Stuttgart, Univ., Diss., 2008.

Chemnitz, Techn. Univ., Masterarb., 2006.

Anomale Diffusion ist nicht an stochastische Kräfte und eine große Zahl von Freiheitsgraden gebunden, sondern ist auch in chaotischen Systemen mit statischer Unordnung in den Bewegungsgleichungen zu beobachten. Einfache Modelle dieser niedrigdimensionalen Systeme, deren Dynamik durch iterierte Abbildungen vermittelt wird, können auf zufällige Irrfahrten in Zufallsumgebungen (random walks in random environments) abgebildet werden. Sinai-Unordnung beschreibt eine spezielle Klasse dieser zufälligen Irrfahrten in Zufallsumgebungen, für die mit dem asymptotischen Verhalten der Entweichrate, der mittleren quadratischen Versetzung, der Zustandsdichte der Relaxationsraten bis hin zu der als Golosov-Phänomen bekannten dynamischen Lokalisierung analytische Resultate für verschiedene anomale Transporteigenschaften bekannt sind. Die vorliegende Arbeit untersucht numerisch eine rekurrente Erweiterung dieses auf Sprünge zu benachbarten Gitterpunkten beschränkten Modells auf die genannten Transporteigenschaften. Als wesentlicher Unterschied stellt sich dabei die Verletzung von detaillierter Balance im stationären Zustand heraus, der Auswirkungen auf das präasymptotische Verhalten der Transportkoeffizienten hat. Asymptotisch zeigt sich hingegen ein Verhalten wie bei der Sinai-Unordnung.

Die Diffusion durch Polyelektrolytschichten ist bei vielen biotechnologisch-pharmazeutischen Anwendungen im Nanometerbereich von Bedeutung. Bei Experimenten wurde gefunden, dass bei der Diffusion eines Quenchers in mit Fluoreszenzfarbstoff markierten Polyelektrolytmultischichten die Kinetik des Diffusionsprozesses Charakteristika einer anormalen Diffusion aufweist. In dieser Arbeit wird qualitativ und quantitativ gezeigt, dass die Diffusion des Quenchers mit Subdiffusion beschrieben werden kann. Der gemessene Diffusionsprozess kann durch eine Superposition von Markov‘schen Diffusionsprozessen dargestellt werden. Das wird mit einer Monte-Carlo-Simulation nachgewiesen, die auf der analytischen Lösung des vorliegenden Reaktions-Diffusionsgleichungssystems basiert. Die experimentellen Daten werden im Zusammenhang mit der strukturellen Basis der parallel ablaufenden Diffusionsprozesse diskutiert.

Konstanz, Univ., Diplomarb., 2004.

Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung der Dynamik in komplexen Systemen. Eine zentrale Rolle spielen dabei Random Walks, mit deren Hilfe die anomale Relaxation in solchen Systemen simuliert wird. Die Komplexität der in dieser Arbeit untersuchten Systeme spiegelt sich in hohem Maße in deren Zustandsraumstruktur wider. Nach einer Einführung verschiedener komplexer Systeme wird kurz auf Algorithmen eingegangen, die bei der Erfassung der zum Teil sehr großen Zustandsräume eine wichtige Rolle spielen. Ein sogenannter Branch-and-Bound Algorithmus wird für die Untersuchung des niedrigenergetischen Anteils komplexer Zustandsräume eingesetzt. Die Simulation der Dynamik wird durch Random Walk Prozesse simuliert und im Wahrscheinlichkeitsbild durch eine Mastergleichung beschrieben. Auf verschiedene Formen der Mastergleichung und deren Lösung wird detailliert eingegangen. Wichtige Anwendungen sind Simulationen von Random Walks auf Fraktalen bzw. auf hierarchischen Baumstrukturen. Solche Simulationen lassen den Vergleich mit experimentellen Befunden zu, wie z.B. der anomalen Diffusion bzw. den Nichtgleichgewichts- phänomenen in Spingläsern. Anhand einer solchen Modellbildung können experimentelle Ergebnisse reproduziert und besser verstanden werden. Ein weiterer wichtiger Beitrag zum Verständnis solcher Prozesse wird durch einen neu entwickelten Algorithmus zur Vergröberung des Zustandsraumes geleistet.

