Submitted by Diogo Barreiros (diogo.barreiros@ufba.br) on 2016-06-14T14:40:07Z No. of bitstreams: 1 Dissertação Darllan Conceição Pinto.pdf: 899783 bytes, checksum: 5572f413815923ab3c8d189ad9a5ffe3 (MD5) / Approved for entry into archive by Alda Lima da Silva (sivalda@ufba.br) on 2016-06-14T15:34:46Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação Darllan Conceição Pinto.pdf: 899783 bytes, checksum: 5572f413815923ab3c8d189ad9a5ffe3 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-14T15:34:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação Darllan Conceição Pinto.pdf: 899783 bytes, checksum: 5572f413815923ab3c8d189ad9a5ffe3 (MD5) / FAPESB / Neste trabalho, inicialmente, apresentamos a Dualidade de Esakia. Enfraquecendo os mor smos de reticulados e considerando os mor smo de Esakia como sendo Mor smos Parciais de Esakia, obtemos a Dualidade Generalizada de Esakia. Com esses resultados, estabelecemos uma dualidade entre as categorias de L ogicas Abstratas Distributivas e espa cos Priestley, e uma representa c~ao de L ogicas Abstratas Intuicionistas em Espa cos de Esakia. Por m, aplicamos os resultados na compara c~ao da Condi c~ao de Dom nios Fechados (CDF) com a Condi c~oes de Dom nios Fechados de Zakharyaschev (CDFZ). / In this work, initially, we present the Esakia duality. Weakening the morphisms of lattices and considering the Esakia morphism as Partial Esakia morphism, we obtain the Generalized Esakia Duality. With these results, we establish a duality between the categories of Distributive Abstract Logic and Priestley Spaces, and a representation of intuitionistic Abstract Logic and Esakia Spaces. Finally, we apply the results of the comparison closed domain condition (CDC) with the Zakharyaschev's closed domain condition (ZCDC).

Made available in DSpace on 2014-06-12T15:59:35Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo5187_1.pdf: 772703 bytes, checksum: 4e26836d89a94b44e061ba19cd085a7a (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2002 / A teoria das categorias é um ramo relativamente novo da investigação matemática. A idéia básica reside na observação de que diversas áreas da matemática envolvem o estudo ele objetos e mapeamentos entre estes objetos, por exemplo, conjuntos e funções, domínios intervalares e funções contínuas. Tal uniformidade de estrutura pode ser explorada livrando¬-se dos detalhes internos dos objetos, e focalizando-se somente nas funções e nos meios ele combiná-las. Motivados pelo caráter construtivo da teoria das categorias, neste trabalho tem-se como objetivo implementar construções categóricas intervalares através de progra¬mas em H askell

Neste trabalho estabelecemos uma base teórica para a construção de uma teoria de rep- resentação de lógicas proposicionais. Iniciamos identificando uma relação precisa entre a categoria das lógicas (Blok-Pigozzi) algebrizáveis e a categoria de suas classes de álgebras associadas. Assim obtemos codificações funtoriais para as equipolências e morfismos den- sos entre lógicas. Na tentativa de generalizar os resultados obtidos sobre a codificação dos morfismos entre lógicas algebrizáveis, introduzimos a noção de funtor filtro e sua lógica asso- ciada. Classificamos alguns tipos especiais de lógicas e um estudo da propriedade metalógica de interpolação de Craig via amalgamação em matrizes para lógicas não-protoalgebrizáveis, e estabelecemos a relação entre a categoria dos funtores filtros e a categoria de lógicas. Em seguida, empregamos noções da teoria das instituições para definir instituições para as lógicas proposicionais abstratas, para uma lógica algebrizável e para uma lógica Lindenbaum alge- brizável. Sobre a instituição das lógicas algebrizáveis (lógicas Lindenbaum algebrizáveis), estabelecemos uma versão abstrata do Teorema de Glivenko e que é exatamente o tradi- cional teorema de Glivenko quando aplicado entre a lógica clássica e intuicionista. Por fim, influenciado pela teoria de representação para anéis, apresentamos os primeiros passos da teoria de representação de lógicas. Introduzimos as definições de diagramas modelos à esquerda para uma lógica, Morita equivalência e Morita equivalência estável para lógicas. Mostramos que quaisquer representações para lógica clássica são estavelmente Morita equiv- alentes, entretanto a lógica clássica e intuicionista não são estavelmente Morita equivalentes. / In this work we provide a framework in order to build a representation theory of proposi- tional logics. We begin identifying a precise relation between the category of (Blok-Pigozzi) algebraizable logic and the category of their classes of associated algebras. Then, we have a functorial codification for the equipollence and dense morphisms between logics. Attempt- ing generalize the results found before about codification of morphisms among algebraizable logics, we introduce the notion of filter functor and its associated logic. We classify some special kinds of logics and a study of a meta-logical Craig interpolation property via matri- ces amalgamation for non-protoalgebraizable logics, and we establish a relation between the category of filter functors and the category of logics. In the sequel, we employ notions of institution theory to define the institutions for the abstract propositional logics, for an al- gebraizable logic and Lindenbaum algebraizable logic. On the institutions for algebraizable logics (Lindenbaum algebraizable logics), we introduce the abstract Glivenkos theorem and this notion is exactly the traditional Glivenkos theorem when applied between the classical logic and intuitionistic logic. At last, influenced by the representation theory of rings, we present the first steps on the representation theory of logics. We introduce the definition of left diagram model for a logic, Morita equivalence of logics and stably-Morita equivalence for logics. We have showed that any presentation for classical logic are stably-Morita equivalent, but the classical logic and intuitionistic logic are not stably-Morita equivalent.

