Die Diffusion durch Polyelektrolytschichten ist bei vielen biotechnologisch-pharmazeutischen Anwendungen im Nanometerbereich von Bedeutung. Bei Experimenten wurde gefunden, dass bei der Diffusion eines Quenchers in mit Fluoreszenzfarbstoff markierten Polyelektrolytmultischichten die Kinetik des Diffusionsprozesses Charakteristika einer anormalen Diffusion aufweist. In dieser Arbeit wird qualitativ und quantitativ gezeigt, dass die Diffusion des Quenchers mit Subdiffusion beschrieben werden kann. Der gemessene Diffusionsprozess kann durch eine Superposition von Markov‘schen Diffusionsprozessen dargestellt werden. Das wird mit einer Monte-Carlo-Simulation nachgewiesen, die auf der analytischen Lösung des vorliegenden Reaktions-Diffusionsgleichungssystems basiert. Die experimentellen Daten werden im Zusammenhang mit der strukturellen Basis der parallel ablaufenden Diffusionsprozesse diskutiert.

In Part I of this thesis we examine solitons – local, non-dissipative excitations – in the dynamics of spin systems. We open, in Ch. 1, with a short account of the history of solitons, from their first observation, to the theories of shallow water and the Korteweg-De Vries model; their appearance in field theories like the sine-Gordon model; to the general description of integrable systems, such as the Toda lattice. We pay particular attention, of course, to solitons in spin models – especially those obtained by Ishimori in an integrable classical spin chain which bears his name. In Ch. 2 we present our work which establishes the existence of solitons in non-integrable spin chains. We begin by constructing exact static solitons in the Heisenberg chain, which we connect to the static Ishimori solitons via an adiabatic interpolation. We then use this adiabatic transform to construct moving Heisenberg solitons, which show no sign of having a finite lifetime. We further show that the interactions of these solitons are remarkably similar to the integrable case, and we establish their presence in low temperature thermal states – which will have important consequences in Part II. Ch. 3 considers a different set-up, where we study the dynamics of domain walls in anisotropic spin chains. Our work shows a striking co-existence of linear and non-linear phenomena – to wit, we show that the free propagation and subdiffusive spreading of domain walls can be captured by non-interacting, linear spin wave theory; but that these domain walls are unstable to decay via the emission of topological solitons. In Part II we will show how the solitons we have discovered play a hydrodynamic role, and find that superdiffusion, far from being limited to the special cases where the model is integrable, may be observed in non-integrable spin chains for (arbitrarily) long times, at low – but non-zero – temperatures. We will, however, preface this with a review of the literature on superdiffusion in integrable spin chains in Ch. 4. Ch. 5 presents our work on the existence of superdiffusion in non-integrable spin chains – with a particular focus, again, on the classical Heisenberg chain. We show that the Heisenberg chain exhibits long-lived superdiffusion of spin – with a striking scaling collapse of the correlation function onto the KPZ function across three decades of time at low temperature – but only ordinary diffusion of energy. We present an argument that explains this phenomenology in terms of the solitons we established in Part I. Further, we examine how the time-scales and temperature-scales of superdiffusion depend on the degree of integrability breaking, by considering the model which interpolates between the Ishimori and Heisenberg chains (and which built the solitons of Ch. 2); and, furthermore, show examples of other non-integrable spin chains evincing the same spin superdiffusion at low temperatures. We turn, in part III, to the opposite kind of anomalous dynamics – subdiffusion. We briefly survey this type of slow dynamics in Ch. 6, describing various mechanisms by which it can arise, including kinetic constraints, disorder, and higher-moment (e.g., the dipole moment) conservation of some charge density. Ch. 7 contains our work on bond-disordered classical Heisenberg chains; the main contribution here is that we provide an interacting model with a continuously tune-able subdiffusive exponent, which we obtain analytically from a related, solvable phenomenological model. This also allows us to obtain the leading corrections to the asymptotic behaviour, clarifying the role of large sub-leading terms in hydrodynamic transport. Now, Parts I – III of this thesis are concerned either with the structure of single excitations above the ground state – an effectively zero temperature regime – or the dynamics of the spins in thermal equilibrium, finding anomalous hydrodynamics both faster and slower than ordinary diffusion. In Part IV, however, we will forswear the canonical ensemble entirely. In Ch. 8, we study the classical version of a boundary-driven quantum spin chain which was the subject of recent experiments by Google Quantum AI. We show that the observed dynamical regimes are not inherently quantum-mechanical, since the classical variant evinces the entire phenomenology observed in the quantum experiments. Moreover, we show that the classical chain is analytically tractable, and that, depending on the degree of anisotropy, either ballistic transport, subdiffusion, or localisation may be found. We then go beyond the direct comparison with the quantum version and introduce quenched random couplings to the classical model. We find, most strikingly, that the ballistic transport regime survives, so long as the disorder is not strong enough to completely sever the chain. We further show how, if we do allow for very strong disorder, different subdiffusive exponents may be obtained. In Ch. 9, we address the consequences of non-reciprocal interactions – in essence, an evasion of Newton’s third law – in periodically driven systems. This question emerges from the spin dynamics studied in the previous parts of this thesis because one of the main numerical methods we have used to calculate the time evolution is, intrinsically, a non-reciprocal periodic drive. Whilst Floquet theory – the study of periodically-driven Hamiltonian systems – is by now a well-developed field, non-reciprocal systems cannot be described by any Hamiltonian, time-dependent or static, and so the techniques of Floquet theory do not, a priori, apply. The high-frequency regime of Floquet systems typically features long-lived meta-stable (prethermal) states, which has allowed the techniques of Floquet-engineering to produce novel prethermal phases of matter which have no equilibrium counterpart – but the theorem which establishes the prethermal plateau explicitly uses the Hamiltonian formalism. Nevertheless, by combining the ingredients of non-reciprocity and periodic driving in the context of many-body spin dynamics, we uncover a new class of long-lived prethermal states – independently of dimensionality, support of interactions, or lattice geometry – indicating that non-reciprocal systems may offer a propitious arena to generate new material properties via Floquet-engineering.

