Dans cette thèse, nous nous intéressons au calcul d'ordonnanceurs pour les systèmes hybrides. En fait, nous considérons deux sous-classes des systèmes hybrides, les systèmes temps-réels où des tâches doivent se partager l'accès à une ressource commune, et les systèmes à commutations où un choix doit être fait sur les dynamiques à choisir en fonction d'objectifs à atteindre. Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons aux problèmes d'ordonnancement et prenons comme étude de cas l'ordonnancement de tâches périodiques sur des architectures multiprocesseurs. Nous nous intéressons plus particulièrement à déterminer si l'on peut modifier certaines valeur des paramètres du système tout en respectant les contraintes temporelles sans changer d'ordonnanceur. La méthode inverse permet de prouver de manière formelle la robustesse des systèmes temporisés paramétriques. Nous introduisons une méthode de réduction du nombre d'états nécessaire à la vérification. Cette réduction nous permet de traîter des études de cas intéressantes telle que celle proposée par Astrium EADS pour le lanceur Ariane 6. Nous montrons également comment la Cartographie Comportementale, une extension de la méthode inverse, permet de trouver la zone de l'espace des paramètres où l'on a l'existence d'un ordonnancement satisfaisant les contraintes temporelles. Nous comparons cette approche avec une méthode analytique pour montrer l'intérêt de notre approche. Dans la seconde partie de cette thèse, nous nous intéressons au contrôle de systèmes affines à commutation. Ces systèmes sont gouvernés par une famille d'équations différentielles linéaires et le contrôleur peut choisir laquelle va gouverner le système pendant le prochain pas de temps. Dans ce cadre, le contrôle peut être vu comme l'ordonnancement des dynamiques que le système va prendre. Le choix de la dynamique peut se faire pour des objectifs de stabilité ou d'accessibilité. Nous proposons une nouvelle méthode qui calcule un contrôleur dont la stratégie est la même pour des ensembles denses de points. Notre méthode utilise le calcul en avant, souvent préférable au calcul à rebours pour les systèmes contractants. Nous montrons que, sous certaines conditions, le système contrôlé évolue vers un comportement limite. Nous appliquons notre méthode sur plusieurs études de cas issues de la littérature ainsi qu'un exemple réel, un prototype de convertisseur de tension multiniveaux. Enfin, nous montrons que notre méthode s'étend aux systèmes comportant des perturbations ainsi qu'aux systèmes non linéaires. / In this thesis, we are interested in designing schedulers for hybrid systems. We consider two specific subclasses of hybrid systems, real-time systems where tasks are competing for the access to common resources, and sampled switched systems where a choice has to be made on dynamics of the system to reach goals. Scheduling consists in defining the order in which the tasks will be run on the processors in order to complete all the tasks before a given deadline. In the first part of this thesis, we are interested in the scheduling of periodic tasks on multiprocessor architectures. We are especially interested in the robustness of schedulers, i.e., to prove that some values of the system parameters can be modified, and until what value they can be extended while preserving the scheduling order and meeting the deadlines. The Inverse Method can be used to prove the robustness of parametric timed systems. In this thesis, we introduce a state space reduction technique which allows us to treat challenging case studies such as one provided by Astrium EADS for the launcher Ariane 6. We also present how an extension of the Inverse Method, the Behavioral Cartography, can solve the problem of schedulability, i.e., finding the area in the parametric space in which there exists a scheduler that satisfies all the deadlines. We compare this approach to an analytic method to illustrate the interest of our approach In the second part of this thesis, we are interested in the control of affine switched systems. These systems are governed by a finite family of affine differential equations. At each time step, a controller can choose which dynamics will govern the system for the next time step. Controlling in this sense can be seen as a scheduling on the order of dynamics the system will have to use. The objective for the controller can be to make the system stay in a given area of the state space (stability) or to reach a given region of the state space (reachability). In this thesis, we propose a novel approach that computes a scheduler where the strategy is uniform for dense subsets of the state space. Moreover, our approach only uses forward computation, which is better suited than backward computation for contractive systems. We show that our designed controllers, systems evolve to a limit cyclic behavior. We apply our method to several case studies from the literature and on a real-life prototype of a multilevel voltage converter. Moreover, we show that our approach can be extended to systems with perturbations and non-linear dynamics.

