The center-focus and isochronicity problems are two classic problem in the qualitative theory of ordinary differential equations (ODEs). Although such problems have been studied during more than hundred years a complete understanding of them is far from be reached. Recently the computational algebra tools have been contributing significantly with the development of such problems. The aim of this thesis is to contribute with the studies of the center-focus and isochronicity problem. Using computational algebra tools we find conditions for the existence of two simultaneous centers for a family of quintic systems possessing symmetry. The studies of the simultaneous existence of two centers in differential systems is known as the bi-center problem. We investigate conditions for the isochronicity of centers for families of cubic and quintic systems and we study its global behaviour in the Poincaré disk. Finally, we study the existence of invariant surfaces and first integrals in a family of 3-dimensional systems. Such family is known as the May-Leonard asymmetric system and it appears in modelling, for instance it is a model for the competition of three species. / Os problemas do foco-centro e da isocronicidade são dois problemas clássicos da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias (EDOs). Apesar de tais problemas serem investigados a mais de cem anos ainda pouco se sabe sobre eles. Recentemente o uso e desenvolvimento de ferramentas algebro-computacionais tem contribuído significativamente em seu avanço. O objetivo desta tese é colaborar com o estudo do problema do foco-centro e da isocronicidade. Utilizando ferramentas algebro-computacionais encontramos condições para a existência simultânea de dois centros em famílias de sistemas diferenciais quínticos com simetria. O estudo sobre a existência simultânea de dois centros é também conhecido como problema do bi-centro. Investigamos condições para a isocronicidade de centros para famílias de sistemas cubicos e quínticos e estudamos o comportamento global de suas órbitas no disco de Poincaré. Finalmente, tratamos da existência de superfícies invariantes e integrais primeiras para uma familia de sistemas 3-dimensionais encontrado entre outras situações na modelagem da competição entre três espécies e conhecido como sistema de May-Leonard.

Submitted by JÚLIO HEBER SILVA (julioheber@yahoo.com.br) on 2017-06-13T19:33:36Z No. of bitstreams: 2 Tese - Bruno Rodrigues de Freitas - 2016.pdf: 2506265 bytes, checksum: be3374b7af568ce914be02e5fa39c4ad (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2017-06-14T15:23:37Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Tese - Bruno Rodrigues de Freitas - 2016.pdf: 2506265 bytes, checksum: be3374b7af568ce914be02e5fa39c4ad (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-14T15:23:38Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Tese - Bruno Rodrigues de Freitas - 2016.pdf: 2506265 bytes, checksum: be3374b7af568ce914be02e5fa39c4ad (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2016-05-13 / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Goiás - FAPEG / We consider a class of piecewise linear di erential systems in R3 separated by a plane and we study its global and local dynamics. More precisely, we give conditions to the existence of invariant surfaces and limit cycles, presenting the maximum number of limit cycles and characterizing these invariant surfaces. Also, we obtain results about the T-singularity obtained by a perturbation of piecewise linear di erential systems. In our approach, we use many techniques, as an extension of the theorem’s Rolle for vector fields, Theory of Sturm’s sequence, extendedcomplete Tchebyche systems and extensions of Averaging theory. / Consideramos uma classe de sistemas diferenciais lineares por partes em R3 separados por umplano e estudamos sua dinâmica global e local. Mais precisamente, damos condições para a existência de superfícies invariantes e ciclos limite, apresentando o número máximo de ciclos limite e caracterizando estas superfícies. Obtemos resultados sobre a T-singularidade obtida por uma perturbação de sistemas diferenciais lineares por partes. Em nossa abordagem, usamos várias técnicas como uma extensão do teorema de Rolle para campos, teoria da sequência de Sturm, sistemas estendidos completos de Tchebyche e extensões da teoria da Média.

The center-focus and isochronicity problems are two classic problem in the qualitative theory of ordinary differential equations (ODEs). Although such problems have been studied during more than hundred years a complete understanding of them is far from be reached. Recently the computational algebra tools have been contributing significantly with the development of such problems. The aim of this thesis is to contribute with the studies of the center-focus and isochronicity problem. Using computational algebra tools we find conditions for the existence of two simultaneous centers for a family of quintic systems possessing symmetry. The studies of the simultaneous existence of two centers in differential systems is known as the bi-center problem. We investigate conditions for the isochronicity of centers for families of cubic and quintic systems and we study its global behaviour in the Poincaré disk. Finally, we study the existence of invariant surfaces and first integrals in a family of 3-dimensional systems. Such family is known as the May-Leonard asymmetric system and it appears in modelling, for instance it is a model for the competition of three species. / Os problemas do foco-centro e da isocronicidade são dois problemas clássicos da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias (EDOs). Apesar de tais problemas serem investigados a mais de cem anos ainda pouco se sabe sobre eles. Recentemente o uso e desenvolvimento de ferramentas algebro-computacionais tem contribuído significativamente em seu avanço. O objetivo desta tese é colaborar com o estudo do problema do foco-centro e da isocronicidade. Utilizando ferramentas algebro-computacionais encontramos condições para a existência simultânea de dois centros em famílias de sistemas diferenciais quínticos com simetria. O estudo sobre a existência simultânea de dois centros é também conhecido como problema do bi-centro. Investigamos condições para a isocronicidade de centros para famílias de sistemas cubicos e quínticos e estudamos o comportamento global de suas órbitas no disco de Poincaré. Finalmente, tratamos da existência de superfícies invariantes e integrais primeiras para uma familia de sistemas 3-dimensionais encontrado entre outras situações na modelagem da competição entre três espécies e conhecido como sistema de May-Leonard.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 816279 bytes, checksum: 28c5081e37dbd539abb463a0ed89b87c (MD5) Previous issue date: 2012-07-27 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this paper we studied surfaces with constant mean curvature and surfaces with constant Gaussian curvature in the Sol space which are invariant under the action of two one-parameter subgroups of isometries of the ambient space. Furthermore, we classify the surfaces that satisfy a relationship of type k1 = mk2, where k1 and k2 are the principal curvatures of the surface and m ∈ R. / O presente trabalho aborda um estudo das superfícies com curvatura média constante e das superfícies com curvatura Gaussiana constante no espaço Sol que são invariantes sob a ação de dois grupos a 1-parâmetro de isometrias do espaço ambiente. Além disso, classificamos as superfícies que satisfazem uma relação do tipo k1 = mk2, onde k1 e k2 são as curvaturas principais da superfície e m ∈ R.