Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung der Dynamik in komplexen Systemen. Eine zentrale Rolle spielen dabei Random Walks, mit deren Hilfe die anomale Relaxation in solchen Systemen simuliert wird. Die Komplexität der in dieser Arbeit untersuchten Systeme spiegelt sich in hohem Maße in deren Zustandsraumstruktur wider. Nach einer Einführung verschiedener komplexer Systeme wird kurz auf Algorithmen eingegangen, die bei der Erfassung der zum Teil sehr großen Zustandsräume eine wichtige Rolle spielen. Ein sogenannter Branch-and-Bound Algorithmus wird für die Untersuchung des niedrigenergetischen Anteils komplexer Zustandsräume eingesetzt. Die Simulation der Dynamik wird durch Random Walk Prozesse simuliert und im Wahrscheinlichkeitsbild durch eine Mastergleichung beschrieben. Auf verschiedene Formen der Mastergleichung und deren Lösung wird detailliert eingegangen. Wichtige Anwendungen sind Simulationen von Random Walks auf Fraktalen bzw. auf hierarchischen Baumstrukturen. Solche Simulationen lassen den Vergleich mit experimentellen Befunden zu, wie z.B. der anomalen Diffusion bzw. den Nichtgleichgewichts- phänomenen in Spingläsern. Anhand einer solchen Modellbildung können experimentelle Ergebnisse reproduziert und besser verstanden werden. Ein weiterer wichtiger Beitrag zum Verständnis solcher Prozesse wird durch einen neu entwickelten Algorithmus zur Vergröberung des Zustandsraumes geleistet.

In dieser Arbeit werden verschieden Ansätze diskutiert, die zum Verständnis und zur Beschreibung anomalen Diffusionsverhaltens beitragen, wobei insbesondere zwei unterschiedliche Aspekte hervorgehoben werden. Zum einen wird das Entropieproduktions-Paradoxon beschrieben, welches bei der Analyse der Entropieproduktion bei der anomalen Diffusion, beschrieben durch fraktionale Diffusionsgleichungen auftritt. Andererseits wird ein detaillierter Vergleich zwischen Lösungen verallgemeinerter Diffusionsgleichungen mit numerischen Daten präsentiert, die durch Iteration der Mastergleichung auf verschiedenen Fraktalen produziert worden sind. Die Entropieproduktionsrate für superdiffusive Prozesse wird berechnet und zeigt einen unerwarteten Anstieg beim Übergang von dissipativer Diffusion zur reversiblen Wellenausbreitung. Dieses Entropieproduktions-Paradoxon ist die direkte Konsequenz einer anwachsenden intrinsischen Rate bei Prozessen mit zunehmendem Wellencharakter. Nach Berücksichtigung dieser Rate zeigt die Entropie den erwarteten monotonen Abfall. Diese Überlegungen werden für generalisierte Entropiedefinitionen, wie die Tsallis- und Renyi-Entropien, fortgeführt. Der zweite Aspekt bezieht sich auf die anomale Diffusion auf Fraktalen, im Besonderen auf Sierpinski-Dreiecke und -Teppiche. Die entsprechenden Mastergleichungen werden iteriert und die auf diese Weise numerisch gewonnenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden mit den Lösungen vier verschiedener verallgemeinerter Diffusionsgleichungen verglichen.

Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung der Dynamik in komplexen Systemen. Eine zentrale Rolle spielen dabei Random Walks, mit deren Hilfe die anomale Relaxation in solchen Systemen simuliert wird. Die Komplexität der in dieser Arbeit untersuchten Systeme spiegelt sich in hohem Maße in deren Zustandsraumstruktur wider. Nach einer Einführung verschiedener komplexer Systeme wird kurz auf Algorithmen eingegangen, die bei der Erfassung der zum Teil sehr großen Zustandsräume eine wichtige Rolle spielen. Ein sogenannter Branch-and-Bound Algorithmus wird für die Untersuchung des niedrigenergetischen Anteils komplexer Zustandsräume eingesetzt. Die Simulation der Dynamik wird durch Random Walk Prozesse simuliert und im Wahrscheinlichkeitsbild durch eine Mastergleichung beschrieben. Auf verschiedene Formen der Mastergleichung und deren Lösung wird detailliert eingegangen. Wichtige Anwendungen sind Simulationen von Random Walks auf Fraktalen bzw. auf hierarchischen Baumstrukturen. Solche Simulationen lassen den Vergleich mit experimentellen Befunden zu, wie z.B. der anomalen Diffusion bzw. den Nichtgleichgewichts- phänomenen in Spingläsern. Anhand einer solchen Modellbildung können experimentelle Ergebnisse reproduziert und besser verstanden werden. Ein weiterer wichtiger Beitrag zum Verständnis solcher Prozesse wird durch einen neu entwickelten Algorithmus zur Vergröberung des Zustandsraumes geleistet.

In dieser Arbeit werden verschieden Ansätze diskutiert, die zum Verständnis und zur Beschreibung anomalen Diffusionsverhaltens beitragen, wobei insbesondere zwei unterschiedliche Aspekte hervorgehoben werden. Zum einen wird das Entropieproduktions-Paradoxon beschrieben, welches bei der Analyse der Entropieproduktion bei der anomalen Diffusion, beschrieben durch fraktionale Diffusionsgleichungen auftritt. Andererseits wird ein detaillierter Vergleich zwischen Lösungen verallgemeinerter Diffusionsgleichungen mit numerischen Daten präsentiert, die durch Iteration der Mastergleichung auf verschiedenen Fraktalen produziert worden sind. Die Entropieproduktionsrate für superdiffusive Prozesse wird berechnet und zeigt einen unerwarteten Anstieg beim Übergang von dissipativer Diffusion zur reversiblen Wellenausbreitung. Dieses Entropieproduktions-Paradoxon ist die direkte Konsequenz einer anwachsenden intrinsischen Rate bei Prozessen mit zunehmendem Wellencharakter. Nach Berücksichtigung dieser Rate zeigt die Entropie den erwarteten monotonen Abfall. Diese Überlegungen werden für generalisierte Entropiedefinitionen, wie die Tsallis- und Renyi-Entropien, fortgeführt. Der zweite Aspekt bezieht sich auf die anomale Diffusion auf Fraktalen, im Besonderen auf Sierpinski-Dreiecke und -Teppiche. Die entsprechenden Mastergleichungen werden iteriert und die auf diese Weise numerisch gewonnenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden mit den Lösungen vier verschiedener verallgemeinerter Diffusionsgleichungen verglichen.