Mes activités de recherche s'inscrivent principalement dans les deux thématiques suivantes : l'étude des équations généralisées de Riccati et l'étude des systèmes commutés à temps discret. Ce mémoire s'attache à présenter ces activités de recherche, de manière non exhaustive, mais surtout le fil conducteur et la cohérence qui les lient. En conséquence le document est organisé de la manière suivante: il est composé, de prolégomènes et de trois chapitres. Le chapitre 1 présente mes contributions de recherche consacrées aux équations algébriques généralisées de Riccati. Le chapitre 2 s'intéresse aux résultats obtenus à propos des systèmes commutés. Le chapitre 3 développe les perspectives de recherches qui me tiennent à cœur et constitueront le squelette de mes activités de recherche pour les quelques années à venir.

Les contributions que nous avons choisi de présenter dans ce mémoire ont trait en général à la commande, à la stabilité et à l'observation des systèmes dynamiques hybrides. Ce mémoire retrace le cheminement de mes recherches sur les dix dernières années au CRAN au sein du projet systèmes dynamiques hybrides et complexes mais également aux travers de projets et collaborations locales (CPER : projet SC2), nationales (GdR SDH, AS 192, ANR ArHyCo) et européennes (Hycon). L'extension du principe du minimum et l'établissement de conditions nécessaires pour la résolution d'un problème de commande optimale pour les SDH ont permis de soulever et de mettre en évidence des difficultés liées à la résolution de ce type de problème. Deux freins principaux à la mise en oeuvre d'algorithmes généraux efficaces ont été identifiés et proviennent d'une part, de l'explosion combinatoire engendrée par la dynamique discrète couplée aux dynamiques continues et d'autre part, de l'existence de trajectoires singulières conduisant nécessairement à des solutions sous optimales. Une discussion sur les méthodes de résolution directes et indirectes montre que même dans des situations simplifiées, l'existence de trajectoires singulières pose un réel problème et les algorithmes utilisant le principe du minimum sont inadaptés sans traitement particulier pour gérer ces situations. Nous montrons sur un exemple qu'il peut être préférable d'utiliser des méthodes directes sous une formulation de tirs multiples. Pour la classe des systèmes affines commutés qui représente une classe de systèmes technologiques très répandus, les points de fonctionnement rendent particulièrement évident le rôle joué par les trajectoires singulières. On constate qu'elles correspondent aux solutions optimales au sens de Fillipov du système commuté. Nous avons proposé une méthode permettant d'effectuer la synthèse de ces trajectoires optimales pour des critères de type temps optimal ou quadratique en temps infini applicable sur des systèmes de dimension faible et en général inférieure ou égale à 3. Une seconde méthode de synthèse à base de commande prédictive utilise les degrés de liberté sur la commande autour du point de fonctionnement pour poursuivre un cycle particulier défini par un critère. L' algorithme rapide d'optimisation des solutions tient compte des discontinuités issues des instants de commutations et utilise les fonctions de sensibilité vis à vis de ces instants. La généralisation aux SDH du calcul des fonctions de sensibilité lorsque le système hybride est le siège de discontinuités de champs et de saut sur l'état, est un résultat utile qui permet d'utiliser des outils nécessitant une différentiation. Le calcul rapide des cycles limites et l'étude de leur stabilité est une première application possible, l'optimisation est très clairement la cible principale. L'étude et l'analyse du comportement asymptotique des systèmes linéaires commutés via la formulation d'un principe d'invariance de Lasalle nous amène à un constat similaire à celui fait sur la commande optimale : Le comportement asymptotique est identique à celui que l'on obtient en considérant les solutions de Fillipov du système commuté. Nous avons montré en considérant plusieurs hypothèses sur les lois de commutation que la séparation est opérée si on restreint la loi de commutation en considérant par exemple des hypothèses fortes de temps d'activation minimum sur les modes. Ces résultats d'analyse sont primordiaux dans la compréhension de la complexité de la dynamique issue de la commutation. La synthèse d'observateurs commutés pour la classe des systèmes linéaires commutés que nous avons proposée, et l'identification algébrique des lois ne permettant pas d'observer le système ont été déduites du principe d'invariance mentionné à l'item précédent. La mise en évidence de la décroissance de la vitesse de convergence de l'erreur d'observation en fonction de la vitesse de commutation est une conséquence de cette caractérisation algébrique. Les travaux réalisés ont permis de soulever de très nombreux problèmes spécifiques à la classe des systèmes commutés (Robustesse vis à vis d'incertitudes paramétriques, extension au cas discret et échantillonné, synthèse de lois préservant l'observabilité, vitesse de convergence de l'observateur, ...) et de dégager des pistes de recherche concernant leur résolution.