[pt] Dedução Natural para a lógica intuicionista tem sido relacionada à Teoria das Categorias através do que agora é conhecido por Lógica Categórica. Essa relação é fortemente baseada no isomorfismo de Curry-Howard entre Dedução Natural e (lambda)-Cálculo Tipado. Esta dissertação descreve alguns aspectos dessa relação com o objetivo de propor uma visão 2-categórica da Lógica Categórica. Mostramos que mesmo numa visão 2-cateórica algumas desvantagens conhecidas na Teoria das Categorias continuam valendo. Concluímos essa dissertação discutindo as vantagens de uma visão 2-categórica a partir de premissas mais fracas. / [en] Natural Deduction for intuitionistic logic has been related to Category Theory by what now is known as Categorical Logic. This relationship is strongly based on the Curry-Howard Isomorphism between Natural Deduction and typed (lambda)-Calculus. This dissertation describes some aspects of these relationship with the aim of proposing a 2-categorical view of categorical logic. We show that even under this 2-categorical view some of the drawbacks already known in ordinary Category Theory remain holding. We conclude this dissertation discussing the advantages of 2-categorical view under some weaker assumptions.

Made available in DSpace on 2015-05-14T12:11:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 891353 bytes, checksum: 2d056c7f53fdfb7c20586b64874e848d (MD5) Previous issue date: 2010-12-01 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The basic concepts of what later became called category theory were introduced in 1945 by Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane. In 1940s, the main applications were originally in the fields of algebraic topology and algebraic abstract. During the 1950s and 1960s, this theory became an important conceptual framework in other many areas of mathematical research, especially in algrebraic homology and algebraic geometry, as shows the works of Daniel M. Kan (1958) and Alexander Grothendieck (1957). Late, questions mathematiclogics about the category theory appears, in particularly, with the publication of the Functorial Semantics of Algebraic Theories (1963) of Francis Willian Lawvere. After, other works are done in the category logic, such as the the current Makkai (1977), Borceux (1994), Goldblatt (2006), and others. As introduction of application of the category theory in logic, this work presents a study on the logic category propositional. The first section of this work, shows to the reader the important concepts to a better understanding of subject: (a) basic components of category theory: categorical constructions, definitions, axiomatic, applications, authors, etc.; (b) certain structures of abstract algebra: monoids, groups, Boolean algebras, etc.; (c) some concepts of mathematical logic: pre-order, partial orderind, equivalence relation, Lindenbaum algebra, etc. The second section, it talk about the properties, structures and relations of category propositional logic. In that section, we interpret the logical connectives of the negation, conjunction, disjunction and implication, as well the Boolean connectives of complement, intersection and union, in the categorical language. Finally, we define a categorical boolean propositional semantics through a Boolean category algebra. / Os conceitos básicos do que mais tarde seria chamado de teoria das categorias são introduzidos no artigo General Theory of Natural Equivalences (1945) de Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane. Já em meados da década de 1940, esta teoria é aplicada com sucesso ao campo da topologia. Ao longo das décadas de 1950 e 1960, a teoria das categorias ostenta importantes mudanças ao enfoque tradicional de diversas áreas da matemática, entre as quais, em especial, a álgebra geométrica e a álgebra homológica, como atestam os pioneiros trabalhos de Daniel M. Kan (1958) e Alexander Grothendieck (1957). Mais tarde, questões lógico-matemáticas emergem em meio a essa teoria, em particular, com a publica ção da Functorial Semantics of Algebraic Theories (1963) de Francis Willian Lawvere. Desde então, diversos outros trabalhos vêm sendo realizados em lógica categórica, como os mais recentes Makkai (1977), Borceux (1994), Goldblatt (2006), entre outros. Como inicialização à aplicação da teoria das categorias à lógica, a presente dissertação aduz um estudo introdutório à lógica proposicional categórica. Em linhas gerais, a primeira parte deste trabalho procura familiarizar o leitor com os conceitos básicos à pesquisa do tema: (a) elementos constitutivos da teoria das categorias : axiomática, construções, aplicações, autores, etc.; (b) algumas estruturas da álgebra abstrata: monóides, grupos, álgebra de Boole, etc.; (c) determinados conceitos da lógica matemática: pré-ordem; ordem parcial; equivalência, álgebra de Lindenbaum, etc. A segunda parte, trata da aproximação da teoria das categorias à lógica proposicional, isto é, investiga as propriedades, estruturas e relações próprias à lógica proposicional categórica. Nesta passagem, há uma reinterpreta ção dos conectivos lógicos da negação, conjunção, disjunção e implicação, bem como dos conectivos booleanos de complemento, interseção e união, em termos categóricos. Na seqüência, estas novas concepções permitem enunciar uma álgebra booleana categórica, por meio da qual, ao final, é construída uma semântica proposicional booleana categórica.