Der Zustandsraum ist ein sehr wichtiges und grundlegendes Konzept für die Untersuchung komplexer Systeme. Alle Eigenschaften des Systems können anhand der Struktur dieses Raumes verstanden werden. Aufgrund der immensen Größe des Zustandsraumes eines realen komplexen Systems ist eine vergröberte Beschreibung unumgänglich für dessen Analyse. In dieser Arbeit werden, aufbauend auf dem lang etablierten Modell der hierarchischen Bäume, spezielle Aspekte komplexer Systeme untersucht. Gleichzeitig wird das verwendete Modell in geeigneter Weise erweitert und verbessert. Im ersten Teil der Forschungsarbeit werden die Besonderheiten des Wahrscheinlichkeitsflusses an einem einzelnen Sattelpunkt einer Energielandschaft detailliert betrachtet. Die Einflüsse verschiedener Parameter wie Energietiefe, Zustandsdichte und Konnektivität werden unabhängig voneinander und im Zusammenspiel untersucht. Im zweiten Teil wird ein vollständiges System, das komplexes Verhalten zeigt, untersucht, wobei besonderes Gewicht auf seine Wechselwirkung, d.h. seinen Energieaustausch mit der Umgebung, gelegt wird. Es kann gezeigt werden, daß das hierarchische Relaxationsverhalten, welches bei anderen Varianten komplexer Systeme beobachtet werden konnte, im Baummodell bereits enthalten ist. Neben den bisher untersuchten, auf Energielandschaften basierenden Systemen besitzen auch turbulente Diffusionsprozesse hierarchische Strukturen. Im dritten Teil der Arbeit wird die Baumstruktur verwendet, um turbulente Superdiffusionsprozesse zu modellieren. Das dabei beobachtete Diffusionsverhalten wird mit vier bekannten mathematischen Modellen verglichen. Die Ergebnisse zeigen, daß nur eines der untersuchten Modelle den vom Baummodell beschriebenen turbulenten Transport in akzeptabler Weise nachbildet. / The state space is a very important and fundamental concept for the treatment of complex systems. All the system's properties can be understood by means of its structure. Due to the gigantic extent of a real system's state space, a coarse grained approach is inevitable for the analysis. In this work, based on the well established model of hierarchical trees, particular aspects of complex systems have been studied, while at the same time several extensions to the model have been made. In the first part of this research work the features of the probability flow are treated in detail at a single saddle point in the energy landscape. Influences of various parameters like energetic depth, density of states and connectivity are studied isolated and in their interaction. In the second part a whole system showing complex behavior is being considered, especially its energy exchange with the surroundings. It can be demonstrated that the hierarchical relaxation behavior observed in other realizations of complex systems is intrinsically covered by the tree model. Beside energy landscape based systems turbulent diffusion processes possess hierarchical structures, too. In the third part the tree structure has been used to model a turbulent superdiffusion process. The diffusion behavior observed there has been compared with four well known diffusion equation approaches. The results show that only one of the discussed continuum diffusion equations can model the turbulent transport based on the tree model in acceptable fashion.

Die Diffusion durch Polyelektrolytschichten ist bei vielen biotechnologisch-pharmazeutischen Anwendungen im Nanometerbereich von Bedeutung. Bei Experimenten wurde gefunden, dass bei der Diffusion eines Quenchers in mit Fluoreszenzfarbstoff markierten Polyelektrolytmultischichten die Kinetik des Diffusionsprozesses Charakteristika einer anormalen Diffusion aufweist. In dieser Arbeit wird qualitativ und quantitativ gezeigt, dass die Diffusion des Quenchers mit Subdiffusion beschrieben werden kann. Der gemessene Diffusionsprozess kann durch eine Superposition von Markov‘schen Diffusionsprozessen dargestellt werden. Das wird mit einer Monte-Carlo-Simulation nachgewiesen, die auf der analytischen Lösung des vorliegenden Reaktions-Diffusionsgleichungssystems basiert. Die experimentellen Daten werden im Zusammenhang mit der strukturellen Basis der parallel ablaufenden Diffusionsprozesse diskutiert.

