We propose a dynamical systems approach to the study of weak turbulence(spatiotemporal chaos) based on the periodic orbit theory, emphasizing the role of recurrent patterns and coherent structures. After a brief review of the periodic orbit theory and its application to low-dimensional dynamics, we discuss its possible extension to study dynamics of spatially extended systems. The discussion is three-fold. First, we introduce a novel variational scheme for finding periodic orbits in high-dimensional systems. Second, we prove rigorously the existence of periodic structures (modulated amplitude waves) near the first instability of the complex Ginzburg-Landau equation, and check their role in pattern formation. Third, we present the extensive numerical exploration of the Kuramoto-Sivashinsky system in the chaotic regime: structure of the equilibrium solutions, our search for the shortest periodic orbits, description of the chaotic invariant set in terms of intrinsic coordinates and return maps on the Poincare section.

Ausgedehnte dissipative Systeme können fernab vom thermodynamischen Gleichgewicht instabil gegenüber Oszillationen bzw. Wellen oder raumzeitlichem Chaos werden. Die komplexe Ginzburg-Landau Gleichung (CGLE) stellt ein universelles Modell zur Beschreibung dieser raumzeitlichen Strukturen dar. Diese Arbeit ist der theoretischen Analyse komplexer Muster gewidmet. Mittels numerischer Bifurkations- und Stabilitätsanalyse werden Instabilitäten einfacher Muster identifiziert und neuartige Lösungen der CGLE bestimmt. Modulierte Amplitudenwellen (MAW) und Super-Spiralwellen sind Beispiele solcher komplexer Muster. MAWs können in hydrodynamischen Experimenten und Super-Spiralwellen in der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion beobachtet werden. Der Grenzübergang von Phasen- zu Defektchaos wird durch den Existenzbereich der MAWs erklärt. Mittels der selben numerischen Methoden wird Bursting vom Fold-Hopf-Typ in einem Modell der Kalziumsignalübertragung in Zellen identifiziert.

Ausgedehnte dissipative Systeme können fernab vom thermodynamischen Gleichgewicht instabil gegenüber Oszillationen bzw. Wellen oder raumzeitlichem Chaos werden. Die komplexe Ginzburg-Landau Gleichung (CGLE) stellt ein universelles Modell zur Beschreibung dieser raumzeitlichen Strukturen dar. Diese Arbeit ist der theoretischen Analyse komplexer Muster gewidmet. Mittels numerischer Bifurkations- und Stabilitätsanalyse werden Instabilitäten einfacher Muster identifiziert und neuartige Lösungen der CGLE bestimmt. Modulierte Amplitudenwellen (MAW) und Super-Spiralwellen sind Beispiele solcher komplexer Muster. MAWs können in hydrodynamischen Experimenten und Super-Spiralwellen in der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion beobachtet werden. Der Grenzübergang von Phasen- zu Defektchaos wird durch den Existenzbereich der MAWs erklärt. Mittels der selben numerischen Methoden wird Bursting vom Fold-Hopf-Typ in einem Modell der Kalziumsignalübertragung in Zellen identifiziert.

O Dilema do Prisioneiro (DP) é o jogo mais proeminente da Teoria dos Jogos devido à emergência da cooperação entre jogadores egoístas. O comportamento de cada jogador depende da estratégia que ele adotada e do seu ganho, que é determinado em função dos parâmetros do DP (T, R, P e S) e do número z de vizinhos com que ele joga. Portanto, a estrutura espacial dos jogadores não é relevante. Em nosso trabalho, utilizamos um autômato celular unidimensional onde cada jogador pode cooperar ou desertar ao interagir, simetricamente, com seus z vizinhos mais próximos. O sistema proposto nos permitiu realizar um estudo exaustivo do espaço de parâmetros para as estratégias evolucionárias Darwiniana (EED) e a Pavloviana (EEP) e compara-las. A geometria unidimensional nos possibilita obter os mesmos resultados dos sistemas em dimensionalidade arbitrária d, além de apresentar várias vantagens em relação a elas. No sistema que propomos os efeitos de borda são menores, exige menos tempo para a execução das simulações numéricas, permite variar o valor de z e é fácil obter uma representação visual da evolução temporal do sistema. Tal visualização simplifica a compreensão das interações entre os jogadores, pois surgem padrões nos agrupamentos de cooperadores/desertores, semelhantes aos pertencentes às classes dos autômatos celulares elementares. O estudo destes padrões nos permite compreender simplesmente a emergência da cooperação ou deserção nos sistemas. A evolução temporal do sistema que adota a EED gera um diagrama de fases muito rico com a presença das fases cooperadora, desertora e caótica. Já para a EEP, obtivemos um novo resultado analítico para as transições de fase, que neste caso são: cooperadora e quasi-regular. O estudo numérico exaustivo determinou as regiões do espaço de parâmetros onde acontecem cada uma das fases, e os efeitos da auto-interação podendo assim validar os resultados teóricos. O estudo do caso particular T = 1, tradicionalmente considerado como trivial, mostrou que ele apresenta comportamentos inusitados. Nossa principal contribuição para o estudo do DP é a obtenção de um novo paradigma. A geometria unidimensional com interação de vizinhos simétricos permitiu a visualização da evolução de padrões de cooperadores e desertores, o cálculo analítico de Tc para a EEP e o estudo de T = 1 para tais sistemas. / The Prisoner Dilemma (PD) is the most prominent game of the Game Theory due to emergency of the cooperation between selfish players. The behavior of each player depends on his/her strategy and the payoff, which is determined in function of the PD parameters (T, R, P and S) and by the number z of neighbors with whom he/she plays. Therefore, the spatial structure of the players does not matter. In our work, we have used a one-dimensional cellular automaton where each player can cooperate or defect when interacting, symmetrically, with his/her z nearest neighbors. The considered system allowed us to carry out an exhaustive exploration of the parameters space for the Darwinian Evolutionary Strategy (EED) and Pavlovian (EEP) and compares them. One-dimensional geometry makes possible to us get the same results of the systems in arbitrary d dimensional networks, besides, it presents some advantages. For the system that we proposed compared to the others dimensional networks, the boundary effects are less present, it needs less time for run the numerical simulations, it allows to vary the z value and is easier to get the visual representation of the system temporal evolution. Such visualization simplifies the understanding of the interactions between the players, therefore patterns appear in the clusters of cooperator/defectors, and these patterns belong to the elementary cellular automata classes. The study of these patterns allows them to understand in an easy way the emergence of the cooperation or defection in the systems. The temporal evolution of the system that adopts the EED yields a very rich phases diagram with the presence of cooperative, defective and chaotic phases. By the other hand, for the EEP, we have got a new analytical result for the phase transitions that in this case are: quasi-regular and cooperative. The exhaustive exploration study determines the regions on the parameters space where happen each phases occurs, and the effect of the self-interaction and thus validate the theoretical results. The study of the particular case T = 1, traditionally considered as trivial one, showed that it presents unusual behaviors, that we will present. Our main contribution for the study of the DP is the attainment of a new paradigm. One-dimensional geometry with interaction of symmetrical neighbors allowed to visualizes the evolution of cooperators and defectors patterns, the analytical result for Tc for the EEP and the study of T = 1 for such systems.

