A numerical treatment of non-linear higher-order geometric evolution equations with the level set and the finite element method is presented. The isotropic, weak anisotropic and strong anisotropic situation is discussed. Most of the equations considered in this work arise from the field of thin film growth. A short introduction to the subject is given. Four different models are discussed: mean curvature flow, surface diffusion, a kinetic model, which combines the effects of mean curvature flow and surface diffusion and includes a further kinetic component, and an adatom model, which incorporates in addition free adatoms. As an introduction to the numerical schemes, first the isotropic and weak anisotropic situation is considered. Then strong anisotropies (non-convex anisotropies) are used to simulate the phenomena of faceting and coarsening. The experimentally observed effect of corner and edge roundings is reached in the simulation through the regularization of the strong anisotropy with a higher-order curvature term. The curvature regularization leads to an increase by two in the order of the equations, which results in highly non-linear equations of up to 6th order. For the numerical solution, the equations are transformed into systems of second order equations, which are solved with a Schur complement approach. The adatom model constitutes a diffusion equation on a moving surface. An operator splitting approach is used for the numerical solution. In difference to other works, which restrict to the isotropic situation, also the anisotropic situation is discussed and solved numerically. Furthermore, a treatment of geometric evolution equations on implicitly given curved surfaces with the level set method is given. In particular, the numerical solution of surface diffusion on curved surfaces is presented. The equations are discretized in space by standard linear finite elements. For the time discretization a semi-implicit discretization scheme is employed. The derivation of the numerical schemes is presented in detail, and numerous computational results are given for the 2D and 3D situation. To keep computational costs low, the finite element grid is adaptively refined near the moving curves and surfaces resp. A redistancing algorithm based on a local Hopf-Lax formula is used. The algorithm has been extended by the authors to the 3D case. A detailed description of the algorithm in 3D is presented in this work. / In der Arbeit geht es um die numerische Behandlung nicht-linearer geometrischer Evolutionsgleichungen höherer Ordnung mit Levelset- und Finite-Elemente-Verfahren. Der isotrope, schwach anisotrope und stark anisotrope Fall wird diskutiert. Die meisten in dieser Arbeit betrachteten Gleichungen entstammen dem Gebiet des Dünnschicht-Wachstums. Eine kurze Einführung in dieses Gebiet wird gegeben. Es werden vier verschiedene Modelle diskutiert: mittlerer Krümmungsfluss, Oberflächendiffusion, ein kinetisches Modell, welches die Effekte des mittleren Krümmungsflusses und der Oberflächendiffusion kombiniert und zusätzlich eine kinetische Komponente beinhaltet, und ein Adatom-Modell, welches außerdem freie Adatome berücksichtigt. Als Einführung in die numerischen Schemata, wird zuerst der isotrope und schwach anisotrope Fall betrachtet. Anschließend werden starke Anisotropien (nicht-konvexe Anisotropien) benutzt, um Facettierungs- und Vergröberungsphänomene zu simulieren. Der in Experimenten beobachtete Effekt der Ecken- und Kanten-Abrundung wird in der Simulation durch die Regularisierung der starken Anisotropie durch einen Krümmungsterm höherer Ordnung erreicht. Die Krümmungsregularisierung führt zu einer Erhöhung der Ordnung der Gleichung um zwei, was hochgradig nicht-lineare Gleichungen von bis zu sechster Ordnung ergibt. Für die numerische Lösung werden die Gleichungen auf Systeme zweiter Ordnungsgleichungen transformiert, welche mit einem Schurkomplement-Ansatz gelöst werden. Das Adatom-Modell bildet eine Diffusionsgleichung auf einer bewegten Fläche. Zur numerischen Lösung wird ein Operatorsplitting-Ansatz verwendet. Im Unterschied zu anderen Arbeiten, die sich auf den isotropen Fall beschränken, wird auch der anisotrope Fall diskutiert und numerisch gelöst. Außerdem werden geometrische Evolutionsgleichungen auf implizit gegebenen gekrümmten Flächen mit Levelset-Verfahren behandelt. Insbesondere wird die numerische Lösung von Oberflächendiffusion auf gekrümmten Flächen dargestellt. Die Gleichungen werden im Ort mit linearen Standard-Finiten-Elementen diskretisiert. Als Zeitdiskretisierung wird ein semi-implizites Diskretisierungsschema verwendet. Die Herleitung der numerischen Schemata wird detailliert dargestellt, und zahlreiche numerische Ergebnisse für den 2D und 3D Fall sind gegeben. Um den Rechenaufwand gering zu halten, wird das Finite-Elemente-Gitter adaptiv an den bewegten Kurven bzw. den bewegten Flächen verfeinert. Es wird ein Redistancing-Algorithmus basierend auf einer lokalen Hopf-Lax Formel benutzt. Der Algorithmus wurde von den Autoren auf den 3D Fall erweitert. In dieser Arbeit wird der Algorithmus für den 3D Fall detailliert beschrieben.