Ordem topológica descreve fases da matéria que não são caracterizadas apenas pelo esquema de quebra de simetria de Landau. Em 2-dimensões ordem topológica é caracterizada, entre outras propriedades, pela existência de uma degenerescência do estado fundamental que é robusta sobre perturbações locais arbitrarias. Com o proposito de entender o que caracteriza e classifica ordem topológica 3-dimensional o presente trabalho apresenta um modelo quântico exatamente solúvel em 3-dimensões que generaliza os modelos em 2-dimensões baseados em teorias de gauge. No modelo proposto o grupo de gauge é substituído por um 2-grupo. A Hamiltonia, que é dada por uma soma de operadores locais, é livre de frustrações. Provamos que a degenerescência do estado fundamental nesse modelo é dado pelo invariante de Yetter da variedade 4-dimensional Sigma × S¹, onde Sigma é a variedade 3-dimensional onde o modelo está definido. / Topological order describes phases of matter that cannot be described only by the symmetry breaking theory of Landau. In 2-dimensions topological order is characterized, among other properties, by the presence of a ground state degeneracy that is robust to arbitrary local perturbations. With the purpose of understanding what characterizes and classify 3-dimensional topological order this works presents an exactly soluble quantum model in 3-dimensions that generalize 2-dimensional models constructed using gauge theories. In the model we propose the gauge group is replaced by a 2-group. The Hamiltonian, that is given by a sum of local commuting operators, is frustration free. We prove that the ground state degeneracy of this model is given by the Yetters invariant of the 4-dimensional manifold Sigma × S¹, where Sigma is the 3-dimensional manifold the model is defined.

Ordem topológica descreve fases da matéria que não são caracterizadas apenas pelo esquema de quebra de simetria de Landau. Em 2-dimensões ordem topológica é caracterizada, entre outras propriedades, pela existência de uma degenerescência do estado fundamental que é robusta sobre perturbações locais arbitrarias. Com o proposito de entender o que caracteriza e classifica ordem topológica 3-dimensional o presente trabalho apresenta um modelo quântico exatamente solúvel em 3-dimensões que generaliza os modelos em 2-dimensões baseados em teorias de gauge. No modelo proposto o grupo de gauge é substituído por um 2-grupo. A Hamiltonia, que é dada por uma soma de operadores locais, é livre de frustrações. Provamos que a degenerescência do estado fundamental nesse modelo é dado pelo invariante de Yetter da variedade 4-dimensional Sigma × S¹, onde Sigma é a variedade 3-dimensional onde o modelo está definido. / Topological order describes phases of matter that cannot be described only by the symmetry breaking theory of Landau. In 2-dimensions topological order is characterized, among other properties, by the presence of a ground state degeneracy that is robust to arbitrary local perturbations. With the purpose of understanding what characterizes and classify 3-dimensional topological order this works presents an exactly soluble quantum model in 3-dimensions that generalize 2-dimensional models constructed using gauge theories. In the model we propose the gauge group is replaced by a 2-group. The Hamiltonian, that is given by a sum of local commuting operators, is frustration free. We prove that the ground state degeneracy of this model is given by the Yetters invariant of the 4-dimensional manifold Sigma × S¹, where Sigma is the 3-dimensional manifold the model is defined.

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