Cette thèse traite de la modélisation des infrastructures autoroutières et de leur gestion par des méthodes de régulation telles que le contrôle d'accès. L'approche retenue est macroscopique et conduit à des modèles distribués sous forme d'équations aux dérivées partielles non linéaires. Nous apportons plusieurs éclairages sur l'analyse et la résolution de ces modèles (condition d'entropie pour les rampes d'accès, discrétisation simpliée) et proposons une interprétation hybride des inhomogénéités (conditions aux limites, rampes d'accès et de sorties, variations brutales des paramètres) adaptée aux problèmes de contrôle. Deux nouvelles méthodologies calculatoires sont ensuite introduites pour concevoir des contrôleurs dynamiques s'appliquant à la gestion du trafic. La première est formulée comme un problème de commande optimale en boucle ouverte et nécessite l'adaptation de la méthode adjointe traditionnelle en raison de l'irrégularité des solutions. La seconde repose sur une discrétisation sous la forme d'un système affine commuté et une synthèse boucle fermée utilisant la dissipativité et les inégalités matricielles linéaires.

Cette thèse aborde trois problèmes liés à l’ABS dans le cadre de la dynamique de la roue : l’estimation de la rigidité de freinage étendue (XBS) des pneus lors du freinage d’urgence, la commande de l’ABS basée sur l’estimation de l’XBS, et l’estimation de la vitesse et de l’accélération angulaires de la roue à partir des mesures provenant d’un codeur avec des imperfections. L’objectif général de ce travail est de développer des outils visant à améliorer la performance des systèmes de freinage, en utilisant des techniques adaptées de l'automatique non linéaire. La première partie de la thèse est consacrée à la construction d’un observateur adaptatif commuté pour l’XBS, c’est-à-dire un observateur adaptatif dont les gains d’estimation commutent entre deux valeurs possibles en fonction du signe de la sortie mesurée du système. La stabilité de l’observateur est analysée en utilisant des outils pour des systèmes commutés et en cascade, ainsi que des concepts tels qu’excitation permanente et transformations singulières d’échelle de temps. La deuxième partie de la thèse est dédiée à la conception d’une loi de commande pour l’ABS. L’objectif de contrôle est formulé en termes de l’XBS et une loi de commande hybride est conçue afin de faire en sorte que les trajectoires du système satisfassent les conditions requises pour l’estimation de l’XBS. La stabilité du contrôleur est analysée en utilisant l'application de Poincaré. La troisième partie de la thèse aborde la construction d’un algorithme pour estimer la vitesse et l’accélération angulaires de la roue et éliminer des perturbations qui sont introduites par les imperfections du codeur, et dont l’amplitude et la fréquence sont une fonction de la position, la vitesse, et l’accélération angulaires (réelles) de la roue. L’algorithme est basé sur la méthode connue comme « time-stamping algorithm », ainsi que sur des techniques de filtrage est d’estimation de paramètres. Des essais expérimentaux et des simulations numériques illustrent la performance des algorithmes d’estimation et de contrôle présentés dans cette thèse. Dans tous les cas nos résultats sont comparés par rapport à l’état de l’art. / This thesis addresses three problems related to the antilock braking system (ABS) in the context of the wheel dynamics: the estimation of the tyre extended braking stiffness (XBS) during an emergency braking situation, the control of the ABS based on the estimation of the XBS, and the estimation of the angular velocity and acceleration of the wheel from the measurements of an incremental encoder with imperfections. The general objective of this work is to develop tools aimed at improving the performance of braking systems by using techniques adapted from nonlinear control theory. The first part of the manuscript is devoted to the construction of a switched adaptive observer for the XBS, that is, an adaptive observer whose estimation gains switch between two possible values based on the sign of the system’s measured output. The stability of the observer is analyzed using tools for switched and cascaded systems, as well as concepts such as persistency of excitation and singular time-scale transformations. The