A numerical treatment of non-linear higher-order geometric evolution equations with the level set and the finite element method is presented. The isotropic, weak anisotropic and strong anisotropic situation is discussed. Most of the equations considered in this work arise from the field of thin film growth. A short introduction to the subject is given. Four different models are discussed: mean curvature flow, surface diffusion, a kinetic model, which combines the effects of mean curvature flow and surface diffusion and includes a further kinetic component, and an adatom model, which incorporates in addition free adatoms. As an introduction to the numerical schemes, first the isotropic and weak anisotropic situation is considered. Then strong anisotropies (non-convex anisotropies) are used to simulate the phenomena of faceting and coarsening. The experimentally observed effect of corner and edge roundings is reached in the simulation through the regularization of the strong anisotropy with a higher-order curvature term. The curvature regularization leads to an increase by two in the order of the equations, which results in highly non-linear equations of up to 6th order. For the numerical solution, the equations are transformed into systems of second order equations, which are solved with a Schur complement approach. The adatom model constitutes a diffusion equation on a moving surface. An operator splitting approach is used for the numerical solution. In difference to other works, which restrict to the isotropic situation, also the anisotropic situation is discussed and solved numerically. Furthermore, a treatment of geometric evolution equations on implicitly given curved surfaces with the level set method is given. In particular, the numerical solution of surface diffusion on curved surfaces is presented. The equations are discretized in space by standard linear finite elements. For the time discretization a semi-implicit discretization scheme is employed. The derivation of the numerical schemes is presented in detail, and numerous computational results are given for the 2D and 3D situation. To keep computational costs low, the finite element grid is adaptively refined near the moving curves and surfaces resp. A redistancing algorithm based on a local Hopf-Lax formula is used. The algorithm has been extended by the authors to the 3D case. A detailed description of the algorithm in 3D is presented in this work. / In der Arbeit geht es um die numerische Behandlung nicht-linearer geometrischer Evolutionsgleichungen höherer Ordnung mit Levelset- und Finite-Elemente-Verfahren. Der isotrope, schwach anisotrope und stark anisotrope Fall wird diskutiert. Die meisten in dieser Arbeit betrachteten Gleichungen entstammen dem Gebiet des Dünnschicht-Wachstums. Eine kurze Einführung in dieses Gebiet wird gegeben. Es werden vier verschiedene Modelle diskutiert: mittlerer Krümmungsfluss, Oberflächendiffusion, ein kinetisches Modell, welches die Effekte des mittleren Krümmungsflusses und der Oberflächendiffusion kombiniert und zusätzlich eine kinetische Komponente beinhaltet, und ein Adatom-Modell, welches außerdem freie Adatome berücksichtigt. Als Einführung in die numerischen Schemata, wird zuerst der isotrope und schwach anisotrope Fall betrachtet. Anschließend werden starke Anisotropien (nicht-konvexe Anisotropien) benutzt, um Facettierungs- und Vergröberungsphänomene zu simulieren. Der in Experimenten beobachtete Effekt der Ecken- und Kanten-Abrundung wird in der Simulation durch die Regularisierung der starken Anisotropie durch einen Krümmungsterm höherer Ordnung erreicht. Die Krümmungsregularisierung führt zu einer Erhöhung der Ordnung der Gleichung um zwei, was hochgradig nicht-lineare Gleichungen von bis zu sechster Ordnung ergibt. Für die numerische Lösung werden die Gleichungen auf Systeme zweiter Ordnungsgleichungen transformiert, welche mit einem Schurkomplement-Ansatz gelöst werden. Das Adatom-Modell bildet eine Diffusionsgleichung auf einer bewegten Fläche. Zur numerischen Lösung wird ein Operatorsplitting-Ansatz verwendet. Im Unterschied zu anderen Arbeiten, die sich auf den isotropen Fall beschränken, wird auch der anisotrope Fall diskutiert und numerisch gelöst. Außerdem werden geometrische Evolutionsgleichungen auf implizit gegebenen gekrümmten Flächen mit Levelset-Verfahren behandelt. Insbesondere wird die numerische Lösung von Oberflächendiffusion auf gekrümmten Flächen dargestellt. Die Gleichungen werden im Ort mit linearen Standard-Finiten-Elementen diskretisiert. Als Zeitdiskretisierung wird ein semi-implizites Diskretisierungsschema verwendet. Die Herleitung der numerischen Schemata wird detailliert dargestellt, und zahlreiche numerische Ergebnisse für den 2D und 3D Fall sind gegeben. Um den Rechenaufwand gering zu halten, wird das Finite-Elemente-Gitter adaptiv an den bewegten Kurven bzw. den bewegten Flächen verfeinert. Es wird ein Redistancing-Algorithmus basierend auf einer lokalen Hopf-Lax Formel benutzt. Der Algorithmus wurde von den Autoren auf den 3D Fall erweitert. In dieser Arbeit wird der Algorithmus für den 3D Fall detailliert beschrieben.