Ziel dieser Arbeit ist es eine Toolbox zur Charakterisierung der anomalen Diffusion von Tracerpartikeln in dicht gepackten Systemen mit Fluoreszenz-Korrelationsspektroskopie (FCS) zur Verfügung zu stellen. Es wird gezeigt, dass die robusten Informationen über die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Verschiebung des Tracers im asymptotischen Verhalten der FCS-Kurven auf langen, sowie auf kurzen Zeitskalen enthalten sind. So liefert die Analyse des Kurzzeitverhaltens zuverlässige Aussagen über die Werte des Exponenten der anomalen Diffusion, des Diffusionskoeffizienten und der niedrigeren Momente der PDF. Dies erlaubt es eine Gaußverteilung zu bestätigen oder zu widerlegen. Der Test auf Gaußverteilung könnte als Index verwendet werden, um die richtige Form der PDF aus einer Reihe von konkurrierenden Ergebnissen zu erraten. Darüber hinaus untersuchen wir die Konsequenz der nicht skalierenden PDF auf Ergebnis der FCS-Kurven. Wir berechnen die FCS für ein Continuous Time Random Walk Modell mit Wartezeiten gemäß einer Lévy-stabilen Verteilung mit exponentiellem cut-off. Die Ergebnisse zeigen, dass obwohl die Abweichungen vom Gauß’schen Verhalten bei der asymptotischen Analyse erkannt werden können, ihre Körper immer an Formen für die normale Diffusion perfekt angepasst werden können. Schließlich schlagen wir einen alternativen Ansatz für die Durchführung von Spot Variation FCS mit dem gewöhnlichen FCS-Setup vor. Wir führen eine nicht-lineare Transformation ein, die auf das mit Binning oder Kernel smoothing method geglättete Intensitätsprofil der detektierten Fluoreszenzphotonen angewendet wird. Ihre Autokorrelation imitiert die FCS-Kurven für die Größen des Laserspots, die im Experiment effektiv kleiner als die anfängliche Größe sind. Die erhaltenen FCS-Kurven werden verwendet, um künstliche dicht gepackte Systeme sowie lebende Zellen auf Nano-Domänen oder Barrieren hin zu untersuchen. / The objective of this thesis is to provide a toolbox for characterization of anomalous diffusion of tracer particle in crowded systems using fluorescence correlation spectroscopy (FCS). We discuss that the robust information about the probability density function (PDF) of the particle’s displacement is contained in the asymptotic behaviour of the FCS curves at long and short times. Thus, analysis of the short-time behaviour provides reliable values of exponent of anomalous, diffusion coefficient and lower moments of the PDF. This allows one to to confirm or reject its Gaussian nature. The Gaussianity test could be then used to guess the correct form of the PDF from a set of competing models. We show the applicability of the proposed analysis protocol in artificially crowded systems and in living cell experiments. Furthermore, we investigate the consequence of non-scaling PDF on the possible results of the FCS data. As an example of such processes, we calculate the FCS curve for a continues time random walk model with waiting times delivered from Lévy-stable distribution with an exponential cut-off in equilibrium. The results indicate that, although the deviations from Gaussian behaviour may be detected when analyzing the short- and long-time asymptotic of the corresponding curves, their bodies are still perfectly fitted by the fit form used for normal diffusion. Finally, we propose an alternative approach for performing spot variation FCS using an ordinary FCS set-up. We introduce a non-linear transformation which applies on the smoothed intensity profile of the detected fluorescence photons with binning or smoothing kernel method. Autocorrelation of the generated intensity profiles mimic the FCS curves for the sizes of laser spots which are effectively smaller than the initial one in the experiment. The obtained FCS curves are used to investigate the presence of nano-domains or barriers in artificially crowded systems and in living cells.

In dieser Arbeit werden verschieden Ansätze diskutiert, die zum Verständnis und zur Beschreibung anomalen Diffusionsverhaltens beitragen, wobei insbesondere zwei unterschiedliche Aspekte hervorgehoben werden. Zum einen wird das Entropieproduktions-Paradoxon beschrieben, welches bei der Analyse der Entropieproduktion bei der anomalen Diffusion, beschrieben durch fraktionale Diffusionsgleichungen auftritt. Andererseits wird ein detaillierter Vergleich zwischen Lösungen verallgemeinerter Diffusionsgleichungen mit numerischen Daten präsentiert, die durch Iteration der Mastergleichung auf verschiedenen Fraktalen produziert worden sind. Die Entropieproduktionsrate für superdiffusive Prozesse wird berechnet und zeigt einen unerwarteten Anstieg beim Übergang von dissipativer Diffusion zur reversiblen Wellenausbreitung. Dieses Entropieproduktions-Paradoxon ist die direkte Konsequenz einer anwachsenden intrinsischen Rate bei Prozessen mit zunehmendem Wellencharakter. Nach Berücksichtigung dieser Rate zeigt die Entropie den erwarteten monotonen Abfall. Diese Überlegungen werden für generalisierte Entropiedefinitionen, wie die Tsallis- und Renyi-Entropien, fortgeführt. Der zweite Aspekt bezieht sich auf die anomale Diffusion auf Fraktalen, im Besonderen auf Sierpinski-Dreiecke und -Teppiche. Die entsprechenden Mastergleichungen werden iteriert und die auf diese Weise numerisch gewonnenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden mit den Lösungen vier verschiedener verallgemeinerter Diffusionsgleichungen verglichen.