second part of the manuscript is dedicated to the design of a control algorithm for the ABS. The control objective is formulated in terms of the XBS and a hybrid controller is designed so that the trajectories of the system satisfy the conditions required for the estimation of the XBS. The stability of the controller is analyzed using the Poincaré map. The third part of the manuscript focuses on the construction of an algorithm to estimate angular velocity and acceleration of the wheel and remove perturbations which are introduced by the encoder imperfections and whose amplitude and frequency are a function of the wheel's (real) position, velocity, and acceleration. The algorithm is based on the method known as time-stamping algorithm, as well as filtering and parameter estimation techniques. Experimental tests and numerical simulations illustrate the performance of the estimation and control algorithms presented in this thesis. In all cases our results are compared with respect to the state of the art.

Depuis l'introduction du premier système ABS par Bosch, en 1978, de nombreux algorithmes de commande pour les systèmes ABS ont été proposés dans la littérature. En général, ces algorithmes peuvent être divisés en deux catégories : ceux basés sur une logique de régulation déterminée par des seuils sur l'accélération angulaire des roues et ceux basés sur la régulation du taux de glissement. Chaque approche a ses avantages et ses inconvénients. D'une manière simplifiée, on peut dire que le point fort du premier type est sa robustesse ; tandis que ceux du deuxième type sont leur courte distance de freinage (sur les terrains secs) et leur absence de cycles limite. Au milieu de cette dichotomie industrielle/académique, en se basant sur un concept appelé extended braking stiffness (XBS), une classe complètement différente de stratégies de commande pour l'ABS a été proposée par certains chercheurs. Ce concept combine les avantages des deux approches. Néanmoins, puisque l’XBS n'est pas directement mesurable, elle introduit la question de son estimation en temps réel. La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude de ce problème d'estimation et à une généralisation de la technique proposée à une plus grande classe de systèmes. D'un point de vue technologique, la conception des systèmes de contrôle pour l'ABS est fortement dépendante des caractéristiques physiques du système et des performances de l'actionneur. Les algorithmes de commande actuels pour l'ABS sur les véhicules, par exemple l'algorithme ABS de Bosch, sont basés sur des approches heuristiques qui sont profondément liées à la nature hydraulique de l'actionneur. Ils ne fonctionnent correctement qu'en présence d'un retard spécifique associé à la nature hydraulique de l'actionneur. Pour les systèmes de freinage qui ont un retard différent de ceux des actionneurs hydrauliques, comme les moteurs-roues électriques par exemple (un retard plus court) ou les freins pneumatiques des semi-remorques (un retard plus grand), ils ne sont plus appropriés et ont un fonctionnement déficient. Par conséquent, l'adaptation des algorithmes standards de l'ABS pour d'autres actionneurs avancés devient un objectif primordial dans l'industrie automobile. Cet objectif peut être atteint par la compensation des retards induits par les actionneurs. La deuxième partie de cette thèse se concentre sur cette question, et à la généralisation de la technique proposée à une classe particulière de systèmes non linéaires.Tout au long de cette thèse, nous utilisons deux techniques de linéarisation différentes : la linéarisation de la dynamique d'erreur dans la construction des observateurs basés sur des modèles et la linéarisation basée sur le retour d'état restreint. La première est l'une des façons les plus simples pour synthétiser un observateur pour des systèmes dynamiques avec sortie et pour analyser sa convergence. L'idée principale est de transformer le système non linéaire original via un changement de coordonnées en un système différemment formalisé, qui admette un observateur avec une dynamique d'erreur linéaire et les gains de l'observateur peuvent donc être facilement calculés pour en assurer la convergence. Cette dernière est une méthode classique pour commander des systèmes non linéaires en les convertissant en une équation d'état