Single-particle tracking experiments have measured the distribution of dwell times of various DNAbinding species — including CRISPR-Cas9, TetR, and LacI — diffusing in living cells. The observed truncated power law distribution has direct and indirect implications. One direct implication is that the observed dwell time distribution is inconsistent with the Gaussian distribution of binding energies generally obtained from bioinformatics. Consideration of length scales of the nucleus and the measurement is essential to understanding the dwell time distribution.

Název práce: Stochastická dynamika bublin v DNA Autor: Bc. Vojtěch Kaiser Katedra: Katedra fyziky kondenzovaných látek Vedoucí diplomové práce: RNDr. Tomáš Novotný, Ph.D., Katedra fyziky kondenzovaných látek Abstrakt: Bubliny v DNA jsou místa, kde se vlivem tepelných či torsních vlivů otevírá dvojšroubovice DNA. Tyto bubliny jsou považovány za důležité pro termodynamiku DNA [56] a biologické procesy s DNA spojené [23,40,43,49]. V článcích [38, 39] byla řešena stochastická dynamika bublin v DNA na zá- kladě Polandova-Scheragova modelu a získány analytické výsledky při tep- lotě denaturace DNA a pro asymptotiku dlouhých časů, zvláště pro hustotu pravděpodobnosti času setkání konců bubliny. V této práci navazujeme na tyto výsledky a počítáme celkový tvar této hustoty pravděpodobností s vy- užitím numerické inverse analytických vztahů v Laplacově obraze. Dále po- čítáme hustotu pravděpodobnosti místa setkání konců bubliny. Odpovídající výsledky jsou numericky spočteny v případě molekul DNA konečné délky. Zachycování bubliny v oblastech bohatých na AT páry je modelováno jako subdifusivní systém dle článku [42] a jsou počítány stejné veličiny jako pro difusivní model. V závěru diskutujeme tyto výsledky a možnost jejich experi- mentálního ověření. Klíčová slova: bubliny v DNA,...