O Dilema do Prisioneiro (DP) é o jogo mais proeminente da Teoria dos Jogos devido à emergência da cooperação entre jogadores egoístas. O comportamento de cada jogador depende da estratégia que ele adotada e do seu ganho, que é determinado em função dos parâmetros do DP (T, R, P e S) e do número z de vizinhos com que ele joga. Portanto, a estrutura espacial dos jogadores não é relevante. Em nosso trabalho, utilizamos um autômato celular unidimensional onde cada jogador pode cooperar ou desertar ao interagir, simetricamente, com seus z vizinhos mais próximos. O sistema proposto nos permitiu realizar um estudo exaustivo do espaço de parâmetros para as estratégias evolucionárias Darwiniana (EED) e a Pavloviana (EEP) e compara-las. A geometria unidimensional nos possibilita obter os mesmos resultados dos sistemas em dimensionalidade arbitrária d, além de apresentar várias vantagens em relação a elas. No sistema que propomos os efeitos de borda são menores, exige menos tempo para a execução das simulações numéricas, permite variar o valor de z e é fácil obter uma representação visual da evolução temporal do sistema. Tal visualização simplifica a compreensão das interações entre os jogadores, pois surgem padrões nos agrupamentos de cooperadores/desertores, semelhantes aos pertencentes às classes dos autômatos celulares elementares. O estudo destes padrões nos permite compreender simplesmente a emergência da cooperação ou deserção nos sistemas. A evolução temporal do sistema que adota a EED gera um diagrama de fases muito rico com a presença das fases cooperadora, desertora e caótica. Já para a EEP, obtivemos um novo resultado analítico para as transições de fase, que neste caso são: cooperadora e quasi-regular. O estudo numérico exaustivo determinou as regiões do espaço de parâmetros onde acontecem cada uma das fases, e os efeitos da auto-interação podendo assim validar os resultados teóricos. O estudo do caso particular T = 1, tradicionalmente considerado como trivial, mostrou que ele apresenta comportamentos inusitados. Nossa principal contribuição para o estudo do DP é a obtenção de um novo paradigma. A geometria unidimensional com interação de vizinhos simétricos permitiu a visualização da evolução de padrões de cooperadores e desertores, o cálculo analítico de Tc para a EEP e o estudo de T = 1 para tais sistemas. / The Prisoner Dilemma (PD) is the most prominent game of the Game Theory due to emergency of the cooperation between selfish players. The behavior of each player depends on his/her strategy and the payoff, which is determined in function of the PD parameters (T, R, P and S) and by the number z of neighbors with whom he/she plays. Therefore, the spatial structure of the players does not matter. In our work, we have used a one-dimensional cellular automaton where each player can cooperate or defect when interacting, symmetrically, with his/her z nearest neighbors. The considered system allowed us to carry out an exhaustive exploration of the parameters space for the Darwinian Evolutionary Strategy (EED) and Pavlovian (EEP) and compares them. One-dimensional geometry makes possible to us get the same results of the systems in arbitrary d dimensional networks, besides, it presents some advantages. For the system that we proposed compared to the others dimensional networks, the boundary effects are less present, it needs less time for run the numerical simulations, it allows to vary the z value and is easier to get the visual representation of the system temporal evolution. Such visualization simplifies the understanding of the interactions between the players, therefore patterns appear in the clusters of cooperator/defectors, and these patterns belong to the elementary cellular automata classes. The study of these patterns allows them to understand in an easy way the emergence of the cooperation or defection in the systems. The temporal evolution of the system that adopts the EED yields a very rich phases diagram with the presence of cooperative, defective and chaotic phases. By the other hand, for the EEP, we have got a new analytical result for the phase transitions that in this case are: quasi-regular and cooperative. The exhaustive exploration study determines the regions on the parameters space where happen each phases occurs, and the effect of the self-interaction and thus validate the theoretical results. The study of the particular case T = 1, traditionally considered as trivial one, showed that it presents unusual behaviors, that we will present. Our main contribution for the study of the DP is the attainment of a new paradigm. One-dimensional geometry with interaction of symmetrical neighbors allowed to visualizes the evolution of cooperators and defectors patterns, the analytical result for Tc for the EEP and the study of T = 1 for such systems.