linéaire contrôlable via l'annulation de leurs non-linéarités. Il convient de mentionner que les résultats existants pour la synthèse des observateurs par la linéarisation de l'erreur dans la littérature ne sont appliqués que pour le cas des changements réguliers de l'échelle de temps. Cette thèse explique comment les étendre aux cas des changements singuliers de l'échelle de temps. Par ailleurs, la thèse combine la linéarisation classique par retour d'état avec une nouvelle méthode de compensation du retard de l'entrée pour résoudre le problème de suivi de la sortie pour des systèmes linéarisables par retour d'état restreint avec des retards de l'entrée. / Many control algorithms for ABS systems have been proposed in the literature since the introduction of this equipment by Bosch in 1978. In general, one can divide these control algorithms into two different types: those based on a regulation logic with wheel acceleration thresholds that are used by most commercial ABS systems; and those based on wheel slip control that are preferred in the large majority of academic algorithms. Each approach has its pros and cons [Shida 2010]. Oversimplifying, one can say that the strength of the first ones is their robustness; while that of the latter ones their short braking distances (on dry grounds) and their absence of limit cycles. At the midpoint of this industry/academy dichotomy, based on the concept of extended braking stiffness (XBS), a quite different class of ABS control strategies has been proposed by several researchers (see, e.g., [Sugai 1999] and [Ono 2003]). This concept combines the advantages from both the industrial and academic approaches. Nevertheless, since the slope of the tyre characteristic is not directly measurable, it introduces the question of real-time XBS estimation. The first part of this thesis is devoted to the study of this estimation problem and to a generalization of the proposed technique to a larger class of systems. From the technological point of view, the design of ABS control systems is highly dependent on the ABS system characteristics and actuator performance. Current ABS control algorithms on passenger cars, for instance the Bosch ABS algorithm, are based on heuristics that are deeply associated to the hydraulic nature of the actuator. An interesting observation is that they seem to work properly only in the presence of a specific delay coming from the hydraulic actuation [Gerard 2012]. For brake systems that have different delays compared to those of hydraulic actuators, like electric in-wheel motors (with a smaller delay) or pneumatic trailer brakes (with a bigger delay), they might be no longer suitable [Miller 2013]. Therefore, adapting standard ABS algorithms to other advanced actuators becomes an imperative goal in the automobile industry. This goal can be reached by the compensation of the delays induced by actuators. The second part of this thesis is focused on this issue, and to the generalization of the proposed technique to a particular class of nonlinear systems. Throughout this thesis, we employ two different linearization techniques: the linearization of the error dynamics in the construction of model-based observers [Krener 1983] and the linearization based on restricted state feedback [Brockett 1979]. The former is one of the simplest ways to build an observer for dynamical systems with output and to analyze its convergence. The main idea is to transform the original nonlinear system via a coordinate change to a special form that admits an observer with a linear error dynamics and thus the observer gains can be easily computed to ensure the observer convergence. The latter is a classical method to control nonlinear systems by converting them into a controllable linear state equation via the cancellation of their nonlinearities. It is worth mentioning that existing results for observer design by error linearization in the literature are only applied to the case of regular time scalings ([Guay 2002] and [Respondek 2004]). The thesis shows how to extend them to the case of singular time scalings. Besides, the thesis combines the classical state feedback linearization with a new method for the input delay compensation to resolve the output tracking problem for restricted feedback linearizable systems with input delays.