Die Diffusion durch Polyelektrolytschichten ist bei vielen biotechnologisch-pharmazeutischen Anwendungen im Nanometerbereich von Bedeutung. Bei Experimenten wurde gefunden, dass bei der Diffusion eines Quenchers in mit Fluoreszenzfarbstoff markierten Polyelektrolytmultischichten die Kinetik des Diffusionsprozesses Charakteristika einer anormalen Diffusion aufweist. In dieser Arbeit wird qualitativ und quantitativ gezeigt, dass die Diffusion des Quenchers mit Subdiffusion beschrieben werden kann. Der gemessene Diffusionsprozess kann durch eine Superposition von Markov‘schen Diffusionsprozessen dargestellt werden. Das wird mit einer Monte-Carlo-Simulation nachgewiesen, die auf der analytischen Lösung des vorliegenden Reaktions-Diffusionsgleichungssystems basiert. Die experimentellen Daten werden im Zusammenhang mit der strukturellen Basis der parallel ablaufenden Diffusionsprozesse diskutiert.

We study anomalous diffusion on fractals with a static external field applied. We utilise the master equation to calculate particle distributions and from that important quantities as for example the mean square displacement <r^2(t)>. Applying different bias amplitudes on several regular Sierpinski carpets we obtain maximal drift velocities for weak field strengths. According to <r^2(t)>~t^(2/d_w), we determine random walk dimensions of d_w<2 for applied external fields. These d_w corresponds to superdiffusion, although diffusion is hindered by the structure of the carpet, containing dangling ends. This seems to result from two competing effects arising within an external field. Though the particles prefer to move along the biased direction, some particles get trapped by dangling ends. To escape from there they have to move against the field direction. Due to the by the bias accelerated particles and the trapped ones the probability distribution gets wider and thus d_w<2. / In dieser Arbeit untersuchen wir anomale Diffusion auf Fraktalen unter Einwirkung eines statisches äußeres Feldes. Wir benutzen die Mastergleichung, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchen zu berechnen, um daraus wichtige Größen wie das mittlere Abstandsquadrat <r^2(t)> zu bestimmen. Wir wenden unterschiedliche Feldstärken bei verschiedenen regelmäßigen Sierpinski-Teppichen an und erhalten maximale Driftgeschwindigkeiten für schwache Feldstärken. Über <r^2(t)>~t^{2/d_w} bestimmen wir die Random-Walk-Dimension d_w als d_w<2. Dieser Wert für d_w entspricht der Superdiffusion, obwohl der Diffusionsprozess durch Strukturen des Teppichs, wie Sackgassen, behindert wird. Es schient, dass dies das Ergebnis zweier konkurrierender Effekte ist, die durch das Anlegen eines äußeren Feldes entstehen. Einerseits bewegen sich die Teilchen bevorzugt entlang der Feldrichtung. Andererseits gelangen einige Teilchen in Sackgassen. Um die Sackgassen, die in Feldrichtung liegen, zu verlassen, müssen sich die Teilchen entgegen der Feldrichtung bewegen. Somit sind die Teilchen eine gewisse Zeit in der Sackgasse gefangen. Infolge der durch das äußere Feld beschleunigten und der gefangenen Teilchen, verbreitert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchen und somit ist d_w<2.

