement matériau, conditions aux limites, contact et frottement selon la loi de Coulomb. Le coeur de la thèse commence par la discrétisation des conditions de bord. L’imposition en moyenne de la non-pénétration et de la loi de Coulomb est explicitée dans le but de se ramener en dimension finie. C’est dans ce domaine que les algorithmes sont développés. Les conditions d’optimalité sont donc calculées pour le problème déjà discrétisé et sont linéarisées par la suite selon le paradigme des contraintes actives. Suivant cette stratégie, l’état de contact est fixé à chaque itération de la méthode de Newton, transformant les conditions de contact en contraintes d’égalité. Le système de conditions d’optimalité ainsi obtenu peut alors être linéarisé. La résolution de ce nouveau système linéaire constitue l’autre partie importante de cette thèse. Les méthodes de pénalisation et d’Uzawa sont d’abord exposées ; elles serviront de point de comparaison. Nous construisons par la suite un algorithme basé sur un GCR préconditionné par une factorisation faisant apparaître un complément de Schur. Le tout est présenté d’abord dans le cas plus simple du contact sans frottement, puis en ajoutant le frottement. Des résultats numériques, parfois académiques (des cubes) et parfois industriels (des lamelles de pneus), viennent finalement appuyer les convictions que non seulement ces méthodes sont rapides, mais qu’elles sont aussi robustes. / This thesis addresses the problem of large deformation elasticity with frictional contact. In the first chapter, we recall the laws to which we refer: material behavior laws, boundary conditions, contact and friction according to Coulomb’s law. The heart of the thesis begins with the discretization of boundary conditions. Mortar formulations for non-penetration and Coulomb’s law are explained in order to set the problem in a finite dimensional space. Optimality conditions are calculated for the discretized problem and are subsequently linearized according to the paradigm of active set strategy. Under this approach, the contact state is set at each iteration of Newton’s method, transforming the contact conditions in equality constraints. The system of optimality conditions thus obtained can then be linearized. The resolution of this new linear system is another important part of this thesis. Methods of penalization and Uzawa are first exposed; they serve as a comparison point. Thereafter, we introduce a preconditioned GCR algorithm based on a factorization using a Schur complement. The whole problem is presented first in the simplest case of contact without friction, and, in the last chapter, with friction. Numerical results, sometimes academic (cubes) and sometimes industrial (slides tires) finally support the belief that not only these methods are efficient, but they are also robust.

Une partie traite de la dynamique des systèmes de solides rigides en présence de liaisons unilatérales (comme les problèmes de billard par exemple). On discute de la formulation systématique du problème de Cauchy correspondant ainsi que de l'existence et l'unicité de ses solutions. Une autre partie partie concerne l'étude des problèmes de contact avec frottement au bord en élasticité tridimensionnelle linéarisée, et les difficultés associées à l'absence de monotonie dans la discussion de l'unicité de solution. On fait valoir l'importance possible de cette discussion par rapport au problème de dimensionnement (de dispositifs de frein par exemple) vis-à-vis du phénomène de crissement. Une dernière partie traite de problèmes posés par l'évolution quasi-statique de structures minces élastiques (comme des fils ou des poutres) au-dessus d'obstacles rigides en présence de frottement. Ces problèmes fournissent des exemples archétypaux de processus de rafle de Moreau en dimension infinie. Des exemples simples mettent en évidence l'apparition spontanée de discontinuités spatiales mobiles de la vitesse, alors même que les données peuvent être des fonctions aussi régulières que l'on veut. Il ne peut y avoir alors de solution forte et il faut se contenter de solution faible au processus de rafle sous-jacent.

Une approche cinématique des problèmes de discontinuités de déplacement dans les solides élastiques est proposée. Notre approche diffère de celle de la mécanique de la rupture classique puisque nous avons pris explicitement la distribution de discontinuités comme la variable du problème. Le postulat proposé conduit à l'écriture des critères et des lois d'évolutions pour les problèmes de discontinuités sous une forme opératoire conduisant à une écriture sous forme de problèmes variationnels efficaces. Un outil numérique pour la résolution des problèmes de discontinuités est réalisé. Cette méthode d'équations intégrales utilise la représentation des champs mécaniques avec des potentiels de doubles couches. A titre de validation de la méthode, nous avons calculé le facteur d'intensité de contrainte dans des cas de fissures dans les domaines bornés et non bornés. L'objectif principal de la thèse est de construire un modèle d'endommagement de la rupture par microfissuration. A l'aide de l'outil numérique que nous avons construit, le calcul de propriétés effectives d'un solide microfissuré a été fait ainsi qu'une simulation numérique de l'endommagement et de la rupture d'un solide sous chargement cyclique.