Cette thèse est consacrée à l'analyse asymptotique d'équations aux dérivées partielles issues de modèles de déplacement sous-diffusif en biologie cellulaire. Notre motivation biologique est fondée sur les nombreuses observation récentes de protéinescytoplasmiques dont le déplacement aléatoire dévié de la diffusion Fickienne normale. Dans la première partie, nous étudions la décroissance auto-similaire de la solution d'une équation de renouvellement à queue lourde vers un état stationnaire. Les idéesmises en jeu sont inspirées de méthodes d'entropie relative. Nos principaux apports sont la preuve d'un taux de décroissance en norme L1 vers la loi de l'arc-sinus et l'introduction d'une fonction pivot spécifique dans une méthode d'entropie relative.La seconde partie porte sur la limite hyperbolique d'une équation de renouvellement structurée en âge et à sauts en espace. Nous y prouvons un résultat de « stabilité » : les solutions des problèmes rééchelonnés à ε > 0 convergent lorsque ε --> 0 vers la solution de viscosité de l'équation de Hamilton-Jacobi limite des problèmes à ε > 0. Les outilsmis en jeu proviennent de la théorie des équations de Hamilton-Jacobi.Ce travail présente trois idées intéressantes. La première est celle de prouver le résultat de convergence sur la condition de bord du problème plutôt que d'utiliser des fonctions test perturbées. La deuxième consiste en l'introduction de termes correcteurslogarithmiques en temps dans des estimations a priori ne découlant pas directementdu principe du maximum. Cela est dû à la non-existence d'un équilibre du problèmehomogène en espace. La troisième est une estimation précise de la décroissance de l'influence de la condition initiale sur le terme de renouvellement. Elle correspond à une estimation fine d'une version non-locale de la dérivée temporelle de la solution. Au cours de cette thèse, des simulations numériques de type Monte Carlo, schémas volumes finis, Lax-Friedrichs et Weighted Essentially Non Oscillating ont été réalisées. / This thesis is devoted to the asymptotic analysis of partial differential equations modelling subdiffusive random motion in cell biology. The biological motivation for this work is the numerous recent observations of cytoplasmic proteins whose random motion deviates from normal Fickian diffusion. In the first part, we study the self-similar decay towards a steady state of the solution of a heavy-tailed renewal equation. The ideas therein are inspired from relative entropy methods. Our main contributions are the proof of an L1 decay rate towards the arc-sine distribution and the introduction of a specific pivot function in a relative entropy method.The second part treats the hyperbolic limit of an age-structured space-jump renewal equation. We prove a "stability" result: the solutions of the rescaled problems at ε > 0 converge as ε --> 0 towards the viscosity solution of the limiting Hamilton-Jacobi equation of the ε > 0 problems. The main mathematical tools used come from the theory of Hamilton-Jacobi equations. This work presents three interesting ideas. The first is that of proving the convergence result on the boundary condition of the studied problem rather than using perturbed test functions. The second consists in the introduction of time-logarithmic correction termsin a priori estimates that do not follow directly from the maximum principle. That is due to the non-existence of a suitable equilibrium for the space-homogenous problem. The third is a precise estimate of the decay of the inuence of the initial condition on the renewal term. This is tantamount to a refined estimate of a non-local version of the time derivative of the solution. Throughout this thesis, we have performed numerical simulations of different types: Monte Carlo, finite volume schemes, Lax-Friedrichs schemes and Weighted Essentially Non Oscillating schemes.

We study anomalous diffusion on fractals with a static external field applied. We utilise the master equation to calculate particle distributions and from that important quantities as for example the mean square displacement <r^2(t)>. Applying different bias amplitudes on several regular Sierpinski carpets we obtain maximal drift velocities for weak field strengths. According to <r^2(t)>~t^(2/d_w), we determine random walk dimensions of d_w<2 for applied external fields. These d_w corresponds to superdiffusion, although diffusion is hindered by the structure of the carpet, containing dangling ends. This seems to result from two competing effects arising within an external field. Though the particles prefer to move along the biased direction, some particles get trapped by dangling ends. To escape from there they have to move against the field direction. Due to the by the bias accelerated particles and the trapped ones the probability distribution gets wider and thus d_w<2. / In dieser Arbeit untersuchen wir anomale Diffusion auf Fraktalen unter Einwirkung eines statisches äußeres Feldes. Wir benutzen die Mastergleichung, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchen zu berechnen, um daraus wichtige Größen wie das mittlere Abstandsquadrat <r^2(t)> zu bestimmen. Wir wenden unterschiedliche Feldstärken bei verschiedenen regelmäßigen Sierpinski-Teppichen an und erhalten maximale Driftgeschwindigkeiten für schwache Feldstärken. Über <r^2(t)>~t^{2/d_w} bestimmen wir die Random-Walk-Dimension d_w als d_w<2. Dieser Wert für d_w entspricht der Superdiffusion, obwohl der Diffusionsprozess durch Strukturen des Teppichs, wie Sackgassen, behindert wird. Es schient, dass dies das Ergebnis zweier konkurrierender Effekte ist, die durch das Anlegen eines äußeren Feldes entstehen. Einerseits bewegen sich die Teilchen bevorzugt entlang der Feldrichtung. Andererseits gelangen einige Teilchen in Sackgassen. Um die Sackgassen, die in Feldrichtung liegen, zu verlassen, müssen sich die Teilchen entgegen der Feldrichtung bewegen. Somit sind die Teilchen eine gewisse Zeit in der Sackgasse gefangen. Infolge der durch das äußere Feld beschleunigten und der gefangenen Teilchen, verbreitert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchen und somit ist d_w<2.